EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

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1 Questão 01) EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES GEOMETRIA ESPACIAL PROF.: GILSON DUARTE d) Se e são perpendiculares entre-si, então é perpendicular a todas as retas contidas em. Todas as afirmações abaixo estão corretas, EXCETO a) Dois diedros opostos pela aresta são congruentes. b) Toda secção de um diedro reto é um ângulo reto. c) O bissetor de um diedro reto forma, com suas faces, dois diedros de 45º. d) Dois planos perpendiculares determinam quatro diedros retos. Questão 02) O ponto A pertence à reta r, contida no plano. A reta s, perpendicular a, o intercepta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a distância de A a C, em centímetros, é igual a a) 9 5 b) 9 c) 7 d) 4 e) 3 5 Questão 03) O número de arestas de um prisma pentagonal é a) 5 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20 Questão 04) No espaço tridimensional, são dadas as retas r e s e os planos e. Entre as afirmações abaixo, a única CORRETA é: a) Se as retas r e s não possuem pontos em comum, então elas são paralelas. b) Se e são perpendiculares entre-si e r perpendicular a, então r é paralela a. c) Se as retas r e s são paralelas ao plano, então elas são paralelas entre si. Questão 05) Das alternativas abaixo, assinale a INCORRETA: a) Dois planos, quando se interceptam, o fazem segundo uma reta. b) Dois planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos. c) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas. d) Duas retas perpendiculares determinam um único plano. e) Existem planos concorrentes com apenas cinco pontos comuns. Questão 06) Quatro pontos distintos e não coplanares determinam exatamente: a) 1 plano b) 2 planos c) 3 planos d) 4 planos e) 5 planos Questão 07) O contorno da projeção ortogonal de um cubo sobre um plano será: a) ou um triângulo, ou um hexágono regular. b) ou um hexágono regular, ou um retângulo. c) ou um hexágono regular, ou um retângulo, ou um pentágono. d) ou um pentágono regular, ou um retângulo. e) nenhuma das afirmações anteriores é correta. Questão 08) São dados três pontos A, B e C não alinhados e um ponto P fora do plano ABC. a) existe um plano por P e a igual distância dos pontos A, B e C.

2 b) existem três planos por P e a igual distância dos pontos A, B e C. c) existem quatro planos por P e a igual distância dos pontos A, B e C. d) existem dois planos por P e a igual distância dos pontos A, B e C. e) nenhuma das respostas anteriores. Questão 09) Qual das afirmações abaixo é VERDADEIRA? a) Se duas retas distintas não são paralelas, elas são concorrentes. b) Duas retas não coplanares são reversas. c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, elas são paralelas. d) Se três retas são paralelas, existe um plano que as contém. e) Se três retas distintas são duas a duas concorrentes, elas determinam um e um só plano. Questão 10) As retas r, s e t são reversas duas a duas. a) existe sempre uma reta paralela a r e se apoiando em s e t. b) existem sempre duas retas paralelas a r e se apoiando em s e t. c) existem sempre infinitas retas paralelas a r e se apoiando em s e t. d) nenhuma das respostas anteriores. Questão 11) Os pontos P e Q são simétricos em relação a uma reta a, se e somente se: (med = medida) a) PQ a = {M} e med PM med MQ b) PQ a e med PM med MQ, com PQ a = {M} c) PQ a e med PM = med MQ, com PQ a = {M} d) PQ a = {M} e med PM = med MQ e) nenhuma das respostas anteriores é correta Questão 12) Assinale a afirmação correta: a) não existe ângulos de lados paralelos, não congruentes. b) não existem retas distintas, perpendiculares a um reta r, passando por um ponto P de r. c) não existem retas distintas, concorrentes, perpendiculares a um plano. d) não existem retas paralelas e distintas, perpendiculares a um mesmo plano. e) não existem retas paralelas a dois planos não paralelos. Questão 13) Se um dos lados de um ângulo reto é paralelo a um plano e o outro não é perpendicular a este plano, a projeção do ângulo sobre o plano a) é um ângulo reto b) é um ângulo agudo c) é um ângulo obtuso d) depende da posição do plano e) nenhuma das anteriores Questão 14) Dadas duas retas concorrentes a e b e dado um ponto M, fora do plano determinado por a e b, consideremos os pontos E e F, simétricos de M em relação às retas a e b, respectivamente. A reta que une os pontos E e F é: a) Perpendicular ao plano determinado por a e b. b) Paralela ao plano determinado por a e b. c) Oblíqua ao plano determinado por a e b. d) Pertencente ao plano determinado por a e b. e) Nenhuma das respostas anteriores. Questão 15) Considere as afirmações: I. Duas retas no espaço, paralelas a uma terceira, são paralelas entre si. II. Um plano, perpendicular a uma reta de um plano, é paralelo a. III. Dois planos perpendiculares à mesma reta são paralelos. Então: a) Todas são falsas b) Todas são verdadeiras c) Somente II é falsa d) Somente I é falsa e) Somente III é falsa

