Poliedros 1 ARESTAS FACES VERTICES. Figura 1.1: Elementos de um poliedro

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1 Poliedros 1 Os poliedros são sólidos cujo volume é definido pela interseção de quatro ou mais planos (poli + edro). A superfície poliédrica divide o espaço em duas regiões: uma região finita, que é a parte interna do poliedro e uma região infinita, o exterior do poliedro. 1.1 Elementos de um Poliedro A interseção dos diversos planos que compõem o poliedro produzem retas, denominadas arestas do poliedros, cujas interseções formam os vértices do poliedro. Os polígonos obtidos através da delimitação dos planos (que formam a superfície poliédrica) pelas arestas, são denominados faces do poliedro. ARESTAS FACES VERTICES Figura 1.1: Elementos de um poliedro 1.2 Classificações dos Poliedros Há várias formas de classificação dos poliedros. Pode-se classificá-los pela sua forma, pelas características de suas faces, por relações entre as posições das arestas e faces, entre outros. As classificações mais comuns dizem respeito à regularidade, à convexidade e à forma (relações entre faces e arestas) do poliedro. Alguns autores consideram as pirâmides, prismas e troncos como uma sub-classificação dos poliedros. Outros, porém, não consideram as pirâmides, prismas e troncos como poliedros, mas sim como classes à parte dos poliedros. Os poliedros seriam todos os demais sólidos geométricos. Em alguns casos, como por exemplo o cubo, um prisma seria considerado um poliedro (veja seção 1.4). 1

2 Geometria Descritiva - Julio Torres Convexidade A convexidade de um poliedro é definida da seguinte forma: Um poliedro é dito convexo se o segmento de reta obtido através da interseção qualquer reta que atravesse o poliedro, desde o ponto onde a reta entra no poliedro até o ponto de saída, estiver totalmente contido no poliedro (figura 1.2(a)). Caso o segmento possua um ou mais pontos externos ao poliedro (figura 1.2(b)), então este é dito não-convexo ou côncavo. SEGMENTO EXTERNO (a) (b) Figura 1.2: Convexidade do Poliedro: (a) poliedro convexo e (b) poliedro nãoconvexo Todo poliedro não-convexo pode ser composto ou desmembrado em poliedros convexos. Na figura 1.2(b) pode-se observar que o poliedro não-convexo pode ser composto por dois poliedros convexos (duas pirâmides convexas). Dessa forma, o estudo dos poliedros concentra-se apenas nos poliedros convexos, uma vez que os não-convexos podem sempre ser compostos por poliedros convexos Regularidade A regularidade de um poliedro depende do tipo de poliedro. No caso mais geral diz-se que um poliedro é regular se todas as suas faces forem polígonos regulares, exceto para as pirâmides, prismas e troncos de prismas e de pirâmides. Os poliedros regulares clássicos são apenas cinco: o tetraedro (faces triangulares), o hexaedro ( seis faces quadradas), o octaedro (oito faces triangulares), o dodecaedro (12 faces pentagonais) e o icosaedro (20 faces triangulares). Os poliedros regulares portanto possuem apenas faces que são triângulos equiláteros, quadrados ou pentágonos regulares. No caso das pirâmides, prismas e seus troncos, a regularidade depende de fatores específicos de cada um desses poliedros e será discutida nas respectivas seções. 1.3 Pirâmides As pirâmides são poliedros com características distintas das dos poliedros formados por faces regulares iguais. Nas pirâmides todas as arestas das faces laterais convergem para um único vértice, denominado vértice principal da pirâmide. A

