Bacharelado em Ciência e Tecnologia 2ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS Bacharelado em Ciência e Tecnologia ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica 008. ) São dados os pontos A = (,6,-7), B = (-5,,) e C = (4,-7,-6). Escreva equação vetorial e paramétrica para a reta determinada pelos pontos B e C, e obtenha sua forma simétrica (se existir). O ponto D = (,,4) pertence a essa reta? Verifique que os pontos A, B e C são vértices de um triângulo. c) Escreva equações paramétricas da mediana relativa ao vértice C do triângulo. ) Dados os pontos A = (,,5) e B = (0,,, determine P sobre a reta que passa por A e B tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA. ) Escreva equações paramétricas para a reta r, que passa pelo ponto A = (,0,-) e : é paralela à reta x y z + s : = = é paralela à reta que passa pelos pontos B = (,0,4) e C = (,,) = λ c) é paralela à reta s' = y = 4 + λ λ R = λ 4) Verifique se r = s nos casos: x x = µ = λ r : y = + λ ( λ R) s : y = + µ ( µ R) z = + λ z = + µ s = (,, + λ(,0, ) = (0,, ) + µ (,0,) ( λ R) ( µ R) 5) Dados A = (0,,), = (0,, ) + λ(,,), ache os pontos de r que distam de A. Em seguida, diga se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a, e por que.

2 6) Dada a reta = (,0, + λ(,, ) e os pontos A = (,,), B = (0,0,), ache o ponto de r eqüidistante de A e B. 7) Ache as equações paramétricas da reta que passa por A = (,,) e é paralela à reta BC, sendo B = (,, e C = (-,0,-). 8) Sejam P = (,0,) e Q = (0,,). Em cada um dos casos a seguir ache um ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja. A = (,,), B = (,,) A = (,,), B = (,,) 9) Escreva equações vetorial e paramétricas para os planos descritos abaixo: passa por A = (,, e B = (,-,-) e é paralelo ao vetor v r = (,, passa por A = (,0,) e B = (0,,-) e é paralelo ao segmento CD, onde C = (,,) e D = (0,, c) passa pelos pontos A = (,0,), B = (,,-) e C = (,-, Verifique ( e explique por que) se = nos seguintes casos: :X = (,,) + λ(,,) + µ (,, ) :X = (,,) + α(,, ) + β(,4, 6) = (,,) + λ(,, ) + µ (,,) = (,6, ) + λ(,,) + µ (,, ) ) Ache dois pontos da intersecção dos planos e, e escreva uma equação vetorial para a reta que passa por A e B. Dados: = (,0, + λ(0,,) + µ (,,) = (0,0, + λ(0,, + µ (,, ) ) Obtenha equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A = (,,) e é paralelo ao plano = (,0, + λ(,, ) + (,,. µ ) Obtenha equações gerais para os planos descritos abaixo: r passa por A = (,, e B = (,-,-) e é paralelo ao vetor v = (,, passa por A = (,0,) e B = (0,,-) e é paralelo ao segmento CD, onde C = (,,) e D = (0,, c) passa pelos pontos A = (,0,), B = (,,-) e C = (,-, x y 4) Dadas as retas r : = = z determinado por r e s. e s : x = y = z, obtenha uma equação geral para o plano

3 = + λ µ 5) Obtenha uma equação geral do plano : y = λ + µ. = µ 6) Seja o plano que passa pelos pontos A = (,0,, B = (0,, e C = (0,0,). Seja o plano que r r passa por Q = (-,-, e é paralelo aos vetores v = (0,, ) e w = (,0, ). Seja o plano de equação vetorial X = (,,) + λ(,, + µ (,0,). Escreva equações gerais de, e. Mostre que a interseção se reduz a um único ponto determine-o. 7) Verifique se a reta r está contida no plano nos seguintes casos: r :X = (,0, + λ(,, e :x + y + z = = (,4,) + λ(,,) + µ (,, ) e r passa pelos pontos A = (,,) e B = (0,0,) c) r :x = y = 4 z e :x + y z + = 0 Nos exercícios 8, 9, 0, e está fixado um sistema ortogonal de coordenadas. 8) Obtenha uma equação geral do plano que passa pelo ponto P = (,, ) e é paralelo a : x y + z + = 0 9) Dê uma equação geral do plano que passa pelo ponto P = (, 0, ) e é perpendicular à reta = (0,0,) + λ(,, ) Escreva uma equação vetorial da reta que passa por A = (,, ) e é perpendicular ao plano : x + y z =. ) Escreva equações paramétricas da reta interseção dos planos = + λ = + λ µ : y = e : y = λ + µ = λ µ = µ ) Obtenha uma equação geral do plano que passa pelo ponto P = (, -, ) e contém a reta = (0,0,) + λ(,, ) ) Obtenha uma equação geral do plano, que contém o eixo dos x e é perpendicular à reta = (0,,) + λ(0,,) (sistema ortogonal). 4) Estude a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos: y + z = = (,,) + λ(,, ) s : x + y z = 6 y z = x y + z = 5 r : s : x + y z x + y z