3 Questão 16) Sejam e dois planos (distintos) paralelos, e r uma reta qualquer. Assinale a alternativa incorreta. a) Se r está contida em, então r é paralela a. b) Se r é perpendicular a, então r é perpendicular a. c) Se r é perpendicular a uma reta s em, então r é perpendicular a. d) Se é um plano secante a, então é secante a. e) Se r pertence a, então existem retas de reversas a r. Questão 17) O número de pares de retas reversas que se pode formar, a partir das retas suportes das arestas de um hexaedro, é a) 16. b) 8. c) 24. d) 32. Questão 20) Considere as quatro afirmações seguintes: I. Se dois planos distintos são paralelos a uma mesma reta, então eles são paralelos entre si. II. Se duas retas distintas são paralelas a um mesmo plano, então elas são paralelas entre si. III. Se dois planos distintos são perpendiculares a uma mesma reta, então eles são paralelos entre si. IV. Se duas retas distintas são perpendiculares a um mesmo plano, então elas são paralelas entre si. A alternativa que contém todas as afirmações corretas é: a) I, II, III e IV b) I e II c) III e IV d) IV Questão 21) Observe que, abaixo, temos o desenho de uma gangorra. Questão 18) O plano 1 é perpendicular ao plano 2, o plano 2 é perpendicular ao plano 3, e os planos 1 e 3 se interceptam segundo uma reta. É correto afirmar que: a) os planos 1 e 3 são perpendiculares. b) os planos 1 e 3 são paralelos. c) o plano 2 também contém a reta. d) a reta é perpendicular a 2. e) a reta é paralela a 2. Questão 19) AB é um segmento num plano E com ponto médio M e mediatriz no plano E. C é ponto fora de E e sua projeção ortogonal, D, sobre E, pertence a reta r. Então pode-se afirmar que o triângulo ABC é necessariamente: a) retângulo b) de área menor que a do triângulo ADB c) isósceles d) nenhuma dessas Os pares de retas CD e AB, EF e BD, CD e DF são, respectivamente, a) paralelas, reversas e ortogonais. b) perpendiculares, ortogonais e reversas. c) paralelas, reversas e perpendiculares. d) ortogonais, reversas e paralelas. Questão 22) Observe e classifique as afirmações abaixo como sendo verdadeiras ou falsas: I. Se um plano intercepta dois outros planos paralelos, então as interseções são retas paralelas. II. Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela a qualquer reta do outro. III. Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. IV. Se dois planos são paralelos, uma reta de um deles pode ser reversa a uma reta do outro. Marque a alternativa CORRETA:

4 a) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. c) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras. d) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras. e) Apenas as afirmações III e IV são verdadeiras. Questão 23) As alternativas seguintes podem ser classificadas em verdadeiras (V) ou falsas (F) I. Se dois planos são perpendiculares, toda reta de um deles que for perpendicular à interseção será perpendicular ao outro. II. Se dois planos são perpendiculares, toda reta paralela a um deles será perpendicular ao outro. III. Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas. Neste caso: a) Apenas I e II são verdadeiras b) Todas são verdadeiras c) Todas são falsas d) Apenas I e III são verdadeiras e) Apenas II e III são falsas Questão 24) Dadas as afirmações: I. Se duas retas r e s são reversas, então não existe plano paralelo a r e s. II. Se uma reta é ortogonal a duas retas paralelas de um plano, então ela é necessariamente perpendicular ao plano. III. Quatro pontos não coplanares determinam exatamente quatro planos. IV. Se dois planos são perpendiculares, toda a reta perpendicular a um deles será paralela ao outro. a) Apenas uma afirmativa é falsa. b) Duas afirmativas são falsas. c) Três afirmativas são falsas. d) Todas as afirmativas são falsas. e) Todas as afirmativas são verdadeiras. Questão 25) A é um ponto que não pertence à reta r. Quantos são os planos que contêm A e são perpendiculares a r? a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) infinitos Questão 26) Considere uma reta s, contida em um plano, e uma reta r perpendicular a s. Então, necessariamente: a) r é perpendicular a. b) r e s são coplanares. c) r é p a. d) r está contida em. e) Todas as retas paralelas a r interceptam s. Questão 27) Entre as afirmações abaixo, todas são falsas, EXCETO a) Se duas paredes do mesmo tamanho forem paralelas, toda viga que corta uma delas, corta também a outra. b) Se duas paredes do mesmo tamanho e em posição frontal forem paralelas, toda viga que corta uma delas, perpendicularmente, corta também a outra. c) Se uma viga é perpendicular ao chão, então todo segmento de reta contido nessa viga é perpendicular ao chão. d) Se duas vigas que sustentam um teto plano são perpendiculares ao chão, então esse teto é paralelo ao chão. Questão 28) Dado um paralelepípedo retângulo, indiquemos por A o conjunto das retas que contêm as arestas desse paralelepípedo e por B o conjunto dos planos que contêm suas faces. Isso posto, qual das seguintes afirmações é verdadeira? a) Quaisquer que sejam os planos e de B, distância de a é maior que zero. b) Se r e s pertencem a A e são reversas, a distância de r a s é maior que a medida da maior das arestas do paralelepípedo. c) Todo plano perpendicualr a um plano de B é perpendicular a exatamente dois planos de B. d) Toda reta perpendicular a um plano de B é perpendicular a exatamente dois planos de B. e) A interseção de três planos quaisquer de B é sempre um conjunto vazio. Questão 29)

