3 O ANO EM. Matemática I

Transcrição

1 O ANO EM Matemática I RAPHAEL LIMA Lista 1 1. (Enem PPL 01) O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é um dos museus mais visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final da década de A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na Figura, uma pirâmide reta de base quadrada que a ilustra. Considere os pontos A, B, C, D como na Figura. Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B. deslocando-se pela aresta AB; ) ir de B até C, deslocando- se pela aresta que contém esses dois pontos; ) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4) deslocar se de D até B pela aresta que contém esses dois pontos. A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor representada por a) MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA 018

2 . (Enem ª aplicação 016) Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade no parque da cidade onde moram, montou uma barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma de um prisma reto, em que foram usadas hastes metálicas. Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou um inseto deslocar-se sobre elas, partindo do vértice A em direção ao vértice B, deste em direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do vértice E ao C. Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância entre os pontos. A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD é dada por a) MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 015

3 . (Enem 016) A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e C. Considere que o plano α é paralelo à linha do equador na figura. A projeção ortogonal, no plano α, do caminho traçado no globo pode ser representada por a) MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 015

4 4. (Enem 014) O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular (escada caracol), representada na figura. Os cinco pontos E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos P, e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A até o ponto D. A A, B, C, D, A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é: a) 5. (Enem 01) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra. Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes do pivô: A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é: MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 015

5 a) 6. (G1 - epcar (Cpcar) 018) Com a intenção de padronizar as barracas dos vendedores ambulantes, a prefeitura da cidade de Eulerópolis solicitou a uma empresa especializada no ramo que fizesse um orçamento do material a ser empregado e do custo para finalização das barracas. Segue um esboço do que foi apresentado pela empresa: O ponto O é a projeção ortogonal do ponto V sobre a base hexagonal regular da barraca. Considere: 7,6 e 1,4. No modelo apresentado, a parte hachurada indica onde existe tecido, ou seja, no telhado e na parte de baixo da lateral, ao custo de R$,00 o metro quadrado. Além disso, em cada aresta está uma barra de alumínio ao custo de R$ 4,00 o metro linear. Se a empresa cobra uma taxa de mão de obra equivalente a 0% do custo de todo o material gasto, então é correto afirmar que o custo total de uma barraca padrão, em reais, é um número compreendido entre a) 90 e e e e 40 MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 015

6 7. (Ufu 017) Um designer de jogos virtuais está simulando alguns deslocamentos associados com uma pirâmide quadrangular regular, em que o lado do quadrado da base mede 40 cm. Ele simula a trajetória de um lagarto pelas faces da pirâmide. Inicialmente o lagarto desloca-se de A até E e, posteriormente, de E até F, em que F é o ponto médio de CD. Cada um desses dois trechos da trajetória ocorre em linha reta. A projeção perpendicular dessa trajetória em ABCD, uma curva R, a qual é a união de dois segmentos. presente no plano da base da pirâmide, descreve Nessas condições, o comprimento de R, a) (1 ) 0(1 ) em cm, é igual a 8. (Ime 015) Em um prisma oblíquo ABCDEFA 'B'C'D'E'F', cuja base ABCDEF é um hexágono regular de lado a, a face lateral EFF'E' está inclinada 45 em relação à base, e a projeção ortogonal da aresta F'E' sobre a base ABCDEF coincide com a aresta BC. O volume do prisma é: a) a 9 a 4 5 a 9 a 5 a MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 015

7 9. (Enem 01) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide. O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é a) MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 015

8 10. (Enem 017) A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos outros prédios, por motivos adversos, sofrem inclinações durante ou após suas construções. Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha 60 metros de altura. Ele sofreu uma inclinação de um ângulo e a projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem largura medindo 1,80 metro, conforme mostra a figura. α, O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de uma tabela como a apresentada. α Ângulo (Grau) Seno 0,0 0,0 1,0 1,5 1,8,0,0 0,017 0,06 0,01 0,04 0,05 Uma estimativa para o ângulo de inclinação a) 0 α 1,0 1,0 α 1,5 1,5 α 1,8 1,8 α,0,0 α,0 α, quando dado em grau, é tal que MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 015

9 GABARITO Resposta da questão 1: [C] A figura abaixo mostra a projeção do caminho feito sobre a pirâmide no plano de sua base. Portanto, alternativa [C] está correta. Resposta da questão : [E] Sabendo que o caminho de comprimento mínimo corresponde à linha poligonal ABEC, e que a face EBC perpendicular ao plano ABCD, podemos concluir que a resposta é a figura apresentada na alternativa [E]. é Resposta da questão : [E] Desde que o arco AB» pertence a um plano paralelo a α, sua projeção ortogonal sobre α também é um arco. Ademais, como B e C não são simétricos em relação ao plano que contém o equador e o arco BC» pertence a um plano perpendicular a sua projeção ortogonal sobre α é um segmento de reta. Em consequência, a melhor representação é a da alternativa [E]. Resposta da questão 4: [C] α, A projeção ortogonal sobre o piso da casa, do caminho percorrido pela mão da pessoa, do ponto A E, corresponde a uma circunferência. Logo, do ponto A ao ponto D, temos aproximadamente circunferência, o que corresponde à figura da alternativa [C]. Resposta da questão 5: [B] Considere a figura. 4 até o ponto de uma MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 015

10 De acordo com a figura, segue que a projeção ortogonal da trajetória dos pontos A da gangorra, corresponde aos segmentos AC e B'D. Resposta da questão 6: [B] Calculando: área lateral debaixo S m Triângulo VMO': h h 7 lateral 7 área do telhado Stelhado ,6 m arestas ,8 m Custo (1 15,6) 64,8 4 1, 408,7 reais e B, sobre o plano do chão Resposta da questão 7: [D] Do enunciado e da figura, temos: MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 015

11 G é ponto de encontro das diagonais do quadrado ABCD, pois EABCD é uma pirâmide quadrangular regular. O comprimento de R é dado por AG GF, pois AG é a projeção perpendicular de AE sobre ABCD e GF é a projeção perpendicular de EF sobre ABCD. Note que 1 AG AC No triângulo ACD, AC AG 40 4 AG 40 Como AG 0, e 4 AG 40 AG 40 AG 0 cm Como AD 40 cm, 1 GF 40 GF 0 cm Assim, AG GF 0 0 cm AG GF 0 1 cm Resposta da questão 8: [D] 1 GF AD. MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 015

12 Calculando, inicialmente, a medida HM : a HM x a No triângulo MHN, temos: h h tg45 1 h a. a a Portanto o volume será dado por: a 9 V 6 a a 4 Resposta da questão 9: [C] Supondo que a pirâmide é regular, temos que a projeção ortogonal do deslocamento no plano da base da pirâmide está corretamente descrita na figura da alternativa [C]. Resposta da questão 10: [C] Segue de imediato que 1,8 senα senα 0,0. 60 Portanto, de acordo com as informações da tabela, podemos afirmar que α [1,5;1,8[. MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA - 015