Geometria Plana - Aula 05

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1 Geometria Plana - Aula 05 Elaine Pimentel Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática Geometria Plana Especialização p. 1

2 Esquema da aula Quadrilátero - definição e. Quadriláteros notáveis. Propriedades dos. Propriedades do retângulo, losango e quadrado. Base média. Pontos notáveis do triângulo. Geometria Plana Especialização p. 2

3 Quadrilátero - definição e Sejam A, B,, D quatro pontos no plano, três a três não colineares. Se os segmentos AB, B, D, DA interceptam-se apenas nas extremidades, a união desses segmentos é dito um quadrilátero. Ângulos, lados,diagonais. A B D B D A Geometria Plana Especialização p. 3

4 Trapézio ABD é um trapézio AB D ou AD B. Bases, trapézio isósceles, trapézio escaleno, trapézio retângulo. Isosceles escaleno retangulo Geometria Plana Especialização p. 4

5 Paralelogramo ABD é um paralelogramo AB D e AD B. ABD é um retângulo se  B Ĉ D. ABD é um losango se AB B D DA. ABD é um quadrado se  B Ĉ D e AB B D DA. Retangulo Losango Quadrado Geometria Plana Especialização p. 5

6 Propriedades dos Teorema. Um quadrilátero convexo é um paralelogramo se e somente se dois ângulos opostos quaisquer são congruentes. = = AD B = Â + B = 180 o AB D = B + Ĉ = 180 o = Â Ĉ Â Ĉ, B D = Â + B = Ĉ + D ABD quadrilátero = Â + B + Ĉ + D = 360 o = Â + B = Ĉ + D = 180 o = AD B e AB D = ABD é um paralelogramo. Geometria Plana Especialização p. 6

7 Propriedades dos Teorema. Um quadrilátero convexo é um paralelogramo se e somente se dois lados opostos quaisquer são congruentes. = ABD { paralelogramo B D = AB D = BA DA Logo (LAA o ), AB DA = AB D e B DA. Geometria Plana Especialização p. 7

8 Propriedades dos Teorema. Um quadrilátero convexo é um paralelogramo se e somente se as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios. = ABD { paralelogramo AB D = BA DA = e ÂBD ĈDB Logo, (ALA) ABM DM = AM M e BM DM Geometria Plana Especialização p. 8

9 Propriedades dos Teorema. Todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um paralelogramo. Prova. AB D = BA DA = LAL B AD. Teorema. Um paralelogramo é um retângulo se e somente se as diagonais são congruentes. Teorema. Um paralelogramo é um losango se e somente se tem diagonais perpendiculares. Geometria Plana Especialização p. 9

10 Base média do triângulo Teorema. Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então ele é paralelo e tem metade do comprimento do terceiro lado. Prova. A B M N D Geometria Plana Especialização p. 10

11 Base média do trapézio Teorema. Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um trapézio, então ele é paralelo às bases e possui comprimento igual à semi-soma do comprimento das mesmas. Prova. D M N A B E Geometria Plana Especialização p. 11

12 Baricentro- Medianas Teorema. As três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto (baricentro) que divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra. Prova. M3 D A X M2 E B D e E pontos medios de BX e X Geometria Plana Especialização p. 12

13 Incentro - Bissetrizes Teorema. As três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto (incentro) que está à igual distância dos lados de um triângulo. Prova. B S3 A S S1 S2 Geometria Plana Especialização p. 13

14 ircuncentro - Mediatrizes Teorema. As três mediatrizes de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto (circuncentro) que está à igual distância dos vértices do triângulo. Prova. B A O OA = O OA = OB Geometria Plana Especialização p. 14

15 Ortocentro - Alturas Teorema. As três retas suportes das alturas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto (ortocentro). B A Geometria Plana Especialização p. 15

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