5 No cubo abaixo, cada aresta mede 6cm. Os pontos x e y são pontos médios das arestas AB e GH. O polígono XCYE é um: E H Y F G a) a reta e a superfície terão necessariamente infinitos pontos em comum. b) o ponto P pode ser o único ponto comum a r e C. c) a reta e a superfície terão necessariamente dois únicos pontos em comum. d) a reta e a superfície podem ter exatamente 3 pontos em comum. D C A X B a) quadrilátero, mas não é paralelogramo. b) paralelogramo, mas não é losango. c) losango, mas não é quadrado. d) retângulo, mas não é quadrado. e) quadrado. Questão 30) Se um plano e uma reta r são tais que r = r, então: a) existe um plano que contém r e não intercepta. b) existe uma reta em que é concorrente com r. c) toda reta paralela a é paralela a r. d) toda reta paralela a r está contida em. e) toda reta perpendicular a é perpendicular a r. Questão 31) A superfície de uma esfera de centro O e raio r é o conjunto de todos os pontos do espaço que tem distância a O igual a r. Dizemos que S é uma superfície esférica (de centro O) quando S é a superfície de alguma esfera (de centro O). Resolva agora o seguinte problema: Sejam E 1 ; E 2 ; E 3 ; E 4 quatro pontos não coplanares. Então: a) existe uma única superfície esférica contendo E 1 ; E 2 ; E 3 ; e E 4. b) existem infinitas superfícies esféricas tendo seus centros sobre uma mesma reta a cada uma delas contém E 1 ; E 2 ; E 3 e E 4. c) existem infinitas superfícies esféricas cujos centros não precisam estar sobre uma mesma reta e cada uma contem E 1 ; E 2 ; E 3 e E 4. d) nenhuma dessas. Questão 32) Se uma reta r do espaço encontra a superfície lateral C, de um cilindro em um ponto P, então: Questão 33) Dados os planos distintos, e e se, e, então, necessariamente: a) // b) não é paralelo a c) se i ( B), i // d) se i ( B), i e) i Questão 34) Sejam as retas r // s // t e um plano r. Pode-se dizer, então, que: a) // s b) // t c) s e não t, necessariamente d) s e t, necessariamente e) //, se (s, t) Questão 35) r e s são retas reversas. Então, a distância entre r e s a) não se define. b) é igual àquela entre qualquer ponto de r e qualquer ponto de s. c) é igual àquela entre qualquer ponto de r e qualquer plano que contenha s. d) é igual àquela entre dois quaisquer planos que contenham r e s respectivamente. e) é igual àquela entre dois planos paralelos que contenham r e s respectivamente. Questão 36) O plano intercepta dois planos paralelos e. O conjunto dos pontos eqüidistantes de, e é: a) unitário b) uma reta c) um plano

6 d) a reunião de duas retas e) não sei Questão 37) Considere o seguinte: Sempre existem I. dois diferentes planos perpendiculares a uma reta, por um mesmo ponto II. duas diferentes retas perpendiculares a um mesmo plano, por um mesmo ponto desses plano III. dois diferentes planos contendo um mesmo ponto de um terceiro plano, e perpendiculares a este terceiro plano IV. dois diferentes planos, paralelos a uma mesma reta V. dois diferentes planos, com um ponto comum, paralelos a um terceiro plano Responda corretamente: a) III e IV são verdadeiras. b) só II é verdadeira c) todas são falsas d) III e V são verdadeiras e) só I, II e IV são verdadeiras Questão 38) Sejam r, s e t retas no espaço. Se r é perpendicular a t e s é perpendicular a t, então: a) r e s são paralelas. b) r e s são perpendiculares c) r e s são reversas. d) r, s e t são coplanares e) nenhuma das afirmativas acima é verdadeira. Questão 39) A reta r é paralela ao plano. Então: a) todas as retas de são paralelas a r. b) a reta r não pode ser coplanar com nenhuma reta de. c) existem em retas paralelas a r e também existem em retas reversas com r. d) existem em retas paralelas a r e também retas perpendiculares a r. e) Todo plano que contém r é paralelo a. Questão 40) Assinale a afirmação correta: a) não existem ângulos de lados paralelos, não congruentes. b) não existem retas distintas, perpendiculares a uma reta r, passando por um ponto P de r. c) não existem retas distintas, concorrentes, perpendiculares a um plano. d) não existem retas paralelas e distintas perpendiculares a um mesmo plano. e) não existem retas paralelas a dois planos não paralelos. Questão 41) Seja P um plano. Sejam A, B, C e D pontos de P e M um ponto qualquer, não pertencente a P. Então: a) Se C dividir AB em partes iguais a MA MB, então o segmento MC é perpendicular a P. b) Se ABC for triângulo eqüilátero e D for eqüidistante de A, B e C, então MD é perpendicular a P. c) Se AB for triângulo eqüilátero e D for eqüidistante de A, B e C, então MA MB MC implica que MD P. d) Se ABC for triângulo eqüilátero e MD P então D eqüidista de A, B e C. e) n.d.a Questão 42) Sejam r uma reta de um plano tal que r = {P} e r não é perpendicular a. Então, relativamente às retas que estão contidas em e são perpendiculares a r em P, podemos afirmar que: a) existe uma e apenas uma b) existe pelo menos duas distintas c) Se o ângulo entre r e for maior do que 45º, existem pelo menos três distintas. d) Se o ângulo entre r e for menor que 1 radiano não existe nenhuma. e) n.d.a Questão 43) Três retas não coplanares concorrem todas em um mesmo ponto P. O conjunto de todos os pontos eqüidistantes das três é constituído por: a) um plano que contém P. b) três planos que tem só o ponto P em comum. c) um par de planos concorrentes numa reta por P. d) um par de retas concorrentes em P.

7 e) quatro retas concorrentes em P. Questão 44) Dizemos que um conjunto C de pontos do espaço é convexo se dados os pontos A e B quaisquer, pertencentes a C, o segmento da reta AB está contido em C. Há conjunto convexo numa das afirmações abaixo: Assinale a afirmação verdadeira: a) o plano excluido um dos seus pontos b) o conjunto dos pontos situados sobre uma câmara de ar de automóvel. c) a região limitada por um quadrilátero. d) a superfície lateral de um prisma. e) nenhum dos conjuntos acima. Questão 45) São dados um tetraedro e um plano no espaço. A interseção dos dois será: a) um triângulo b) ou um ponto, ou um segmento, ou um triângulo, ou vazio c) ou um triângulo ou um quadrilátero. d) ou um ponto, ou um segmento ou um triângulo, ou um quadrilátero. e) ou um ponto, ou um segmento, ou um triângulo, ou um quadrilátero, ou vazio. Questão 46) Considere o plano de uma mesa e um ponto dado deste plano. Você dispõe de uma folha de papel que possui um só bordo reto. Dobrando esta folha de papel, conduza uma perpendicular ao plano da mesa, pelo ponto dado. A justificativa de tal construção está em um dos teoremas abaixo. a) se uma reta é perpendicular a um plano, todo plano que passa por ela é perpendicular ao primeiro. b) se dois planos são perpendiculares, toda reta de um deles que for perpendicular à intersecção, será perpendicular ao outro. c) se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, ela é perpendicular ao plano. d) por um ponto exterior a um plano passa uma reta perpendicular ao plano e somente uma. e) todas as perpendiculares a uma reta traçadas por um de seus pontos, pertencentes a um plano. Questão 47) Considerando um plano e uma reta r que encontra esse plano num ponto P, e que não é perpendicular a. Assinale qual das afirmativas é a verdadeira a) Existem infinitas retas de perpendiculares a r pelo ponto P. b) Existe uma e somente uma reta de perpendicular a r por P. c) Não existe reta de, perpendicular a r, por P. d) Existem duas retas de perpendiculares a r passando por P. e) nenhuma das afirmações acima é verdadeira. Questão 48) Sejam a e b duas retas ortogonais, perpendiculares à reta r em A e B, respectivamente. Sejam M a e N b pontos distintos de A e B. O ângulo M Bˆ N. a) é agudo b) não pode ser reto c) é reto d) depende de M e N e) é obtuso Questão 49) Por uma reta não paralela em perpendicular a um plano passam: I. infinitos planos paralelos a. II. nenhum plano paralelo a. III. nenhum plano perpendicular a. IV. um único plano perpendicular a. Valem as asserções: a) II e III b) II e IV c) I e III d) I e IV e). I e II Questão 50) Se um dos lados de um ângulo reto é paralelo a uma plano e outro não lhe é perpendicular, a projeção do ângulo sobre o plano a) é um ângulo agudo b) é um ângulo reto c) é um ângulo obtuso