4 x + y z + c) r : = = s = (0,0, + λ(,, d) = (8,, 9) + λ(,,) s : (, 4,4) + λ(,,) 5) Calcule m R para que r e s sejam paralelas r, s e t sejam paralelas a um mesmo plano c) r e t sejam concorrentes d) s e t sejam coplanares e) r e s sejam reversas São dadas = my r : = y s : x = y m = z t : x + z = y = z 6) Determine m para que as retas = (,0,) + λ(,, ) e s = (0,, ) + λ(,m,m ) sejam coplanares, e nesse caso estude sua posição relativa. 7) Estude a posição relativa da reta r e do plano nos seguintes casos: r :X = (,, + λ(0,,), : x y z = x r : = y = z, = (,0,) + λ(,0,) + µ (,, y + z c) r :, = (0,, + λ(,, + µ (0,, ) x + y z d) = (0,0, + λ(,4,), : X = (,,) + λ(0,,) + µ (,, 8)Calcule m para que a reta = (,, ) + λ(, m, ) seja paralela ao plano = (0,0, + α(,, + β(,0,). 9) Calcule m, n R para que a reta = (n,, + λ(, m, m) esteja contida no plano : x y + z =. Estude a posição relativa de e nos seguintes casos: = (,, ) + λ(0,, ) + µ (,, ) = (,0, + λ(,, + µ (,, ) : x y + z : 4x y + 4z ) Calcule m para que os planos sejam paralelos distintos, nos casos: = (,, + λ(m,, ) + µ (,, m) e : x + y + z + n n = 5 n = 4

5 ) Mostre que os planos = (0, 0, + λ(, m, ) + (, 0, ) e = (,,) + α(m,, + (, 0, m) são transversais, para todo µ m R. β ) Obtenha uma equação vetorial para a reta t, que passa por P e é concorrente com r e s, nos seguintes casos (interprete geometricamente os resultados): y z P = (,, ) r :x + = = s :X = (, 0, 4) + λ(,, ) y z + 5 x y P = (, 0, 6) r : s : = = x z + 4 4) Obtenha uma equação vetorial para a reta que passa pelo ponto P, é paralela ou contida no plano, e concorrente com a reta r nos seguintes casos (interprete geometricamente): P = (,, :x + y z r :X = (, 0, + λ(, 0, ) P = (, 0, ) :x y z = r :X = (0, 0, + λ(,, ) 5) Um paralelogramo de vértices A, B, C, D, tem lados AB e CD paralelos à reta de equação r :X = (0, 0, + λ(, 4, 5) e os outros dois paralelos ao plano : x + y + z. Conhecendo os vértices A e D, determine os vértices B e C. Dados A = (0, 0, e B = (,, ). 6) Verifique se as retas r e s são ortogonais e em caso afirmativo, se são também perpendiculares. r :X = (,, ) + λ(,, ) s :X = (, 4, 4) + λ(,, ) = + λ r : y = 5 λ = λ x s : 7) Verifique se r é perpendicular a nos casos 4 y z + 4 = = 5 r :X = (,, 4) + λ(,, ) :X = (,, ) + λ(0,, + µ (,, ) r :X = (,, 4) + λ(, 0, ) :X = (,, ) + λ(0,, + µ (,, ) + y + z = c) r : :x y + z = x + y z 8) Ache equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular ao plano nos casos: P = (,, : X = (,, ) + λ(, 0, ) + µ (,, ) P = (,, 7) : x y + z = 6 9) Ache uma equação geral do plano que passa por P e é perpendicular à reta r nos seguintes casos: P = (0,, ) r :X = (0, 0, + λ(,, ) z y + z P = (,, ) r : x y + z 5

6 4 Ache o simétrico de P em relação ao plano nos casos seguintes: P = (, 4, ) : x y + z P = (,, ) : 4y z + 4) Ache o simétrico de P em relação à reta r nos casos seguintes: P = (0,, ) : X = (, 0, + λ(0,, ) x + P = (,, ) : = y = z 4) Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos: X = (,,4) + λ(, 0, ) + µ (0,, ) X = (0, 0, + λ(,, 6) + µ (,, X = (,,4) + λ(, 0, ) + µ (0,, ) y z 4) Ache uma equação geral do plano por (,, que é perpendicular aos planos x + y z + 4 e 8 x 4y + 6z = 0. 44) Ache o co-seno do ângulo entre as retas: 5 x y + 6 X = (,, + λ(,, ) x z = + λ = + λ y = λ y = + λ = λ = 5 + λ 45) Ache a medida em radianos do ângulo entre a reta e o plano dados: X = (0, 0, + λ(,, ) x + 4z = + λ y = λ x + y z = λ 46) Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano : x + y + z e que forma 45 graus com o plano :x y 0 = 47) Calcule a distância em cada um dos casos: P = (0,, Q = (,, c) P = (0,, = z r : = z + P = (,, 4) x y z r : = = 4 6

7 = λ + d) P = (, 0, ) r : y = λ = λ 5 e) P = (9,, ) :X = (0, 5, + λ(0,, ) + µ (, 0, f) P = (0, 0, 6) :x y z 6 48) Dê uma equação geral do plano que contém a reta = (, 0, ) + λ(,, ) e dista do ponto P = (,, ). 49) Dê uma equação vetorial da reta r, contida no plano : x + y, que forma um ângulo de 0 com o plano α : y z = e dista do eixo dos x. = 5 Um quadrado ABCD tem a diagonal BD contida na reta r :. Sabendo que A = (0,0,, = z determine os vértices B, C e D. 5) Calcule a distância entre as retas = z x z + a ) = z z = λ + y + z y = + λ x y = λ 5) Calcule a distância entre os planos paralelos: x y + z + 9 4x y + 4z = 0 = λ µ y = µ = λ x + y + z = 5 7

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