UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 a Lista de exercícios MAT 41 - Cálculo III - 01/II Coordenadas no espaço 1. Determinar o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de A(, 1, ), B(, 0, ) e C(0,, 1).. Forneça uma descrição geométrica do conjunto dos pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem os pares de equações dadas. (a) x =, y = (b) y = 0, z = 0 (c) x + y = 4, z = 0 (d) x + z = 4, y = 0 (e) x + y + z = 1, x = 0 (f) x + y + (z + ) = 5, z = 0. Descreva os conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as desigualdades ou as combinações de equações e desigualdades dadas. (a) x + y + z 1 (b) x + y + z > 1 (c) x + y + z = 1, z 0 (d) x + y + z 1, z 0 4. Descreva o conjunto dado com uma única equação ou com um par de equações. (a) O plano pelo ponto (, 1, 1) paralelo ao plano xy. (b) O círculo de raio centrado em (0,, 0) e posicionado sobre o plano xy. (c) A reta que passa pelo ponto (1,, 1) paralela ao eixo x. (d) O círculo no qual o plano que passa pelo ponto (1, 1, ) perpendicular ao eixo z encontra a esfera de raio 5 centrada na origem. Vetores no Rn

2 1. Sejam u e v vetores tais que e u v = e v = 1. Calcule v u v.. Sejam u e v vetores unitários e ortogonais. Determine que u v e u v.. Seja u um vetor ortogonal a v e w. Sabendo-se que v e w formam um ângulo de 0 e que u =, v = e w =, calcule u.( v w ). 4. De um vértice de um cubo traçam-se uma diagonal do cubo e uma diagonal de uma face. (a) Calcular o ângulo entre as duas diagonais. (b) Calcular a área do triângulo definido por estas diagonais e uma aresta do cubo. 5. Encontre: v u, v, u, o cosseno do ângulo entre v e u, a componente escalar de u na direção de v e o vetor proj v u. (a) v = (, 4, 5), u = (, 4, 5). (b) v = (0, 5, ), u = (1, 1, 1).. Os ângulos diretores α, β e γ de um vetor v = a i + b j + c k são definidos da seguinte maneira: (a) Mostre que α é o ângulo entre v e o eixo x positivo (0 α π) β é o ângulo entre v e o eixo y positivo (0 β π) γ é o ângulo entre v e o eixo z positivo (0 γ π) cos α = a v, cos β = b v, cos γ = c v e cos α + cos β + cos γ = 1. Esses cossenos são chamados cossenos diretores de v. (b) Mostre que, se v = a i + b j + c k é um vetor unitário, então a, b e c são cossenos diretores de v. 7. Suponha que AB seja o diâmetro de um círculo com centro O e que C seja um ponto sobre um dos arcos que ligam A e B. Mostre que CA e CB são ortogonais. 8. Desigualdade de Cauchy-Schwartz. (a) Use o fato de que u v = u v cos θ para mostrar que a desigualdade u v u v. (b) Sob quais circunstâncias, se existirem, u v é igual a u v? Justifique sua resposta. 9. Na multiplicação de números reais, se uv 1 = uv e u 0, podemos cancelar u e concluir que v 1 = v. A mesma regra se aplica ao produto escalar? Ou seja, se u v 1 = u v e u 0, pode-se concluir que v 1 = v? Justifique sua resposta. 10. Encontre o comprimento e a direção (quando definida) de u v e v u.