8 d) depende da posição do plano e) é um ângulo raso Questão 51) do enunciado abaixo: A condição necessária e suficiente para que uma reta seja paralela a um plano que não a contém é que ela seja paralela a uma reta desse plano. Podemos concluir que: a) a condição ser suficiente significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada a esta reta por um qualquer de seus pontos. b) condição ser necessária significa que: toda reta paralela a uma reta de plano é paralela a este plano. c) a condição ser suficiente significa que: todo plano paralelo a uma reta conterá todas as retas paralelas à reta dada. d) a condição ser necessária significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada a esta reta por um qualquer de seus pontos. e) nenhuma das anteriores. Questão 52) A reta r é paralela ao plano. Então: a) todas as retas de são paralelas a r. b) a reta r não pode coplanar com nenhuma reta de. c) existem em retas paralelas a r e também existem em retas reversas em relação a r. d) existem em retas paralelas a r e retas perpendiculares a r. e) todo plano que contém r é paralelo a. Questão 53) r e r são retas reversas. O número de planos paralelos r que podem passar por r é: a) dois b) um c) infinitos d) nenhum e) nenhuma das respostas acima é correta. Questão 54) Qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) Se duas retas concorrentes de um plano são respectivamente paralelas a duas retas de outro plano, então esses planos são paralelos. b) Por uma reta dada pode-se conduzir um plano paralelo a um plano dado. c) Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apóie em duas retas reversas dadas. d) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. e) Existem planos reversos. Questão 55) Considerando um plano e uma reta r que encontra esse plano num ponto O, e que não é perpendicular a. Assinale qual das afirmações é a verdadeira. a) Existem infinitas retas de perpendiculares a r pelo ponto P. b) Existe uma e somente uma reta de perpendicular a r por P. c) Não existe reta de, perpendicular a r, por P. d) Existem duas retas de perpendiculares a r passando por P. e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira. Questão 56) Indique qual das proposições abaixo é verdadeira: a) Se s é uma reta secante às retas r e t, então os ângulos colaterais externos são suplementares. b) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si. c) Se um plano é perpendicular a duas retas distintas elas serão coplanares. Questão 57) Assinalar a única proposição errada entre as seguintes. a) duas retas do espaço, paralelas a uma terceira, são paralelas entre si. b) um plano perpendicular a dois planos incidentes é perpendicular à reta intersecção deles. c) uma reta ortogonal a duas retas de um plano é ortogonal ao plano. d) um plano perpendicular a uma reta de um outro plano é perpendicular a este plano. e) dois planos perpendiculares à mesma reta são paralelos.

9 Questão 58) Assinale a alternativa correta. a) Se duas retas são perpendiculares a uma reta do espaço, elas são paralelas. b) Se duas retas distintas são perpendiculares, toda reta perpendicular à 1 a é perpendicular à 2 a. c) Se duas retas distintas são perpendiculares a um plano elas são paralelas. d) Se duas retas não se cruzam elas são ortogonais. e) 3 pontos determinam um plano. Questão 59) Assinale a alternativa verdadeira: a) Se duas retas paralelas r e s encontram o plano em A e B, então o segmento de reta AB é perpendicular a r e a s. b) Se dois planos são perpendiculares, qualquer outro que os corta, o faz segundo duas retas perpendiculares. c) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a todas as retas desse plano. d) Para uma reta ser perpendicular a um plano é suficiente que ela seja perpendicular a uma reta do plano que passa por seu traço. e) nenhuma das alternativas anteriores é correta. Questão 60) Qual das afirmações abaixo é FALSA? a) Se dois planos são perpendiculares à mesma reta, eles são paralelas. b) Se duas retas são perpendiculares a um plano, elas são paralelas. c) Se dois planos são paralelos e uma reta é perpendicular a um deles, é perpendicular ao outro. d) Duas retas perpendiculares à uma terceira são paralelas entre si (no espaço). e) Se uma reta é perpendicular a um plano, toda reta paralela à essa reta é perpendicular ao plano. Questão 61) Assinale a correta: a) se dois planos forem perpendiculares, todo plano perpendicular a um deles será paralelo a outro. b) se dois planos forem perpendiculares, toda reta paralela a um deles será perpendicular ao outro. c) duas retas paralelas a um plano são paralelas. d) se duas retas forem ortogonais reversas, toda reta ortogonal a uma delas será paralela à outra. e) se duas retas forem ortogonais, toda reta paralela a uma delas será ortogonal à outra. Questão 62) Sejam e dois planos não paralelos interceptados ortogonalmente pelo plano. Sejam ainda r, s e t respectivamente as intersecções de e, e e e. Qual das afirmações abaixo é sempre correta. a) r, s e t formam oito triedros tri-retângulos. b) Existe um ponto de r tal que, qualquer reta de que passa por P é ortogonal a r. c) r pode não interceptar. d) t é perpendicular a. e) nenhuma dessas afirmações é correta. Questão 63) Qual das proposições abaixo é FALSA? a) Por um ponto A pode-se conduzir uma única reta perpendicular a um plano. b) Se dois planos são perpendiculares à uma reta, então eles são paralelos. c) Se dois planos são paralelos e uma reta é perpendicular a um deles, então ela é perpendicular ao outro. d) Se duas retas são paralelas e um plano é perpendicular a uma delas, então ele é perpendicular a outra. e) Uma reta e um plano são paralelos. Toda reta, perpendicular à reta dada, é perpendicular ao plano. Questão 64) Dentre as proposições: R. por uma reta qualquer do espaço passa um e um só plano perpendicular a um plano dado. S. dadas duas retas reversas r e s e um ponto A do espaço que não pertence a nenhuma delas, existe uma e uma só reta que passa por A e se apóia em r e s. T. são dados um ponto A, uma reta r e um plano, A r, A e r. Existe sempre uma reta s que passa por A, corta r e é paralela a. temos: a) só S é verdadeira. b) só R e S são verdadeiras. c) só T é verdadeira. d) todas as proposições são verdadeiras.

