4. Posições relativas entre uma reta e um plano

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1 RESUMO GEOMETRIA DE POSIÇÃO OU EUCLIDIANA 1.Geometria de posição espacial Ponto, reta e plano são considerados noções primitivas na Geometria. Espaço é o conjunto de todos o pontos. Postulados são proposições aceitas e utilizadas sem demonstração. P1. Uma reta possui infinitos pontos e existem infinitos pontos fora dela. P2. Por um ponto passam infinitas retas. P3. Dois pontos distintos determinam uma única reta. P4. Um plano possui infinitos pontos e existem infinitos pontos fora dele. P5. Se dois pontos distintos pertencem a uma reta e a um plano, então esta reta esta contida neste plano. P6. Três pontos não colineares determinam um plano. P7. A intersecção de dois planos distintos que tenham um ponto em comum é uma reta. P8. A paralela a uma reta por um ponto é única. 2. Posições relativas entre duas retas I. Retas coplanares( contidas num mesmo plano): paralelas, concorrentes e coincidentes. II. Retas reversas: são retas que não estão contidas num mesmo plano. Obsrevações: 1º) Quando duas retas concorrentes formam entre si um ângulo de 90º, são chamadas retas perpendiculares. 2º) Quando duas retas reversas formam um ângulo de 90º, são chamadas retas ortogonais. 3. Determinação de planos Um plano fica determinado por: três pontos não colineares, duas retas paralelas, duas retas concorrentes ou uma reta e um ponto fora dela. 4. Posições relativas entre uma reta e um plano A reta pode estar contida, pode ser secante ou paralela a um plano. 5. Posições relativas entre dois planos Dois planos podem ser paralelos, secantes ou coincidentes. 6. Principais teoremas T1. Se uma reta é perpendicular a um plano α num ponto A, ela é perpendicular a todas retas do plano α que passam por esse ponto. T2. Se uma reta r, não está contida num plano α, é paralela a uma reta s de α então r e α são paralelos.

2 T3. Se uma reta r é paralela a um plano α e se existe um plano β que contém r e é secante a α segundo uma reta s, então r//s. T4. Se dois planos α e β são paralelos, então qualquer reta de um plano é paralela ao outro plano. T5. Duas retas distintas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas entre si. T6. Teorema das três perpendiculares: se uma reta r é perpendicular a um plano α no ponto A,, e se uma reta s de α passa por A e uma reta t de α não passa por A mas é perpendicular a s no ponto B, então qualquer reta que passe por B e por um ponto de r é perpendicular à t. Exercícios 1) Das afirmações abaixo, quais são verdadeiras a) Duas retas são paralelas quando não possuem pontos comuns. b) Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam um ângulo de 90. c) Três pontos distintos não colineares formam um plano. d) Dois pontos determinam uma única reta. e) Duas retas concorrentes determinam um plano. f) A intersecção de dois planos distintos que tenham um ponto comum é uma reta. g) Uma reta perpendicular a um plano α é perpendicular a todas as retas desse plano. h) Se dois planos distintos são perpendiculares à mesma reta, eles são paralelos entre si i) Se uma reta é perpendicular a um plano α num ponto A, ela é perpendicular a todas as retas de α que passam por A. j) Existem retas não paralelas contidas em planos paralelos. Resp: b, c, e, f, h, i, j 2) Leia atentamente os enunciados a seguir e faça um desenho explicativo de cada um. a) Se uma reta r é paralela a um plano α e se existe um plano β que contém r e é secante a α segundo uma reta s, então r//s. b) Se uma reta r é perpendicular a um plano α no ponto A,, e se uma reta s de α passa por A e uma reta t de α não passa por A mas é perpendicular a s no ponto B, então qualquer reta que passe por B e por um ponto de r é perpendicular à t. c) α, β e θ, são três planos perpendiculares entre si. d 3) A figura abaixo é um cubo. a i j b c e g Quais das afirmações abaixo são falsas. a) As retas b e f são retas paralelas. b) As retas k e a são perpendiculares. c) As retas g e i são ortogonais. d) O plano formado pelas retas a e b é perpendicular ao plano formado pelas retas c e d. e) O plano formado pelas retas c e h é perpendicular ao plano formado pelas retas d e g. h Resposta: b; c f k l

3 4) (Enem 2014) O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular (escada caracol), representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A até o ponto D. A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é: resp: C a) b) c) d) e) 5) (Espcex (Aman) 2013) Considere as seguintes afirmações: I. Se uma reta r é perpendicular a um plano α, então todas as retas de α são perpendiculares ou ortogonais a r; II. Se a medida da projeção ortogonal de um segmento AB sobre um plano α é a metade da medida do segmento AB, então a reta AB faz com α um ângulo de 60 ; III. Dados dois planos paralelos α e β, se um terceiro plano γ intercepta α e β, as interseções entre esses planos serão retas reversas; IV. Se α e β são dois planos secantes, todas as retas de α também interceptam β. Estão corretas as afirmações: resp: A a) apenas I e II b) apenas II e III c) I, II e III d) I, II e IV e) II, III e IV 6) (Ita 2013) Das afirmações: I. Duas retas coplanares são concorrentes; II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas; III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma das retas; IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo, é (são) verdadeira(s) apenas: resp: D a) III. b) I e III. c) II e III.

4 d) III e IV. e) I e II e IV. 7) (Espcex (Aman) 2013) O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma. Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas LB e GE, as retas AG e HI, e as retas AD e GK. As posições relativas desses pares de retas são, respectivamente: resp: E a) concorrentes; reversas; reversas. b) reversas; reversas; paralelas. c) concorrentes, reversas; paralelas. d) reversas; concorrentes; reversas. e) concorrentes; concorrentes; reversas. 8) (Enem 2013) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra. Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes do pivô: A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é: resp: B a) b)

5 c) d) e) 9) (Espcex (Aman) 2012) Considere um plano α e os pontos A, B, C e D tais que O segmento AB tem 6 cm de comprimento e está contido em α. O segmento BC tem 24 cm de comprimento, está contido em α e é perpendicular a AB. O segmento AD tem 8 cm de comprimento e é perpendicular a α. Nessas condições, a medida do segmento CD é: resp: A a) 26 cm b) 28 cm c) 30 cm d) 32 cm e) 34 cm 10) (Enem 2012) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide. O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é : resp: C

6 a) b) c) d) e) 11) (Espcex (Aman) 2012) Considere as seguintes afirmações: I. Se dois planos α e β são paralelos distintos, então as retas r1 α e r2 β são sempre paralelas. II. Se α e β são planos não paralelos distintos, existem as retas r1 α e r2 β tal que r 1 e r 2 são paralelas. III. Se uma reta r é perpendicular a um plano α no ponto P, então qualquer reta de α que passa por P é perpendicular a r. Dentre as afirmações acima, é (são) verdadeira(s): resp: D a) Somente II b) I e II c) I e III d) II e III e) I, II e III Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática