MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON

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1 MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON

2 DEFINIÇÕES GEOMETRIA PLANA Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição. Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são suficientes para determinar uma reta, ou ainda um ponto e a inclinação da mesma. Plano: Conjunto infinito de retas. Três pontos são suficientes para determinar um plano. Semi-reta: Sai de um ponto determinado e se prolonga indefinidamente. Segmento de reta: Trecho de reta que se inicia em um ponto determinado e tem fim em outro ponto determinado. Não se prolonga indefinidamente. Ângulo: Formado pela união e semirretas, ou mesmo por segmento de retas. 2

3 graus ( ) radianos (rad) grados (gr) ESTUDO DOS ÂNGULOS 180º = π rad = 200 gr 3

4 GRAUS: base hexadecimal 1 = 60 = = 60 4

5 Transformação entre sistemas angulares (centesimal e sexagesimal). 5

6 VALORES EXATOS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE VÁRIOS ÂNGULOS 6

7 CONTINUAÇÃO 7

8 CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS 8

9 ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL 9

10 ÂNGULOS COMPLEMENTARES E SUPLEMENTARES 10

11 Bissetriz de um ângulo É uma semirreta de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulo congruentes (iguais). 11

12 TRIÂNGULOS Definição: Figura geométrica plana formada por três pontos, chamados vértices e a união das semirretas que unem esse três pontos. Em resumo, é uma figura de três lados e que possui três ângulos. 12

13 Classificação dos triângulos quanto aos lados Equilátero: possui os três lados (e consequentemente os três ângulos) iguais (congruentes); Isósceles: possui dois lados iguais. O terceiro lado é chamado base. Os ângulos formados pela base com os lados são iguais. Escaleno: não possui nenhum lado (consequentemente nenhum ângulo) igual. 13

14 Classificação dos triângulos quanto aos ângulos Acutângulo: Possui três ângulos internos agudos; Obtusângulo: Possui um ângulo interno obtuso; Retângulo: Formado por um ângulo interno reto. O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa e os outros dois lados são chamados catetos. 14

15 PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS A soma dos ângulos internos de todo e qualquer triângulo é 180 ; A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo é 360 ; Todo ângulo externo de um triângulo é igual a soma dos seus dois ângulos internos não adjacentes; O maior lado do triângulo se opõe ( vê, está de frente ) ao maior ângulo e o menor lado se opõe ao menor ângulo; 15

16 Semelhança de triângulos Definição: Dados dois triângulos (ΔABC e ΔDEF), dizemos que estes são semelhantes se, e somente se, estes são formados pelos mesmos ângulos internos. Observado isso, podemos afirmar ainda que: = = = onde K é chamado razão de semelhança. 16

17 Alguns casos de semelhança Ângulo ângulo (AA): Se dois ângulos são iguais, o terceiro também será. Logo, os triângulos são semelhantes. 17

18 Alguns casos de semelhança Lado ângulo lado (LAL): Dados dois triângulos, sendo dois lados de um triângulo proporcionais a dois lados do outro triângulo e o ângulo entre estes lados semelhante nas duas formas geométricas, concluímos que os triângulos são semelhantes. 18

19 Alguns casos de semelhança Lado lado lado (LLL): Dados dois triângulos cujos três lados de um são proporcionais aos três lados do outro, concluise que estes triângulos são semelhantes. 19

20 Teorema de Tales (Caso Geral da Semelhança de Triângulos) 20

21 Elementos construtivos de um triângulo Mediana - Segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto. ATENÇÃO: Não importa o ângulo formado entre este segmento e o lado, só importa que ele divide o lado em duas partes iguais. Observe que as medianas concorrem no ponto G, chamado de baricentro. Teorema: O baricentro divide a mediana G numa razão 2:1, i.e., a distância do ponto G ao vértice é o dobro da distância de G ao ponto médio do lado oposto. 21

22 Elementos construtivos de um triângulo Bissetriz - Segmento que parte do vértice e divide o respectivo ângulo interno em duas partes iguais. ATENÇÃO: Não importa onde este segmento intercepta o lado oposto, nem ângulo e nem ponto, só importa que ele divida o ângulo interno em dois ângulos iguais. Observe que as bissetrizes concorrem no ponto I, chamado de incentro. Observe ainda que o incentro é o I centro da circunferência inscrita ( escrita dentro ) ao triângulo. 22

23 Elementos construtivos de um triângulo Mediatriz - Segmento perpendicular ( que forma um ângulo reto ) ao lado do triângulo, e passa ainda pelo seu ponto médio. Não importa se o segmento passa ou não pelo vértice do triângulo. Só importa que é perpendicular ao lado e divide o mesmo em duas partes iguais. Não confundir com mediana! Observe que as mediatrizes concorrem no ponto O, chamado de circuncentro. Observe ainda que o circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. 23

24 Elementos construtivos de um triângulo Altura - Segmento que une o vértice ao lado oposto e é perpendicular à este lado. ATENÇÃO: Não importa o ponto em que passa este segmento. Só importa que ele sai do vértice e forma 90º com o lado oposto. Observe que as alturas concorrem no ponto H, chamado de ortocentro. 24

25 SUGESTÃO, PARA CASA! Desenhe um triângulo equilátero e encontre neste os pontos G, I, O e H. O que você observa? Quais outras características do triângulo equilátero (como são seus lados, quanto valem seus ângulos)? Faça o mesmo com um triângulo isósceles. 25