3 Geometria Descritiva - Julio Torres 3 face oposta ao vértice principal é denominada base da pirâmide. A altura de uma pirâmide é a distância do vértice principal ao plano da base (distância de ponto a plano). Uma pirâmide é dita regular se todas as suas faces laterais forem polígonos iguais (triângulos isósceles). Nesse caso, a base também será um polígono regular e sua altura será dada pela distância do vértice principal ao centro da base. A única pirâmide regular que também é um poliedro regular é o tetraedro. Na figura 1.3 temos alguns exemplos de pirâmides. (a) (b) (c) Figura 1.3: Exemplos de pirâmides: (a) Pirâmide regular de base octagonal, (b) pirâmide irregular de base octagonal regular e (c) pirâmide irregular de base octagonal irregular Troncos de Pirâmides Um tronco é uma seção de um poliedro. Um tronco de pirâmide é obtido pela seção de uma pirâmide por um plano que atravesse todas as suas arestas laterais. Nesse caso são formados dos poliedros: uma pirâmide menor e um tronco de pirâmide, como mostrado na figura 1.4. O plano secante não precisa, necessariamente, ser paralelo à base da pirâmide para que exista o tronco de pirâmide. Caso o plano secante não atravesse todas as arestas laterais os poliedros resultantes poderão ser ou não pirâmides ou troncos. A figura 1.4 mostra dois troncos de pirâmide obtidos por um plano paralelo à base e um obtido por uma plano oblíquo à base. 1.4 Prismas Os prismas são sólidos geométricos obtidos pela delimitação de uma superfície prismática. Uma superfície prismática é aquela obtida pela translação de uma reta segundo uma linha poligonal fechada. Quando uma superfície prismática é seccionada por dois planos paralelos, então obtém-se um prisma. As principais características de uma prisma são que todas as suas arestas laterais são paralelas entre si e as duas faces obtidas pelas seções planas são polígonos iguais. Portanto um prisma é um poliedro convexo com duas faces que são polígonos quaisquer, paralelos e iguais e com faces laterais que são paralelogramos.

4 Geometria Descritiva - Julio Torres 4 (a) Figura 1.4: Troncos de pirâmide: obtido por (a) plano paralelo à base e (b) plano oblíquo à base (b) Quando os planos secantes (que delimitam o volume da superfície prismática) são perpendiculares às arestas laterais, então o prisma é dito reto e as suas bases são perpendiculares às faces laterais. Nesse caso, as faces laterais são retângulos ou quadrados e as arestas laterais são iguais à altura. Quando o prisma não é reto diz-se que ele é oblíquo e portanto as faces laterais são maiores que a altura do prisma, definida como a distância entre os dois planos das bases. Todo prisma oblíquo é um poliedro irregular enquanto os prismas retos podem ser poliedros regulares, desde que suas bases sejam polígonos regulares. Um prisma regular não é necessariamente um poliedro regular. Um prisma é dito regular se ele for reto e as suas bases forem polígonos regulares. O cubo é o único prisma regular que também é um poliedro regular. A figura 1.5 mostra um prisma reto e um prisma oblíquo, ambos de base pentagonal. (a) (b) Figura 1.5: Prismas: (a) prisma reto e (b) prisma oblíquo Troncos de Prismas Um tronco de prisma só pode ser obtido por um plano não paralelo às bases, caso contrário continuaremos a ter dois prismas menores. Portanto um tronco de prisma terá obrigatoriamente arestas laterais paralelas porém suas bases não serão iguais

5 Geometria Descritiva - Julio Torres 5 nem paralelas. Dois exemplos de troncos de prismas podem ser observados na figura 1.6, um tronco de prisma reto e um tronco de prisma oblíquo. (a) (b) Figura 1.6: Troncos de prisma: (a) reto e (b) oblíquo 1.5 Representação dos Sólidos em Épura Um sólido geométrico (poliedros em geral, prismas, pirâmides e troncos) são representados em épura através das projeção de suas arestas. Cada aresta de um poliedro é um segmento de reta e portanto pode ser representado em épura através de duas projeções: a vertical e a horizontal. Figura 1.7: Representação de uma pirâmide em épura: (a) visualização espacial e (b) épura correspondente Como exemplo, examine a figura 1.7(a). Nessa figura temos representada uma pirâmide de base retangular irregular e é assumido que a base da pirâmide encontrase paralela ao plano horizontal de projeção (π). Abaixo da pirâmide é realizada a sua projeção horizontal. Todos os vértices (pontos) e suas arestas (segmentos de