3 (a) u = i j k, v = i k. (b) u = i j + 4 k, v = i + j k. 11. Dados os pontos P (,, 1), Q(, 1, ) e R(, 1, 1). (a) Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos P, Q e R. (b) Encontre um vetor unitário perpendicular ao plano PQR. 1. Sejam u = 5 i j + k, v = j 5 k, w = 15 i + j k. Quais vetores, se é que existem, são: (a) perpendiculares? (b) paralelos? Justifique suas respostas. 1. Quais das desigualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta. (a) u 0 = 0 u = 0. (b) u u = 0. (c) u v = v u. (d) ( u v ) v = Se u v = u w e u 0, então v = w? Justifique sua resposta. 15. Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando (V) para verdadeiro ou (F) para falso. Justifique sua resposta. (a) ( ) Se os vetores u = (x, 1, ) e v = (x, 1, 1) são ortogonais, então x = ou x =. (b) ( ) Se u e v têm a mesma norma, então u v e u + v são ortogonais. (c) ( ) O triângulo determinado pelos pontos A(1, 0, 1), B(, 1, 1) e C(7, 0, ) é um triângulo retângulo. (d) ( ) Se u. v = u. w com u 0, então v = w. (e) ( ) A área do triângulo determinado pelos vetores u = i + j + k e v = i + j k é Sabendo que u = 5, v =, u. v =, u. w = 1 e v. w = 7, calcule: (a) 4 u.( v + w ) (b) (5 u 4 v )( u + w ) 17. Sejam u e v vetores, com ângulo entre si medindo θ = π, e tais que u. v =. Determine a área do triângulo que tem os vetores u e v como lados adjacentes. 18. Se u e v são vetores tais que u + v = 10 e u v = 8, determine u. v. 19. Sejam u e v vetores unitários tais que u. v = 1. Determine ( u + v ).( u v ), u + v.

4 0. Seja v = (1, 5, ). Determine o vetor w, tal que w = 10, e que tem a mesma direção e o sentido contrário de v. 1. Obtenha v tal que v j = k e v = 5. Retas e Planos 1. Escrever uma equação do plano tangente à esfera x + y + z = no ponto P (1,, 1).. Dados A(,, ) e (B(4, 1, ), escrever uma equação do plano mediador do segmento AB. ercícios e. Determinar os valores de a e b para que as retas r : sejam: a) paralelas; b) concorrentes; c) reversas. x = 1 + at y = + bt z = 1 + t e s : x = + t y = 1 + bt z = 1 + t 4 x = + 4t 4. Determinar a posição relativas das retas r : y = 1 + t z = t x = 5 + t e s : y = t z = 1 + t 5. Distância de um ponto à reta: (a) Mostre que a distância entre um ponto S e uma reta passando por P paralela a v é d = P S v. v (b) Encontre a distância do ponto S(1, 1, 5) até a reta L : x = 1 + t y = t z = t.. Distância de ponto à plano. Se P é um ponto no plano com normal η, então a distância de qualquer ponto S até o plano é o comprimento da projeção ortogonal de P S em η. Mostre que a distância de S até o plano é 7. Dados os planos paralelos: d = P S η η = P S η. η (a) Mostre que a distância entre os planos é Ax + By + Cz = D 1 e Ax + By + Cz = D d = D 1 D A i + B j + C k.

5 (b) Encontre a distância entre os planos x + y z = e x + y z = Encontre equações paramétricas para a reta: (a) que passa pela origem e é pararlela ao vetor v = j + k. (b) que passa por (0, 7, 0) e é perpendicular ao plano x + y + 5z = Encontre a equação do plano: (a) que passa por (1, 1, 1), (, 0, ) e (0,, 1). (b) que passa por P o (, 4, 5) e é perpendicular à reta x = 5 + t, y = 1 + t, z = 4t. 10. Encontre o ponto de interseção das retas x = t + 1, y = t +, z = 4t + e x = s +, y = s + 4, z = 4s 1 e depois encontre o plano determinado por estas retas. 11. Encontre um plano que passa por P o (, 1, 1) e é perpendicular à reta dada pela interseção dos planos x + y z = e x + y + z =. 1. Encontre a distância do ponto (, 1, ) à reta x = + t, y = 1 + t, z =. 1. Encontre a distância do ponto (0, 1, 0) ao plano x + y + z = Encontre a distância do plano x + y + z = 1 ao plano x + y + z = Encontre parametrizações para as retas dadas pela interseção dos planos: (a) x + y + z = 1 e x + y =. (b) x y + 4z = e x + y z = Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando (V) para verdadeiro ou (F) para falso. Justifique sua resposta. (a) ( ) Existe um plano que contém os pontos A(1, 0, 1), B(0,, ), C(, 1, 1) e D(4,, ). (b) ( ) O ponto A(7,, 5) pertence ao segmento de reta r : x = 1 + t, y = + t e z = + t, onde 0 t Verifique se os pontos P 1 (1, 1, 1, ), P (0, 1, 1), P (1, 0, 1) e P 4 (0, 1, 0) são coplanares. 18. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(1, 5, 4) e: (a) é paralela à reta de equações paramétricas x = 1 t, y = 0 + t e z = t, t R. (b) é paralela à reta determinada pelos B(1, 1, 1) e C(0, 1, 1). 19. Determine a equação do plano α que contém os pontos A(, 0, 5) e B(0,, 1) e é perpendicular ao plano β : x + y 7 = Escreva a equação paramétrica da interseção dos planos abaixo. (a) x + y z = 0 e x + y + z = 1.

6 (b) x + y = 1 e z =. 1. Determine a interseção da reta com cada um dos planos; (a) x y + z = 8; (b) x + z = 5; (c) x =.. Verifique que a reta está contida no plano x + y z = 0.. Verifique que a reta não intercepta o plano x + y z =. x = 1 + t, y = e z = 4 + t; t R x = 1 + t, y = + t e z = 5t; t R x = + t, y = 1 + t e z = + t; t R 4. Determine os valores a, b e d para que o plano ax + by + z = d seja: (a) paralelo ao plano x + y 5z = 4; (b) represente o mesmo plano que x + y 5z = 4. x = 1 + t x = + t 5. Verifique que as retas r : y = t e s : y = 5 + t z = 5 + t z = + t são concorrentes e determine uma equação do plano por elas definido.. Determine a distância do ponto A(, 1, ) a cada um dos planos: (a) x y + z = 1; (b) x + y z = 0; (c) x 5z = Determine (a) a distância do ponto (5, 4, 7) à reta x = 1 + 5t, y = t e z = t, t R; (b) a distância do ponto (,, 5) a cada um dos eixos do sistema de coordenadas. 8. Escreva uma equação do plano que contém o ponto A(1,, ) e é perpendicular a cada um dos planos x + y z = e x y z =. 9. Escreva uma equação da reta r que passa pelo ponto A(,, 1) e que é paralela aos planos α e β de equações: α = x y + z = e β = 5x 4y + z = 1.

7 0. Escreva uma equação do plano paralelo a x y+z = 4 e tangente à esfera x +y +z 4x+y = Seja α o plano x + y z + 1 = 0 e r a reta que contém os pontos A(0, 0, ) e B(,, ). Determine as equações da reta m que contém o ponto C(1,, ), é perpendicular à reta r e paralela ao plano α. Superfícies Quádricas e Cilíndricas 1. Dados a esfera x + y + z = 9 e os pontos P (1, 1, 1) e Q(,, ) (a) verifique que P está no interior e Q está no exterior da esfera. (b) determine as interseções da esfera com a reta definida pelos pontos P e Q. 7. Encontre o centro e o raio das esferas. (a) x + y + z + 4x 4z = 0. (b) x + y + z + x + y + z = 9.. Identifique cada superfície. (a) x + y + 4z = 10. (b) 9y + z = 1. (c) x = y z. (d) x + z = 8. (e) x = z y. (f) x + 4z = y. 4. Desenhe as superfícies. (a) x + y = 4. (b) z = y 1. (c) x + 4z = 1. (d) z y = 1. (e) 4x + 9y + 4z =. (f) z = 8 x y. (g) 4x + 9z = 9y. (h) z x y = Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando (V) para verdadeiro e (F) para falso. Justifique sua resposta. (a) A equação da esfera de centro C(, 4, 1) e tangente ao plano-yz é x + y + z + 4x 8y + z + 17 = 0 (b) O raio da esfera que contém os pontos A(, 1, 4), B(0, 5, ) e C(4, 4, 0) e tem seu centro no plano xy é igual.