10 e) nenhuma proposição é verdadeira. Questão 65) 3 retas r, s e t são 2 a 2 reversas e todas paralelas ao plano. é um plano que contem r e concorre com s e t nos pontos P e Q. As projeções das 3 retas sobre na direção PQ são: a) 3 retas coincidentes b) 3 retas concorrentes em um mesmo ponto c) 3 retas concorrentes em 3 pontos distintos d) PQ é paralela a e) nenhuma das anteriores Questão 66) Sejam a e b duas retas ortogonais, perpendiculares à reta r em A e B, respectivamente. Sejam M a e N b pontos distintos de A e B. O ângulo a) é agudo b) não pode ser reto c) é reto d) depende de M e N e) nenhuma das anteriores MB N Questão 67) Quando a projeção de um ângulo sobre um plano paralelo a um de seus lados é um ângulos reto, podemos afirmar que: a) 90º < < 180º b) < 90º c) = 90º d) = 2 Rd e) nenhuma das respostas acima é válida Questão 68) Quanto à soma dos ângulos que uma reta forma com dois planos perpendiculares, podemos afirmar que: a) é menor do que 90 graus b) é igual a 90 graus c) é maior do que 90 graus e menor do que 180 graus d) é igual a 180 graus e) não podemos garantir nenhuma das respostas acima Questão 69) Dados um ponto e uma reta que não se pertencem, considere o feixe de planos por aquela reta. O lugar geométrico dos traços das perpendiculares conduzidas pelo ponto a cada um dos planos é uma: a) reta b) elipse c) circunferência d) parábola e) curva inversa Questão 70) Seja p um plano. Sejam A, B, C e D pontos de p e M um ponto qualquer não pertencente a p. Então: a) Se C dividir o segmento AB em partes iguais a MA = MB, então o segmento MC é perpendicular a p. b) Se ABC for um triângulo eqüilátero e D for eqüidistante de A, B e C, então o segmento MD é perpendicular a p. c) Se ABC for um triângulo eqüilátero e D for eqüidistante de A, B e C, então MA = MB = MC, implica em que o segmento MD é perpendicular a p. d) Se ABC for um triângulo eqüilátero e o segmento MD for perpendicular a p, então D é eqüidistante de A, B e C. e) Nenhuma das respostas anteriores. Questão 71) Leia as afirmativas abaixo e escolha a alternativa correta: I. Dados um plano e dois pontos A e B fora dele é sempre possível passar por A e B um plano perpendicular a. II. Dadas 2 retas reversas a e b não existe nenhum plano eqüidistante das duas retas. III. Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, elas são paralelas ou reversas. IV. Quatro pontos distintos e não-coplanares determinam exatamente 5 planos. V. Se dois planos forem perpendiculares, todo plano perpendicular a um deles será perpendicular ao outro. VI. O poliedro regular que tem 30 arestas e 20 vértices é o dodecaedro. São verdadeiras: a) apenas uma afirmação b) apenas duas afirmações c) apenas tr~es afirmações

11 d) apenas quatro afirmações e) todas são falsas Questão 72) Dois segmentos dizem-se reversos quando não são coplanares. Neste caso, o número de pares de arestas reversas num tetraedro, como o da figura, é: B A D Analise as proposições abaixo: I. Se duas retas distintas são paralelas entre si, então existe apenas um plano que as contém. II. Se duas retas são perpendiculares a um mesmo plano, então elas são coplanares. III. Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é perpendicular a qualquer reta do plano. Podemos afirmar que: a) somente as proposições I e II estão corretas. b) somente as proposições I e III estão corretas. c) somente as proposições II e III estão corretas. d) somente a proposição II está correta. e) as proposições I, II e III estão corretas. a) 6. b) 3. c) 2. d) 1. e) 0. Questão 73) C Questão 76) O princípio de Arquimedes, descoberto no século III a.c., é um modo prosaico de calcular o volume de um sólido de qualquer formato. A figura 1 mostra uma pedra submersa em um recipiente com água e, na figura 2, vemos este mesmo recipiente sem a pedra. Se a reta r está contida no plano e é paralela ao plano, então a) a reta interseção de e, se existir, será paralela a r. b) e são dois planos paralelos. c) e são dois planos perpendiculares. d) e são planos congruentes. Questão 74) Em Geometria Espacial, é sempre correto afirmar que a) dois planos perpendiculares a uma mesma reta são perpendiculares entre si. b) duas retas pertencentes a planos paralelos distintos, são paralelas entre si. c) duas retas paralelas a um mesmo plano são paralelas entre si. d) uma reta paralela à interseção de dois planos é paralela a esses dois planos. e) dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são paralelos entre si. Observando as figuras, podemos concluir que o volume da pedra é igual a a) 1/3 do volume de água b) 2/3 do volume de água. c) 1/2 do volume de água. d) 3/4 do volume de água. e) 3/2 do volume de água. Questão 77) Na figura abaixo têm-se os planos e, paralelos entre si, e a reta r, perpendicular a ambos e que intercepta em A e em B. A distância entre os planos é 8 cm. Questão 75)

