RaizDoito. 1. Num referencial o.m. do plano, considere a reta r de equação x = -5.

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1 1. Num referencial o.m. do plano, considere a reta r de equação x = -5. Qual dos seguintes pares de pontos define uma reta perpendicular à reta r? (A) (B) ( C) (D) 2. A condição que define o domínio plano indicado a sombreado na figura é: (A) (x 1) 2 + y 2 9 x < 2 y 0 y x (B) (x 1) 2 + y 2 9 x < 2 y > 0 x > 0 (C) x 2 + (y 1) 2 9 x 0 y < 2 y x (D) (x 1) 2 + y 2 3 x < 2 x 0 y x 3. Dados os pontos A (2, 0, 1 ) e B (-2, 1, 2 ), uma equação vetorial de reta AB é dada por: (A) (B) (C ) (D) 4. Considere os vetores u = (3,2) e v =(-6, -4). Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) u e v não são colineares e v = 2u ; (B) u e v são colineares e v = 2u ; (C) u e v são colineares e v = u ; 1

2 (D) u e v não são colineares e v = 2 u ; 5. Sendo P (-1, 5), Q (2, -4) e u (-2, 6) então os vetores PQ e u : (A) (B) (C) (D) têm a mesma direção; têm o mesmo comprimento; são simétricos; têm o mesmo sentido. 6. Num referencial o.n. Oxyz, considere os pontos S (1, 1,1) e T (-1, 1, -1 ). Uma equação da superfície esférica que tem por diâmetro [ST] é: (A) (x + 1) 2 + (y + 1) 2 + (z + 1) 2 = 3 (B) (x 1) 2 + (y 1) 2 + (z 1) 2 = 12 (C ) x 2 + y 2 + z 2 = 3 (D) x 2 + y 2 + z 2 = 1 7. Num referencial o.n. Oxyz, considere: O plano a de equação y=4; a superfície esférica E, de equação x 2 + (y 2) 2 + z 2 = 4 A interseção da superfície esférica E com o plano a é: (A) uma circunferência de raio 1 (B) o conjunto vazio (C) um ponto (D) uma circunferência de raio 2 8. Indique uma condição que defina a região sombreada

3 9.Observe o referencial xoy o.m. e os pontos A, B, C, D e E nele assinalados. a. Indique as coordenadas do ponto: i. Simétrico de A em relação ao eixo das ordenadas; ii. Simétrico de B em relação ao eixo das abcissas; iii. Simétrico de E em relação à origem do referencial. b. Escreva uma equação da reta: i. Vertical que passa pelo ponto C; -4 2 ii. Horizontal que passa pelo ponto D. iii. Bissetriz dos quadrantes pares. -4 c. Indique dois pontos equidistantes da origem. 10. Represente num referencial cartesiano o.m. o conjunto dos pontos do plano tais que: Determine o volume do tronco de cone representado na figura. Apresente o resultado, em centímetros cúbicos, arredondado às unidades. 3

4 11 m 12. Em relação a um referencial ortogonal e monométrico, considere os pontos: A (3,-2) B (7,1) C (0,2) Calcule o perímetro do triângulo [ABC] Mostre que o triângulo é retângulo e classifique-o quanto aos lados Calcule a área do triângulo [ABC] Calcule o ponto médio do lado [ABI Determine a equação da mediatriz do segmento de reta [BC]. 13 O sólido da figura é constituído por um cubo com 4 cm de aresta e por uma pirâmide. Sabe-se que a secção produzida no sólido pelo plano BOG tem de área 35 cm Determine a altura da pirâmide, apresentando o resultado arredondado às décimas. 14. Na figura, P é o ponto de coordenadas (1, 1), o comprimento de PQ é 2 13 e o ponto Q tem ordenada 5. Sobre o triângulo [PQR] retângulo em R, pode concluir-se que a sua área, em unidades de área é: 4

