Aula I Elementos Primitivos e Axiomas de Incidência e Ordem 1

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1 Aula I Elementos Primitivos e Axiomas de Incidência e Ordem 1 Os elementos básicos do estudo da Geometria são as idéias de ponto, reta e plano. Apesar dessas palavras serem conceitos importantes e intuitivos, são difíceis de definir. O ponto, a reta e o plano não existem no mundo real, são instrumentos que usamos para modelar a natureza. Um grão de areia, uma vareta ou um tampo de mesa nos dão a idéia de ponto, reta e plano, mas nunca vimos um grão de areia que não tenha volume (mesmo pequeno), uma vareta que não tenha espessura e se prolongue indefinidamente, ou um tampo de mesa que se prolongue em todas as direções... Podemos, porém, imaginar esses elementos e estudar suas propriedades. Indo mais além, podemos imaginar partes desses elementos (semi-retas, segmentos, semiplanos, etc.), composições dessas partes (ângulos, triângulos, circunferências, etc.) e estudar suas propriedades. Em nosso estudo da Geometria, não definiremos ponto, reta e plano: esses serão elementos primitivos. Usaremos letras maiúsculas (A, B, C, etc.) para designar pontos, letras minúsculas (a, b, c, etc.) para designar retas, e letras do alfabeto grego (α, β, γ, etc.) para designar planos. Veja na figura abaixo como serão representados no papel os elementos primitivos ponto, reta e plano. Para evoluir em nosso estudo da Geometria Euclidiana precisamos estabelecer algumas relações entre os elementos primitivos, chamadas de axiomas ou postulados. Axiomas são verdades primitivas, aceitas a priori, e que refletem propriedades dos objetos do mundo real que estamos modelando. Eles devem, a princípio, serem de fácil aceitação como verdades evidentes. A partir dos axiomas é possível demonstrar outras afirmações, chamadas de proposições ou teoremas. 1 Esse texto é um resumo da Aula I da referência: Geometria Básica, Volume I - Módulo I, Autores: Edson Luiz Cataldo Ferreira, F. X. Fontene Neto e Isabel Lugão Rios; CEDERJ. 1/5

2 Nesta aula, veremos alguns axiomas, começando pelos Axiomas de Incidência: Existem infinitos pontos no plano. Por dois pontos distintos passa uma única reta. Dada uma reta, existem infinitos pontos pertencentes a ela, e infinitos pontos fora dela. Para indicar que um ponto está em uma reta, plano, etc., usaremos o símbolo (pertence). Assim a expressão A r significa que o ponto A pertence à reta r, ou está na reta r. Nesse caso, diz-se também que r passa pelo ponto A. A reta que passa pelos pontos A e B será denotada por Para indicar que uma reta está contida em um plano, usaremos o símbolo. Assim a expressão r α significa que a reta r está contida no plano α. O segundo axioma acima diz que, dados dois pontos distintos A e B, sempre existe uma (única) reta que passa pelos dois. Se forem dados três pontos, ao invés de dois, pode ser que não exista uma reta que passe pelos três, como é o caso dos pontos A, B e C na representação abaixo que, neste caso, são chamados de pontos não colineares. c A B Dadas duas retas no plano, há três possibilidades: elas se intersectam em um único ponto (retas concorrentes), elas não se intersectam (retas paralelas) ou elas têm todos os pontos em comum (retas coincidentes). Faça a representação dos três casos você mesmo! Defnição 1: Se um determinado conjunto de pontos está contido em uma mesma reta, dizemos que esses pontos são colineares. Introduziremos a noção de ordem para pontos de uma mesma reta. Para isso, considere uma reta r e sobre ela três pontos distintos A, B e C (veja a próxima figura). Observe que o ponto B encontra-se entre A e C. Além disso, existem outros pontos entre A e C (além de B); só não estão destacados na figura e não designamos letras para eles. Existem também pontos que não estão entre A e C. 2/5

3 Esses fatos são bastante intuitivos e fazem parte do que chamamos axiomas de ordem: Dados três pontos colineares distintos dois a dois, um deles, e apenas um, está entre os outros dois. Dados dois pontos distintos A e B, existe sempre um ponto C que está entre A e B, e um ponto D tal que A está entre D e B. Enfatizamos que a noção de ordem é para pontos que estão sobre uma mesma reta. Assim, quando dizemos que B está entre A e C, em particular, estamos afirmando que A, B e C são colineares e diferentes. Além disso, dizer que B está entre A e C é o mesmo que dizer que B está entre C e A. Com a noção de ordem que acabamos de introduzir, podemos definir alguns subconjuntos ou partes de uma reta que são muito importantes. Defnição 2: Chamamos segmento de reta AB ao conjunto formado por A, B e todos os pontos que estão entre A e B, ou seja, o pedaço da reta que começa em A e termina em B (ou que começaa em B e termina em A). Com o intuito de definir outros elementos importantes para nosso estudo (semiplano e semi-reta), introduzimos mais um axioma: Uma reta r do plano α separa o conjunto dos pontos desse plano que não pertencem a r em dois conjuntos, α e α, tais que: α e α são disjuntos (não têm elementos em comum). Se A α e B α, então AB intersecta r (o segmento AB e a reta r têm um elemento em comum). reta r. Se A e B estão ambos em α (ou em α ), então o segmento AB não intersecta a Defnição 3: Os conjuntos α e α referidos anteriormente são chamados semiplanos determinados pela reta r. Na próxima figura, A e B pertencem a um mesmo semiplano, pois o segmento AB não intersecta r. Dizemos que A e B estão em um mesmo lado de r. Os pontos C e D estão em semiplanos opostos, pois CD intersecta r. Dizemos que C e D estão em lados opostos de r. 3/5

4 Da mesma forma, um ponto pertencente a uma reta separa essa reta em dois conjuntos. Mais precisamente, se A está entre B e C e r é a reta que contém esses três pontos, o ponto A separa a reta r em duas partes, uma contendo o ponto B e outra contendo o ponto C. Defnição 4: As partes da reta, referidas acima, são chamadas semirretas determinadas pelo ponto A. A semirreta que contém o ponto B é denotada por AB e a que contém o ponto C é denotada por AC. Dizemos que a semirreta AC e oposta à semirreta AB (e vice-versa). Veja a figura: Defnição 5: Ângulo é uma figura formada por duas semirretas distintas e não opostas com a mesma origem. Veja a ilustração de um ângulo: 4/5

5 Se AB e AC são semirretas definindo um ângulo, diz-se que A é o vértice do ângulo. Para designar um ângulo usa-se a notação B ÂC, ou apenas  se não houver mais de um ângulo sendo considerado com o vértice A. As semirretas AB e AC são os lados do ângulo. Defnição 6: Dado um ângulo B ÂC, define-se o interior de B ÂC como o conjunto de todos os pontos que pertencem à interseção entre o semiplano que contém o ponto C e é determinado pela reta de pontos A e B, e pelo semiplano que contém B e é determinado pela reta de pontos A e C. Veja a ilustração: 5/5