6 Geometria Descritiva - Julio Torres 6 reta) são projetados no plano horizontal, portanto obteremos as projeções A, B, C, D e V dos respectivos vértices, assim como os segmentos que unem estas projeções. A projeção horizontal dessa pirâmide pode ser observada na figura 1.7(b), na parte inferior da épura. De forma análoga à projeção horizontal pode-se realizar a projeção vertical dessa mesma pirâmide, para compor a épura. Os vértices da pirâmides serão projetados sobre o plano (π ), dando origem às projeções A, B, C, D e V. Note que, como a base da pirâmide encontra-se paralela ao plano (π) as cotas dos pontos (A), (B), (C) e (D) são iguais e portanto as projeções verticais das arestas (AB), (BC), (CD) e (AD) serão segmentos paralelos à linha de terra e coincidentes. A projeção vertical da pirâmide pode ser observada na parte superior da épura da figura 1.7(b). É importante notar que, na projeção horizontal, todas as arestas são visíveis. Uma aresta é dita visível quando não há nenhum plano entre o observador (no infinito) e a aresta a ser projetada. Porém na projeção vertical nem todas as arestas ficam visíveis. As arestas que delimitam o contorno da projeção ou do objeto são sempre visíveis. Observe a aresta (BV) na projeção vertical. Quando fazemos a projeção vertical, é como se estivéssemos observando a pirâmide de frente, com o plano (π ) atrás da pirâmide. Desse modo, a face (VDC) fica na frente ou esconde a aresta (BV), que está atrás da pirâmide, próxima ao plano (π ). Quando isso ocorre diz-se que a aresta encontra-se invisível e é representada por uma linha tracejada. Note que as arestas (AB) e(bc) na projeção vertical, também são invisíveis. Porém, neste caso, como as arestas da base estão em um mesmo plano horizontal, as aresta (AD) e (DC) que são visíveis se sobrepõem às outras duas. Quando ocorre sobreposição de arestas visíveis com invisíveis, representa-se apenas as visíveis, sem prejuízo de entendimento na épura. Um octaedro irregular, que pode ser visto na figura 1.8 como duas pirâmides unidas, pode ter projeção horizontal igual à da figura 1.7. Isto ocorre pois as arestas da parte superior possuem projeções horizontais que se sobrepõem às das arestas inferiores. Porém quando observamos a projeção vertical do octaedro não há dúvidas sobre o seu formato, pois vemos que existe a parte superior e inferior. Na figura 1.9 temos um prisma reto de base pentagonal (prisma regular) apoiado no plano (π): Na figura 1.10 é são mostradas a épura e a visualização espacial de um prisma oblíquo de base hexagonal regular (a base é regular o prisma é irregular). 1.6 Seções Planas de Poliedros A interseção de um plano com um poliedro gera uma figura plana, denominada seção do poliedro. Essa seção pode ser obtida se realizarmos a interseção de cada aresta do poliedro com o plano secante. Ou então, se realizarmos a interseção de cada plano das faces com o plano secante. A segunda opção é geralmente mais trabalhosa, pois exige a determinação dos traços de cada plano que forma a face do poliedro e sua interseção com o plano secante. A interseção de cada aresta com o plano secante, geralmente torna a obtenção da seção mais simples, dependendo do tipo de plano secante e da posição da aresta.

7 Geometria Descritiva - Julio Torres 7 Figura 1.8: Representação de um octaedro irregular em épura: (a) visualização espacial e (b) épura correspondente Figura 1.9: Representação de um prisma reto em épura: (a) visualização espacial e (b) épura correspondente Um exemplo pode ser observado na figura Nessa figura uma pirâmide apoiada no plano (π) é cortada por um plano de tôpo (α), gerando a seção. Como o plano é perpendicular à (π ), as projeções da interseção é facilmente obtida na projeção vertical.

8 Geometria Descritiva - Julio Torres 8 Figura 1.10: Representação de um prisma reto em épura: (a) visualização espacial e (b) épura correspondente Figura 1.11: Seção de uma pirâmide por um plano de tôpo

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