5 (a) 5 13 (b) 13 (c) (d) Considere o ponto A de coordenadas (3, -2). Seja B um ponto tal que o seu simétrico relativamente à bissetriz dos quadrantes pares pertence ao mesmo quadrante que o ponto A. As coordenadas do ponto B são: (A) (-1, -3) (B) (0, -2) (C) (3, -1) (D) (2, 0) 16. Na figura, está representado um cubo de aresta 8. Os pontos A, B e C são vértices da mesma face do cubo. O ponto D pertence a uma das arestas do cubo e o comprimento da aresta CD = 6; Qual é o valor da área da secção produzida no cubo pelo plano ABD? (A) 100 (B) 40 (c) 80 (D) Numa caixa como a da figura, cabem oito bolas geometricamente iguais. Quantas bolas caberiam se a caixa tivesse o dobro do comprimento, o triplo da altura e o quádruplo da largura? (A) 192 (B) 96 (C) 64 (D) 42 5

6 18. A figura representa uma circunferência de centro O, de raio 5 cm e BÔA = 60 0 Qual das afirmações é verdadeira? (A) A área do círculo de centro O é 10m cm 2; (B) A área do triângulo [ABC] é 186 cm 2 ; ( C) O triângulo [AOB] é retângulo; (D) O perímetro do triângulo [ABC], com aproximação às décimas, é igual a 23,7 6

7 19. Na Figura está representada uma pirâmide quadrangular regular [ABCDV] cuja base tem 180 dm 2 de área e cuja altura é 48 dm. Sobre esta pirâmide deixou-se descair a peça metálica representada na figura, de tal modo que esta peça ficou paralela à base da pirâmide e os vértices do quadrado [EFGH] ficaram sobre as arestas laterais da pirâmide. Determine a distância, d em dm, entre a peça metálica e base da pirâmide Nota- Admita que a espessura da peça metálica é desprezável e tenha em conta que a área do quadrado [EFGH] é 20 dm Na figura estão representados dois recipientes, A e B, com a forma de prisma quadrangular regular reto de aresta 8 cm e de pirâmide quadrangular regular reta, respetivamente. Em ambos os recipientes há igual quantidade de líquido Determine a altura de recipiente B, sabendo que a área da superfície do líquido neste recipiente é de 48 cm 2 21.Numa circunferência inseriram-se 5 quadrados de lado a cm, como mostra a figura Mostre que a área da região sombreada é dada pela expressão: 5a 2 ( π 1) cm2 2 7

8 22 A figura representa a planificação de um cubo onde está assinalado [AB] o trajeto percorrido por uma aranha. A aresta do cubo mede 6 cm e A e B são os pontos médios das arestas a que pertencem Determine a distância percorrida pela aranha Determine a distância (comprimento do menor trajeto) entre o ponto de partida e o ponto de chegada da aranha. 23. Na figura, está representada uma planificação de um cubo. Em qual das opções seguintes pode estar representado esse cubo? 24. A diagonal do quadrado da figura mede 2 a cm. A área da zona sombreada é dada (em cm 2 ) por: 8

9 (A) a 2 (π 1) (B) ( π 4 1) ( C) 2 2 a (D) a2 ( π 2 1) 25.Na figura, está representado, em referencial o.n. Oxyz, um cubo de aresta 3. Sabe-se que: A face [ABCD] está contida no plano xoy A aresta [DC] está contida no eixo Oy O ponto D tem coordenadas (0, 3, 0) Os pontos de coordenadas (3, 3, 0) e (0, 6, 0) são vértices do cubo. Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices? (A) BCF (B) ABC (c) BDH (D) ACG 26. Sendo A (2, 4, 3), B(-1, 5, -3) e (-2, 6, -4) v podemos afirmar que os vetores e : AB v (A) Têm a mesma direção (B) São simétricos (C ) Têm o mesmo sentido (D) Têm o mesmo comprimento 27. Considere a figura ao lado. Sabe-se que: AB //CE; AC // ED ; A altura do triângulo [ABC] é o triplo da altura do triângulo [CDE]. 9

10 Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) A razão entre as áreas dos triângulos [ABC] e [CDE] é igual a 9. (B) (c) (D) BD = 3 CD Os triângulos [ABC] e [CDE] não são semelhantes. A razão entre as áreas 28.Na imagem pode ver-se uma construção em madeira formada por quatro cubos iguais nos quais se aplicou um referencial o.m. Oxyz. Cada cubo tem aresta 6. O vértice A pertence ao eixo Ox. Os vértices C e D pertencem ao eixo Oy. O vértice H pertence ao eixo Oz Indique as coordenadas dos vértices J, E, B e M Justifique que as retas IJ e DE definem um plano Defina por uma condição a aresta [BL] Defina por uma condição o plano que contém a face [CFJI] Defina por uma condição a face [ABKL] Determine uma equação do plano mediador do segmento [BG]. 29.Na figura estão representados uma esfera e um plano 9. Sabe-se que: O plano 9 é paralelo ao plano xoy; A esfera é tangente ao plano xoy e ao plano 6 no ponto A (4, 5) x 10