26 Relações métricas no triângulo retângulo Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes (SUGESTÃO: Tente fazer as demonstrações. Chega-se facilmente às relações apresentadas utilizando-se a semelhança de triângulos indicada) b.c = a.h c² = a.n b² = a.m h² = m.n 26

27 Teorema de Pitágoras A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa a² = b² + c² 27

28 Razões trigonométricas no triângulo retângulo SENO: Num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é dado pelo quociente (razão) entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. COSSENO: Num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é dado pelo quociente (razão) entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. TANGENTE: Num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é dado pelo quociente (razão) entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. Podemos também dividir o valor do seno ângulo pelo valor do cosseno do mesmo ângulo. 28

29 29

30 Lei dos senos Estabelece uma relação entre os lados de qualquer triângulo e seus ângulos opostos, através do valor dos senos. É utilizada para encontrar as medidas dos lados, dados dois ângulos e outro lado, ou ainda um dos ângulos, dados dois lados e outro ângulo. = = 30

31 LEI DO COSSENOS Estabelece uma relação entre os lados de qualquer triângulo e seus ângulos, através do valor dos cossenos. É utilizada para encontrar as medidas de um lado, dados os outros dois lados e o ângulo entres estes, ou ainda encontrar um ângulo, dados os lados do triângulo. a² = b² + c² - 2.b.c.cos α b² = a² + c² - 2.a.c.cos β c² = a² + b² - 2.a.b.cos γ 31

32 CIRCUNFERÊNCIA Definição: O conjunto de todos os pontos que estão a exatamente uma determinada distância de um ponto dado do mesmo plano chama-se circunferência. 32

33 ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA Corda: Qualquer segmento interno a circunferência com extremidades em dois pontos pertencentes à mesma. Na figura ao lado, AB e CD são cordas da circunferência. Diâmetro: Qualquer corda da circunferência que contenha o centro da mesma. É a maior corda da circunferência. CD representa um diâmetro da circunferência na figura. Raio: Qualquer segmento que liga o centro a um ponto qualquer da circunferência. PC é raio da circunferência ao lado. Note que o raio é metade do diâmetro! (D = 2.R). 33

34 Arco: É uma parte da circunferência, definida por um ângulo central e um comprimento determinado por dois pontos da circunferência). 34

35 Comprimentos de arcos Comprimento da circunferência: C = 2..r Ângulo perímetro 360º 2. p.r α L = 35

36 ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS 36

37 Triângulo Equilátero =

38 Fórmula de Heron Seja p = semiperímetro 38

39 Dados dois lados e o ângulo entre eles 39

40 QUADRILÁTEROS 40

41 APÓTEMA 41

42 Círculo e seus subconjuntos 42

43 43

44 Relação entre área e lados do triângulo e raio da circunferência inscrita e circunscrita ao mesmo. 44

45 Relação entre área e lados do triângulo e raio da circunferência inscrita e circunscrita ao mesmo. 45

46 EXERCÍCIOS 46

47 EXERCÍCIOS 47

48 EXERCÍCIOS 48

49 EXERCÍCIOS Atualmente, os topógrafos dispõem de instrumentos de medida de ângulo que lhes permitem determinar medidas por vezes inacessíveis. Desejando saber qual a altura do morro que tinha à sua frente, um topógrafo colocou-se com seu teodolito a 200m do morro. Ele sabe que a altura do teodolito é de 1,60m. Posiciona o aparelho que lhe fornece a medida do ângulo de visada de parte do morro: 30. Consulta uma tabela de tangentes e verifica que tg 30 = 0,57. 49

50 EXERCÍCIOS 50

51 GEOMETRIA ESPACIAL 51

52 PRISMAS 52

53 PRISMAS 53

54 Paralelepípedo reto-retângulo 54

55 Cubo 55

56 Cilindros CILINDRO RETO CILINDRO OBLÍQUO 56

57 CILINDROS 57

58 Pirâmides Uma pirâmide é chamada reta quando possui todas as arestas laterais congruentes, ou ainda, quando a reta que une o vértice da pirâmide ao centro do polígono da base da mesma é perpendicular ao plano que contém a referida base. Se além de reta, sua base for um polígono regular dizemos então que a pirâmide é regular. 58

59 Pirâmides Na pirâmide regular todas as faces laterais são triângulos isósceles congruentes e as alturas relativas às bases das faces laterais são congruentes e recebem o nome de apótemas. Neste caso, temos: 59

60 PIRÂMIDES 60

61 CONES 61

62 Esfera e Superfície esférica 62

63 63

64 EXERCÍCIOS 1) Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada um dos sólidos cujas medidas estão indicadas nas figuras. a) Prisma reto (triangular). 64

65 EXERCÍCIOS b) Prisma regular (hexagonal). 65

66 EXERCÍCIOS 2) Uma peça de madeira tem as dimensões e forma da figura abaixo. Qual é o volume de madeira empregado para fabricar esta peça? 66

67 EXERCÍCIOS 3) Considere um prisma cuja base é um hexágono regular de 10 cm de lado e altura de 3 cm. No centro da peça, existe um furo cilíndrico de 2 cm de raio. Qual é a quantidade de ferro, em volume, utilizada na confecção da peça? 67

68 EXERCÍCIOS Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir, são dadas as dimensões, em metros, do prisma: O volume desse tanque, em metros cúbicos, é a) 50 b) 60 c) 80 d) 100 e)

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