12 Sobre os conhecimentos de geometria tridimensional, considere as afirmativas: I. Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes. II. Três pontos distintos entre si determinam um único plano. III. Duas retas paralelas distintas determinam um plano. IV. Se duas retas r e s são reversas, então existe um único plano a que contém r e é paralelo a s. 00. Se as retas s e t são tais que s, t, A s e B t, então s e t são paralelas entre si. 01. O ponto B pertence à reta v, que intercepta em C. Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios de AB e BC. Se AC = 6 cm, o perímetro do triângulo BMN é igual a 12 cm. 02. O ponto A pertence às retas s, t, u, que interceptam nos pontos C, D e E, distintos de B. Se o triângulo CDE é eqüilátero, de lado 2 cm, o volume da pirâmide ACDE é igual a cm. 03. Uma esfera tangência os planos e nos pontos A 2 e B. A área da superfície dessa esfera é igual a 256 cm. 04. As retas s e t são, respectivamente, as intersecções de e com um plano perpendicular a ambos. Se a distância do ponto A à reta s é 5 cm, então a distância do ponto A à reta t é 89 cm. Gab: FVVFV Questão 78) Duas retas distintas que são perpendiculares a uma terceira podem ser: I. concorrentes entre si. II. perpendiculares entre si. III. paralelas. IV. reversas e não ortogonais. V. ortogonais. Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem se: a) VVVVV b) VFVFV c) FVFFF d) VVVVF e) FFFVF Questão 79) A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é: a) I e II b) I e IV c) III e IV d) I, II e III e) II, III e IV Questão 80) Sejam as afirmativas: I. Duas retas que não se interceptam são paralelas entre si. II. Duas retas que não se interceptam são reversas entre si. III. Se uma reta é perpendicular a uma reta do plano, então ela é perpendicular a esse plano. IV. Uma reta e um plano são paralelos. Toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano. Podemos concluir que a) apenas I é verdadeira. b) apenas II é verdadeira. c) todas são falsas. d) apenas III é verdadeira. e) apenas IV é verdadeira. Questão 81) Os centros de três esferas não são colineares. Assinale a opção que corresponde ao maior número possível de planos tangentes a todas elas. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

13 Questão 82) Considere as seguintes planificações. Considere as três sentenças a seguir: I. Se uma reta é paralela a uma reta de um plano, então ela é paralela ao plano. II. Se dois planos têm um ponto em comum, então eles têm uma reta em comum. III. Se dois planos distintos são perpendiculares a um terceiro plano, então eles são paralelos. É correto afirmar que a) I e III são falsas e II é verdadeira. b) I é falsa e II e III são verdadeiras. c) III é falsa e I e II são verdadeiras. d) I, II e III são falsas. e) I, II e III são verdadeiras. Questão 83) A figura ao lado representa a planificação de um poliedro convexo. I. II. III. Quais delas podem ser planificações do prisma? a) apenas I b) apenas II c) apenas I e II d) apenas II e III e) I, II e III O número de vértices deste poliedro é: a) 12. b) 14. c) 16. d) 20. e) 22. TEXTO: 1 - Comum à questão: 84 Poderão ser utilizados os seguintes símbolos e conceitos com os respectivos significados: log x: logarítimo de x na base 10 log a x : logarítimo de x na base a Círculo de raio r 0 : conjunto dos pontos do plano cuja distância a um ponto fixo do plano é igual a r. Questão 84) Questão 85) Considere duas retas r e s concorrentes em um ponto P. Com relação a essa informação, assinale a alternativa correta. a) Se t é uma reta perpendicular a r em P, então t não pode ser perpendicular a s em P. b) Qualquer plano contendo r intercepta s em um único ponto. c) Se u é uma reta reversa às retas r e s, então toda reta passando por P será reversa a u. d) Se u é uma reta reversa às retas r e s, então existe uma única reta passando por P paralela a u. e) Se m é uma reta paralela a r, então m intercepta s. Questão 86) No país do México, há mais de mil anos, o povo Asteca resolveu o problema da armazenagem da pós-colheita de grãos com um tipo de silo em forma de uma bola colocado sobre uma base circular de alvenaria. A forma desse silo é obtida juntando 20 placas hexagonais e mais 12 placas pentagonais. A figura abaixo representa um prisma reto de base hexagonal regular.

