Mat. Monitor: Rodrigo Molinari

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Salvador Dias Osório
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1 Mat. Professor: Luanna Ramos Monitor: Rodrigo Molinari

2 Triângulos: Cevianas e pontos notáveis 07 jul RESUMO Ceviana é qualquer segmento que parte de um vértice de um triângulo e corta o lado oposto a esse vértice. São exemplos de cevianas: mediana, altura e bissetriz Mediana Mediana é uma ceviana que liga o vértice de onde ela parte ao ponto médio do lado oposto a esse vértice. Baricentro O Baricentro é exatamente o ponto de encontro das medianas. Importante saber que que se BD for a mediana do triangulo temos duas relações importantes BG = DG, BG = BD 3 e DG = 1 BD. 3 Altura A altura é uma ceviana que parte de um vértice e faz 90 com o lado oposto ao mesmo, ou seja, ela é perpendicular ao lado oposto a esse vértice. De cada vértice do triângulo parte UMA altura.

3 Ortocentro O ortocentro é exatamente o ponto de encontro das três alturas desse triângulo. Bissetriz A Bissetriz é uma ceviana que parte de um vértice do triângulo e que divide ao meio o ângulo referente a esse vértice. Em um triângulo, de cada vértice parte UMA bissetriz. Incentro O incentro é o ponto onde se encontram as três bissetrizes do triângulo. O incentro também é o centro da circunferência inscrita nesse triângulo: A Mediatriz não é dita ceviana, pois não necessariamente parte do vertice

4 EXERCÍCIOS DE AULA 1. No triangulo obtusângulo MNP da figura, podemos afirmar que: a) o baricentro se encontra na região externa do triângulo MNP. b) o ortocentro se encontra na região externado triângulo MNP. c) o incentro se encontra na região externa do triângulo MNP. d) o circuncentro se encontra na região interna do triângulo MNP.. Na figura abaixo, o triângulo ABD é equilátero, e seu lado mede 3m.; H é o ortocentro, sendo que os pontos F e G são os pontos médios dos lados AD e BD, respectivamente. Quantos rolos de fita adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir todos os segmentos da figura, se cada rolo possui 1m de fita? a) 18 b) 0 c) d) 4 e) 6 3. Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto, dispõe apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um compasso e da moeda. Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é: a) 3. b). c) 4. d) 1. e) 5.

5 4. Em um triangulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro, circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado que a distancia entre o ortocentro e o circuncentro e k, pode-se concluir que a distancia entre o circuncentro e o baricentro será: a) 5 k b) 4 k 3 c) 4 k 5 d) k e) 3 k 5. No triangulo ABC a seguir, temos AP = BP e AQ = CQ. Sendo assim, os valores de x e y são, respectivamente, iguais a: a) 30 e 4. b) 0 e 4. c) 5 e 16. d) 8 e 10. e) 4 e 8. EXERCÍCIOS DE CASA 1. Considere um triângulo equilátero de lado L como mostra a figura a seguir. Unindo-se os pontos médios dos seus lados obtemos 4 (quatro) novos triângulos. O perímetro de qualquer um destes quatro triângulos é igual a: a) 5 L b) L c) 3L d) L e) 3 L

6 . No triangulo ABC abaixo, temos BM = CM, BÂP = PÂC e AH perpendicular a BC e os pontos M, P e H não são coincidentes. Podemos afirmar que: I. AM é uma mediana e AH e uma altura II. AP é uma mediatriz III. AP é uma bissetriz IV. AH é uma altura e AM é uma mediatriz a) II e IV são verdadeiras. b) I e III são verdadeiras. c) I e II são verdadeiras. d) III e IV são verdadeiras 3. Na figura, AN e BM são medianas do triângulo ABC. Se BM e igual a 1 cm, a medida do segmento GM é igual a: a) 10. b) 9. c) 8. d) 6. e) Em relação a um triangulo qualquer ABC, quais pontos notáveis estão posicionados necessariamente na região interna do triangulo? a) Baricentro e ortocentro. b) Incentro e circuncentro. c) Baricentro e circuncentro. d) Incentro e ortocentro. e) Baricentro e incentro.

7 5. Se I e incentro do triangulo ABC abaixo, os ângulos Â, ˆB e Ĉ são, respectivamente, iguais a: a) 30, 60 e 90. b) 55, 65 e 60. c) 40, 80 e 60. d) 100, 60 e 0. e) 65, 55 e No triangulo ABC abaixo, temos que BS e bissetriz do angulo ˆ Além disso, temos que ABC e AH e altura relativa à base BC. BAH ˆ = 30 e BSA ˆ = 40. Calcule o angulo BCA ˆ. a) 10. b) 0. c) 30. d) 45. e) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100. Qual e a medida do angulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros ângulos internos? a) 0 b) 40 c) 60 d) 80 e) Dada a figura: Sobre as sentenças I. O triangulo CDE e isósceles. II. O triangulo ABE e equilátero. III. AE e bissetriz do angulo BAD.

8 é verdade que: a) somente a I é falsa. b) somente a II é falsa. c) somente a III é falsa. d) são todas falsas. e) são todas verdadeiras. Puzzle semana 1 Quantos arcos são necessários para marcar exatamente 100 nesse alvo? QUESTÃO CONTEXTO Um professor propõe uma atividade para ensinar seus alunos sobre as cevianas e seu ponto de encontro. Ela orienta que recortem um triângulo de qualquer medida, tracem uma determinada ceviana respectiva a cada vértice e depois determinem o ponto de encontro entre elas. Feito isso, ela pede para os alunos que coloquem o triângulo em cima do dedo exatamente no ponto de encontro encontrado e eles reparam que conseguem equilibrar esse triângulo. A professora afirma que esse é o centro de gravidade do triângulo. Que ceviana era essa?

9 GABARITO Exercícios para aula 1. b. e 3. a 4. e 5. c Exercícios para casa 1. e. b 3. e 4. e 5. c 6. a 7. b 8. e PUZZLE da semana 0 O macaco foi de janela em janela pela seguinte ordem: 10, 11, 1, 8, 4, 3, 7, 6,, 1, 5, 9. Questão Contexto Mediana

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