GEOMETRIA DE POSIÇÃO OU GEOMETRIA EUCLIDIANA

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1 GEOMETRIA DE POSIÇÃO OU GEOMETRIA EUCLIDIANA PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO; PROPOSIÇÕES GEOMÉTRICAS; POSIÇOES RELATIVAS POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E RETA POSIÇÕES RELATIVAS DE PONTO E PLANO POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO. DETERMINAÇÃO DE PLANOS; POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO; POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS NO ESPAÇO; PARALELISMO; PERPENDICULARIDADE.

2 GEOMETRIA EUCLIDIANA

3 HISTÓRIA

4 HISTÓRIA

5 PONTO, RETA E PLANO De maneira geral e frequente, a sistematização de um conhecimento pressupõe o estabelecimento de conceitos iniciais já configurados, muitas vezes abstratos, mais indispensáveis. Na Geometria, por exemplo, não é diferente. Aceitamos sem muita resistência as noções de ponto, retas e plano que se dispõem num grande palco chamado espaço. Esses elemenntos não possuem definição (são chamados conceitos primitivos) e representam a matéria-prima com a qual serão construídos os diversos conceitos geométricos.

6 PONTO Foi descrito por Euclides como aquilo que não tem partes. É aceito como um ente que não tem dimensão, nem massa e nem volume, sendo, portanto, adimensional. É, normalmente, representado por letras maiúsculas do nosso alfabeto.

7 RETA O conceito de reta é aceito como um ente unidimensional, cuja única dimensão é o comprimento. A reta é entendida como um ente sem espessura e sem fim e, normalmente, é representada por letras minúsculas do nosso alfabeto.

8 PLANO A ideia de plano está associada a um superfície plana, sem espessura e sem fronteiras. O plano é bidimensional, pois possui comprimento e largura, portanto admite duas retas perpendiculares. Geralmente, é representado por uma letra do alfabeto grego.

9 ESPAÇO Pode ser entendido como o conjunto de todos os pontos. É o mundo físico, tridimensional por admitir três retas perpendiculares duas a duas. Qualquer conjunto de pontos, como triângulo, cubo, pirâmide ou qualquer outra figura geométrica, é um subconjunto do espaço ou lugar geométrico do espaço.

10 PROPOSIÇÕES GEOMÉTRICAS Com base nos conceitos primitivos já estabelecidos, podemos enunciar proposições que podem ser divididas em duas categorias: Postulados ou axiomas: proposições que envolvem os elementos primitivos e que, mesmo não permitindo uma demonstração, são aceitos como verdadeiros. Teoremas: proposições que podem ser demonstradas com base em postulados anteriormente aceitos e/ou outros teoremas já demonstrados.

11 POSTULADOS

12 POSTULADOS

13 POSTULADOS

14 CURIOSIDADE

15 POSIÇÕES RELATIVAS

16 ARTE - MATEMÁTICA

17 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E RETA

18 POSIÇÕES RELATIVAS DE PONTO E PLANO Dados um ponto P e um plano α, temos duas possibilidades:

19 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO Na figura abaixo, estão destacados um cubo e as retas, r, s e t, que contém algumas de suas arestas:

20 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO As retas r e s não intersectam e o plano que passa pelos pontos A, B, H e g contém as duas retas. Dizemos então, que as retas r e s são paralelas e coplanares. r s

21 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO Observe, agora, que as retas s e t se intersectam no ponto B e o plano que passa pelos pontos A, B, C e D as contém. Diremos, então, que as retas s e t são concorrentes e coplanares. s t

22 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO Finalmente, vamos analisar r e t. Da mesma forma que as retas r e s, elas não possuem ponto em comum, mas têm direções diferentes. Observe que não existe um plano comum às duas. Nesse caso, dizemos que r e t são não-coplanares ou reversas. r t

23 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO Podemos organizar as posições relativas entre duas retas no seguinte quadro:

24 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO

25 DETERMINAÇÃO DE PLANOS Você deve se lembrar que um postulados iniciais afirma que três pontos distintos não-colineares determinam um plano. Usamos a palavra determinar no sentido de indicar com precisão, ou seja, sabemos que por três pontos não alinhados temos um único plano passando. Com base no postulado anterior, vamos estudar outras três formas de determinar um plano.

26 DETERMINAÇÃO DE PLANOS O primeiro caso é um postulado e os outros três são teoremas.

27 POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO A reta r não intersecta o plano γ. Por isso, dizemos que a reta r é paralela ao plano Já a reta t tem todos os seu pontos pertencentes ao plano γ. Como a reta e o plano são conjuntos de pontos, podemos dizer que a reta está contida no plano

28 POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO Observe, agora, a reta s. A intersecção dela com plano g é o ponto P. Quando uma reta e um ponto possuem apenas um ponto em comum, dizemos que a reta é concorrente com o plano. Podemos afirmar também que a reta e o plano são secantes

29 POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO

30 POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO Se uma reta é concorrente a um plano em um ponto P e forma um ângulo reto com todas as retas do plano que passam por P, dizemos que ela é perpendicular ou ortogonal ao plano.

31 POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS NO ESPAÇO Um bloco de madeira que tem o formato de um paralelepípedo foi cortado em duas partes iguais, por um plano diagonal, conforme ilustra a figura a seguir. O plano que passa pelos pontos A, B, C, e D não intersecta, por exemplo, o que passa por E, F, G e H. Podemos dizer, então, que os planos são paralelos. Observe o plano que passa pelos pontos B, D, H e F e o que passa pelos pontos B, C, G e F. A intersecção deles é a reta que passa pelos pontos B e F. Quando dois planos não são paralelos, são chamados concorrentes ou secantes e têm em comum uma reta.