14 b) Quatro pontos no espaço determinam quatro planos. c) Três planos distintos podem se cortar, dois a dois, segundo três retas duas a duas paralelas. d) A interseção de dois planos secantes pode ser um único ponto. e) Duas retas reversas determinam um plano. acessado em 10/10/2007. [Adapt.] Com base no texto, é correto afirmar que esse silo tem a) 90 arestas e 60 vértices. b) 86 arestas e 56 vértices. c) 90 arestas e 56 vértices. d) 86 arestas e 60 vértices. e) 110 arestas e 60 vértices. f) I.R. Questão 87) Assinale a afirmação correta: a) Uma reta e um plano são paralelos. Toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano. b) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano. c) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano. d) Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um plano, então ela está contida no plano. e) Para uma reta ser perpendicular a um plano é suficiente que ela seja perpendicular a uma reta do plano que passa por seu traço. Questão 88) As três retas s 1, s 2 e s 3 são concorrentes no espaço tridimensional. Sendo as retas s 1 e s 2 perpendiculares à reta s 3, as retas s 1 e s 2 são obrigatoriamente a) perpendiculares entre si. b) coincidentes. c) paralelas. d) pertencentes a um plano perpendicular a s 3. Questão 89) Sobre geometria espacial de posição, assinale a afirmativa correta. a) Se dois planos são paralelos a uma reta, então eles são paralelos entre si. Questão 90) Quantas diagonais de um prisma octogonal partem de um mesmo vértice? a) 5 b) 8 c) 9 d) 12 e) 16 Questão 91) A figura mostra um dodecaedro regular, poliedro convexo com 20 vértices e 12 faces, todas pentagonais. Seja C o conjunto de todos os triângulos, que podem ser formados ligando 3 quaisquer dos 20 vértices de um dodecaedro regular. O número de triângulos de C que não estão contidos em nenhuma das faces desse dodecaedro é igual a a) b) c) d) 960. e) 840. Questão 92) Se duas esferas estão apoiadas sobre uma região plana, têm raio de 0,9 m e 0,4 m, repectivamente, e a distância entre os seus centros é igual a 2,5 m, então elas tangentes entre si e a distância entre os

15 pontos em que elas tangenciam a região é igual a, aproximadamente, metros. Assinale a alternativa que preenche correta e respectivamente as lacunas acima. a) são 2,4 b) não são 2,4 c) são 2,5 d) não são 1,3 e) são 1,3 Questão 93) Considerando a geometria de posição espacial, analise as afirmações seguintes. I. Se três planos são concorrentes em um ponto, então uma reta secante a um deles também é secante a pelo menos um dos outros dois. II. Dadas duas retas perpendiculares r e s, com s contida num plano, então a reta r está contida no plano ou é perpendicular a ele. III. O número máximo de planos definidos por 6 pontos no espaço é 20. IV. Se r s é o conjunto vazio, então as retas r e s são coplanares paralelas distintas. Assinale a alternativa correta. a) Apenas a afirmação III está correta. b) Apenas as afirmações II, III e IV estão corretas. c) Apenas as afirmações I e II estão corretas. d) Todas as afirmações estão incorretas. e) Todas as afirmações estão corretas. Questão 94) Um triângulo ABC está inclinado em relação a um plano α, e as distâncias entre os vértices A, B e C e o plano são, respectivamente, de 3cm, 5cm e 7cm. Qual a distância entre o baricentro do triângulo e o plano? Obs.: o baricentro de um triângulo é o ponto de encontro de suas medianas. a) 4,5cm b) 5,0cm c) 5,5cm d) 6,0cm e) 6,5cm Questão 95) Todas as afirmativas abaixo são verdadeiras, EXCETO a) Todo plano é um conjunto de pontos. b) Toda reta é um conjunto de pontos. c) Todo plano é um conjunto de retas. d) Três pontos colineares são coplanares. Questão 96) Considere as retas r e s e os planos e. Podemos afirmar que a) r // s e r // s // ou s. b) r = e s s //. c) r // s e s r. d) r // e s // r // s. Questão 97) As afirmações abaixo são verdadeiras, EXCETO a) Toda secção de um diedro reto é um ângulo reto. b) O bissetor de um diedro reto forma, com suas faces, dois diedros de 45º. c) Três semirretas de mesma origem e não coplanares determinam um triedro. d) A soma das medidas das faces de um triedro é menor do que 360º. Questão 98) Sejam e dois planos paralelos, cuja distância entre eles é 4 m, e r uma reta que os intercepta nos pontos A e B, com A e B, determinando um segmento AB, cuja medida é 5 m. Nestas condições, a medida, em metro, da projeção ortogonal do segmento AB sobre o plano é a) 4,5. b) 4,0. c) 3,5. d) 3,0.

16 Questão 99) Das afirmações: I. Duas retas coplanares são concorrentes; II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas; III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma das retas; IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo, é (são) verdadeira(s) apenas a) III. b) I e III. c) II e III. d) III e IV. e) I e II e IV. Questão 100) Considere as afirmativas a seguir: I. Três pontos distintos não colineares determinam um plano. II. Um plano pode ser determinado por duas retas concorrentes. III. Duas retas distintas são paralelas se, e somente se, são coplanares. IV. Por um ponto de uma reta existem infinitos planos perpendiculares a essa reta. V. Se um plano intercepta dois planos paralelos então as interseções destes planos são duas retas paralelas. Pode-se afirmar que: a) Somente as afirmativas I, II e V são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I, IV e V são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I, III e V são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I, II e IV são falsas. e) Somente as afirmativas I, III e IV são falsas.

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