8 . Determine o centro e o raio da circunferência da interseção da esfera x + y + z = 5 com o plano x + y + z = 4. 8 Gabarito Coordenadas no espaço 1. x = t, y = 1, z = t.. a)a reta que passa pelo ponto (,, 0) paralela ao eixo z. b)o eixo x. c)o círculo x + y = 4 no plano xy. d)o círculo x + z = 4 no plano xz. e)o círculo y + z = 1 no plano yz. f)o círculo x + y = 1 no plano xy.. a)a bola de raio 1 centrada na origem. b)todos os pontos maiores do que 1 centrados na origem. c)o hemisfério superior de raio 1 centrado na origem. d)o hemisfério superior sólido de raio 1 centrado na origem. 4. a) z = 1. b) x + y 4y = 0. c) x = 1 + t, y =, z = 1. d)x + y = 1. Vetores no Rn u v = 0 e u v = 1.. ±7. 4. (a) arccos, (b) a. 5. a) 5; 5; 5; 1; 5; i + 4j 5k. b); 4; ;. Demonstração. 7. Demonstração. 4 ; 4 ; 1 (5j k) a)como cos θ 1, temos que u v = u v cos θ u v (1) = u v. b)temos igualdade precisamente quando cos θ = 1 ou quando u ou v ou ambos são iguais a Não. 10. a) u v =, a direção é 1 i j k ; v u =, a direção é b) u v = 0, sem direção ; v u = 0, sem direção. 11. a). b)± (i j). 1. a)nenhum. b) u e w. 1. Verdadeiro: (a), (b) e (d). Nem sempre verdadeiro: (c). i + 1 j + k ;

9 14. Não Verdadeiro: (a), (c) e (c). Falso: (d) e (e). 1. (a)-4 (b) e ( 1, 5, ) 1. v = (1, ±, 0) Retas e Planos 1. x + y z =.. x y 4z + 7 = 0. a) a = 1, b qualquer; b) impossível; c) a 1, b qualquer. 4. Retas concorrentes. Ponto interseção P (1, 1, 1). 5. a) Demonstração. b) 5.. Demonstração. 7. a) Demonstração. b) a) x = 0, y = t, z = t. b) x = t, y = 7 + t, z = t. 9. Resposta:a)7x 5y 4z =. b)x + y + 4z = (1,, ), 0x + 1y + z = x y + z = a)x = 1 t, y = 1 + t, z = 1. b)x = 4, y = + t, z = 1 + t. 1. a) Verdadeiro. b) Falso. 17. Não.

10 18. a) x = 1 t, y = 5 + t e z = 4 + t, t R. b) x = 1 t, y = 5 e z = 4 t, t R α : x y z + 1 = a) x = 1 + t, y = t e z = + t, t R. b) x = 1 + t, y = t e z =, t R. 1. a) ( 10,, 7 7 ). b) ( 4,, 7 ). c) (,, ).. Sim.. Demonstração. 4. a) a = 5, b = 5 e d qualquer. b) a = 5, b = 5 e d = x z + 4 = a). b) 0. c) a). b) eixo x 4, eixo y 10 e eixo z x y + z = x = + t, y = + t e z = 1 + t, t R. 0. α 1 : x y + z = 41 ou α : x y + z = m: x = 1 + 7t, y = 10t e z = + 4t, t R. Superfícies Quádricas e Cilíndricas 1. ( + 5, + 5, + 5 ) e ( 5, 5. a)c(, 0, ), r = 8. b)c( 1 4, 1 4, 1 4 ), r = 5 4., 5 ).. a)elipsóide. b)cilindro. c)parabolóide Hiperbólico. d)cilindro. e)parabolóide Hiperbólico. f)cone. 4. a)cilindro. b)cilindro. c)cilindro. d)cilindro. e)elipsóide. f)parabolóide. g)cone. h)hperbolóide de duas folhas. 5. a) Verdadeiro. b) Falso.. Centro ( 4,, 01 ). Raio.