11 29.1 Escreva uma equação do plano Indique as coordenadas do ponto em que a esfera é tangente ao plano xoy Escreva uma condição que caracterize a esfera Determine o raio do círculo que resulta da interseção da esfera com o plano de equação z= O sólido da figura é constituído por um cilindro e por um cone. Atendendo aos dados da figura, pode concluir-se que o volume V do sólido é dado, em função de r, pela expressão: 31. Num referencial o.n. considere os pontos A ( -1, 3) e o vetor As coordenadas do ponto médio de [AB] são: (A) 32. Na figura está representada, num referencial ortogonal e monométrico xoy, a circunferência de centro no ponto A, definida pela equação Tem-se: [CG] é a corda que está contida no eixo Oy; [CD] é a corda paralela ao eixo Ox; [AF] é um raio da circunferência, paralelo ao eixo Oy; [ABCD] é um trapézio retângulo; 11

12 [ADEF] é um losango; Mostre que o ponto C tem coordenadas (0,9) e que o ponto D tem coordenadas (- 8,9) Determine a equação da mediatriz do segmento [AD]. Apresente a sua resposta na forma y=mx+b (m e b designam números reais) Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira Determine o perímetro do trapézio [ABCD] 33. Num referencial o. n. Oxyz, considere um cone cuja base está contida no plano xoy e cujo vértice pertence ao semieixo Oz. A base do cone tem centro na origem do referencial. A reta r de equação: (x, y, z) = (0,2,2) + k(0,1, 3), k R contém uma geratriz do cone e interseta o semieixo positivo Oy Determine a área da base do cone Determine o volume do cone Determine o ponto de interseção de reta r com o plano de equação z= Determine o perímetro da secção produzida no cone pelo plano de equação x= Em referencial o. n. Oxyz, considere: a esfera E definida pela condição x 2 + y 2 + z 2 4 a reta r de equação vetorial (x,y,z) = (0,0,2) + k(0,1,0), k R A interseção da esfera E com a reta r é: (A) Um conjunto vazio; (B) Um ponto; (C ) Dois pontos; (D) Um segmento de reta de comprimento 2; 12

13 35. Um vetor de norma 10 colinear com W (3, 0, 4) tem de coordenadas: (A) (2 5, 0, 4 5) (B) ( 3, 0, 2) 2 ( C) (-6, 0, -8) (D) (10, 0, 0) 36.Qual das seguintes equações define, num referencial o. n. Oxyz,uma superfície esférica tangente aos planos de equações x=4 e y= 0? (A) (x 2) 2 + y 2 + z 2 = 16 (B) (x 2) 2 + (y 2) 2 + z 2 = 4 (c) (x 2) 2 + (y 2) 2 + z 2 = 16 (D) x 2 + y 2 + (z 2) 2 = Num referencial o. n. Oxyz considere a reta r de equação R Qual das condições seguintes define uma reta estritamente paralela à reta r? (A) y=3 z = 4 (B) y = 0 z = 2 (C) x = 3 z = 2 (D) x = 3 y = Qual das condições seguintes define o conjunto dos pontos da zona delimitada da figura? (A) x 2 + y y 0 y 3x + 3 (B) (x (C) y 0 y 3x + 3 (D) 13

14 39. Considere a esfera definida pela condição (x 2) 2 + (y 3) 2 + (z 4) Sabendo que [AB] é diâmetro dessa esfera e que A tem coordenadas (1, 1, 1), as coordenadas de B são: (A) (5,3,6) (B) (4,6,5) ( C) (2,4,8) (D) (3,5,7) 40. Os vetores (-2, k) e (k-1, -6) são colineares se: U v (A) = -1; ( c) k = 4; (B) = 3; (D) k = 2; 41. O paralelogramo [ACJL] está dividido em 6 paralelogramos geometricamente iguais. a. Com base na figura indique: Dois segmentos orientados com a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento Dois vetores simétricos. 4.2 Determine: A IJ + EH FA - IH AB 14