32 POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS NO ESPAÇO Conceito Dois planos são perpendiculares se, e somente se, um deles contém uma reta perpendicular ao outro. A figura anterior ilustra dois planos perpendiculares p e g; Planos perpendiculares são concorrentes e formam um ângulo reto. Neste conceitos, paredes e tetos de uma sala de aula são representações sempre disponíveis e ilustram a condição de perpendicularismo entre planos com rápida visualização.

33 PARALELISMO Já estudamos as posições relativas entre uma reta e um plano e entre dois planos. Vamos agora, analisar com mais detalhes alguns teoremas importantes. É evidente que, em muitos casos, a intuição é suficiente para a compreensão da proposição geométrica em questão. Com os conhecimentos adquiridos até então, você está em uma situação muito melhor para compreender a demonstração de uma teorema. Se uma proposição for clara e ficar bem entendida apenas com a leitura e um pouco de imaginação, excelente! Porém, se a intuição não der conta do recado, procure acompanhar a demonstração passo a passo, para que o entendimento seja completo.

34 TEOREMA 1 Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a uma reta desse plano. Demonstração: Vamos construir um plano π que contém a reta m e intersecta o plano β segundo a reta n.

35 TEOREMA 1 As retas m e n estão contidas no plano p, logo são coplanares e não possuem ponto em comum, pois, por hipóteses, a reta m é paralela ao plano b e a s está contida no plano b. Se m e n são coplanares e não têm ponto em comum, então elas são paralelas. Note que, para demonstrar esse teorema, utilizamos o método direto, também chamado de demonstração direta.

36 TEOREMA 2 Se uma reta não-contida em um plano é paralela a uma reta deste, então ela é paralela ao plano. Para demonstra o teorema, vamos estabelecer inicialmente as hipóteses e a tese. Demonstração: Se as retas r e s são paralelas, existe um plano β que contém r e s. Assim, a reta s está contida nos planos a e b. Logo, α β= s

37 TEOREMA 2 Vamos supor que a reta não é paralela ao planoα, Observe que, para portanto há um ponto P em comum comα (P α). Como P P r e P s, retas r e s são paralelas. r e r β, então P β. Mas se P β e P α, temos que P s e, dessa forma, o que é absurdo, já que, por hipótese, as Assim, a suposição é falsa e a reta r é paralela ao plano a. determinar o teorema, fizemos uma suposição e, utilizamos as hipóteses e consequências de tal suposição, chegamos a uma contradição. Esse método é conhecido como método de demonstração indireta, também chamado de demonstração por redução ao absurdo.

38 CONCEITO Uma condição necessária e suficiente para que uma reta, não contida em um plano, seja paralela a este é que ela seja paralela a uma reta desse plano.

39 TEOREMA 3 Se um plano contém duas retas concorrentes, paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos. Demonstração: Novamente, vamos utilizar o método de redução do absurdo. Suponha que exista uma reta t de modo que α β= t. Se s // β, s α eα β = t, então s //t; Por outro lado; Se r // β, r α eα β = t, então r // t.

40 TEOREMA 3 De onde se conclui que as retas r e s são paralelas à reta t. Tal afirmação é absurda, pois, por hipótese, r e s são concorrentes no ponto P e isso contraria o Postulado de Euclides. Portanto, os planos a e b não têm ponto em comum e são paralelos. Observe como ficaria a figura se a suposição fosse verdadeira: Uma condição necessária e suficiente para que dois planos sejam paralelos é que um deles contenha duas retas concorrentes, paralelas ao outro ao plano.

41 PERPENDICULARIDADE Vamos, agora, estudar alguns teoremas importantes sobre uma condição especial geométrica: a perpendicularidade, que é qualidade ou posição de perpendicular entre retas e planos no espaço

42 TEOREMA 4 Se uma reta é ortogonal a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular (ortogonal) ao plano. Observe, por meio das figuras a seguir, as possibilidades para a situação descrita.

43 TEOREMA 4 Conceito: Se uma contém uma reta perpendicular a outro plano, então os planos são perpendiculares. Uma condição necessária e suficiente para que uma reta perpendicular a um plano é que ela seja ortogonal a duas retas concorrentes desse plano, no ponto de intersecção.

44 TEOREMA 5 Se dois planos são perpendiculares e uma reta contida em um deles for perpendicular à reta intersecção dos dois planos, então essa reta é perpendicular ao outro plano.

45 TEOREMA 5 Demonstração: Como α β, então o plano a contém uma reta t perpendicular ao plano β. Assim, essa reta é perpendicular à reta s. Por hipótese, a reta r, contida em α, é perpendicular à reta s e, portanto, r // t. Mas se r // t e t β, então r β. A demonstração feita desse último teorema é direta ou indireta. A demonstração foi direta, pois utilizamos as hipóteses numa sequência de raciocínio que não gerou uma contradição (absurdo).

46 TEOREMA 6 Se duas retas são reversas, existe uma única reta perpendicular a ambas. Novamente não vamos demonstrar com rigor esse teorema, pois se exigiriam alguns procedimentos que vão além do nosso propósito. Observe, com atenção, a ilustração a seguir que mostra duas retas reversas e a reta perpendicular comum. m e n são reversas v m v n Observe que m e n não necessariamente são ortogonais.

47 RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES P. 28 exercício 1 P 30 exercícios 1 e 2 P. 32 exercícios 1 e 2 P. 35 exercício 1 P. 37 exercício 1

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