Aula 24 mtm B GEOMETRIA ESPACIAL

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1 Aula 24 mtm B GEOMETRIA ESPACIAL

2 Entes Geométricos Ponto A T Reta r s Plano Espaço y α z x

3 Entes Geométricos Postulados ou Axiomas Teorema a 2 = b 2 + c 2 S i =180 Determinação de uma reta Posições relativas entre reta e ponto Pertencente Não Pertencente

4 Posição Relativa Entre Retas coplanares reversas concorrentes paralelas ortogonais oblíquas perpendiculares oblíquas distintas coincidentes

5 Posição Relativa Entre Retas Exemplo 2: Classifique as retas. a) y = 2x 6 e y = 3z - 1 coplanares ou reversas b) y = 2x 6 e y = 3x - 1 coplanares ou reversas concorrentes ou paralelas perpendiculares ou oblíquas c) y = - 1/3x + 8 e y = 3x - 1 coplanares ou reversas concorrentes ou paralelas perpendiculares ou oblíquas d) y = 3x + 8 e y = 3x + 8 coplanares ou reversas concorrentes ou paralelas distintas ou coincidentes

6 Homens X Mulheres

7 Determinação do Plano 3 pontos não colineares 1 reta e 1 ponto não pertencente 2 retas paralelas distintas 2 retas concorrentes

8 Posição Relativa Entre Planos Secantes perpendiculares Paralelos distintos oblíquos coincidentes

9 Posição Relativa Entre Reta e Plano Secantes Paralelos perpendiculares oblíquas Contida

10 Projeção ortogonal Ponto Ponto

11 Projeção ortogonal Reta Reta Ponto Reta

12 Projeção ortogonal Segmento Segmento de mesmo comprimento Ponto Segmento de comprimento menor que o projetado

13 Projeção ortogonal Polígono Triângulo equilátero Segmento de reta Polígono Regular (triângulo equilátero) Polígono Irregular (triângulo isósceles) Polígono Semi-regular

14 Projeção ortogonal Círculo Segmento de reta Círculo Elipse

15 Projeção ortogonal Parábola Reta Parábola Semi-reta

16 A condição necessária e suficiente de paralelismo de plano e uma reta não contida nele, é que ela seja... paralela a uma reta desse plano.

17 A condição necessária e suficiente de paralelismo de dois planos é que um deles contenha duas retas... concorrentes paralelas ao outro.

18 Toda reta perpendicular a duas retas concorrentes de um plano é... perpendicular... ao plano.

19 Dois planos serão perpendiculares quando uma reta de um deles for... perpendicular ao outro plano.

20 Problemas Exemplo 2: (UFSC) Sobre pontos, retas e planos, pode-se afirmar: 01. Por três pontos, passa uma única reta. 02. Por três pontos, passa um único plano. 04. Por um ponto fora de um plano, passa uma única reta perpendicular a esse plano. 08. Planos paralelos interceptam duas retas distintas quaisquer, determinando sobre elas segmentos proporcionais. 16. O plano que contém uma perpendicular a outro plano é perpendicular a esse segundo plano. 32. Toda reta paralela a um plano é paralela a qualquer reta desse plano. Gabarito: 28

21 Problemas Exemplo 3: (UFSC) Marque a soma da(s) proposição(ões) verdadeira(s) 01. Dois planos que possuem 3 pontos em comum são coincidentes. 02. Se duas retas r e s, no espaço, são ambas perpendiculares a uma reta t, então r e s são paralelas. 04. Duas retas concorrentes determinam um único plano. 08. Se dois planos A e B são ambos perpendiculares a um outro plano C, então A e B são planos paralelos. 16. Se duas retas r e s são paralelas a um plano A, então r e s são paralelas. Gabarito: 04

22 Problemas Exemplo 4: (UFSC) Marque a soma da(s) proposição(ões) verdadeira(s) 01. A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto. 02. Se dois segmentos não congruentes são oblíquos ao plano de projeção, então o maior tem projeção ortogonal maior. 04. Se dois segmentos são congruentes e formam o mesmo ângulo com o plano de projeção, então ambos os segmentos têm projeção ortogonal de mesmo comprimento 08. Se as projeções ortogonais de dois segmentos sobre um plano de projeção são dois pontos, então os segmentos são paralelos. 16. Se um segmento é perpendicular ao plano de projeção, sua projeção ortogonal é um segmento. Gabarito: 13

23 Problemas Exemplo 5: (UFSC) Marque a soma da(s) proposição(ões) verdadeira(s) 01. A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é sempre uma reta. 02. Se uma reta é perpendicular ao plano de projeção, sua projeção ortogonal é um ponto. 04. Um segmento é oblíquo a um plano. Então sua projeção ortogonal é menor do que ele. 08. Se um segmento tem projeção ortogonal congruente a ele, então ele é paralelo ou está contido no plano de projeção. 16. Se as projeções ortogonais de duas retas, sobre um plano, são paralelas, então as retas são paralelas. 32. A projeção ortogonal de um triângulo, sobre um plano, é sempre um triângulo. Gabarito: 14

24 Problemas Exemplo 6: (UFSC) Marque a soma da(s) proposição(ões) verdadeira(s) 01. Dado um ponto, existe pelo menos uma reta que o possui. 02. Dados dois pontos distintos, existe um único plano passando por eles. 04. Três pontos distintos, não colineares, determinam um único plano. 08. Se três pontos são coplanares, então eles são colineares. 16. Os vértices de um triângulo não são coplanares. Gabarito: 05

25 Aula 24 mtm B FIM

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