UNITAU APOSTILA CILINDROS PROF. CARLINHOS

Transcrição

1 ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA CILINDROS PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: 1

2 CILINDROS Na figura abaixo, temos: - Dois planos paralelos α e β; - Um círculo contido em α; - Uma reta s que intercepta α e β, mas não intercepta C. A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta s, com uma extremidade num ponto do circulo C e a outra no plano β, denomina-se cilindro circular. Num cilindro, convém destacar os seguintes elementos: Cilindro Circular Reto ou de Revolução: Quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Em um cilindro reto a geratriz e a altura têm a mesma medida. ( g = h ) Cilindro Circular Obliquo : Quando as geratrizes são obliquas às bases. Cilindro Equilátero: É o cilindro reto onde h = 2r 2

3 Secção da meridiana de um cilindro: É a secção feita por um plano que contém o eixo do cilindro. ÁREAS E VOLUME Área da base (A b ): A b = π.r 2 Área da lateral (A l ): A l = 2π.r.h Área total (A T ): A T = 2π.r( r + h ) Área da secção (A s ) = 2.r.h Volume de um cilindro ( V ): V = π.r 2.h Exemplos: 1) As dimensões de um retângulo são 4cm e 6cm. Calcule a área total e o volume do sólido gerado pela rotação completa em torno do menor lado desse retângulo. Resolução: 2) Calcule a o volume de um cilindro equilátero cuja a área é igual a 216π cm 2. Resolução: 3

4 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM l) Determine a área lateral e a área total de um cilindro reto de altura 18,5cm, e diâmetro da base 17cm. resp: A l = 314,5π cm 2 e A t = 459π cm 2 2) Achar a área total de um cilindro equilátero que tem 36π cm 2 de área lateral. resp:54πcm 2 3) Um cilindro reto está inscrito num cubo de aresta a. Determine sua área lateral e sua área total. resp: A l = πa 2 A t = 3πa 2 /2 4) A área da secção da meridiana de um cilindro reto de 5 cm de altura e 40 cm 2. Determine sua área total. resp: A t = 72π cm 2 5) Num cilindro reto, a área total é 160π cm 2 e a altura dele, 16 cm. Determine o raio da sua base. resp: r = 4cm 6) Achar o volume de um cilindro reto que tem por raio da base 8 cm e altura 20 cm. resp: V = 1280π cm 3 7) Um cilindro reto de 15 cm de raio é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo e distante 12cm desse eixo. Achar o seu volume, sabendo que a área da secção obtida é corresponde a 4 vezes a área da sua base. resp: V = 11250π 2 cm 3 8) Dona Maria pretende esquentar numa leiteira cilíndrica uma quantidade de leite que dê exatamente para encher uma garrafa térmica, também cilíndrica. O raio da leiteira mede 10 cm, e o da garrafa, 4 cm. A altura da leiteira mede 18 cm e da garrafa, 35 cm. Determine até que altura deve ser colocado o leite na leiteira para não sobrar nem faltar. resp: 5,6 cm 9) Numa fundição, a caçamba que transporta, o material quente e em forma líquida tem 0,4 m 3 de volume, e esta cheia. Esse material vai ser derramado nas formas que produzirão roletes cilíndricos de 2 cm de diâmetro e 5 cm de comprimento. Quantos desses roletes, no máximo serão produzidos? (use π=3,14) resp: ) Determine o volume de um cilindro eqüilátero de área total 1536π dm 2. resp: V= 8192π dm 3 11) Uma bobina de papel para fabricação de jornal tem a forma cilíndrica. Sabendo que essa bobina tem 102cm de diâmetro por 137cm de comprimento, qual a quantidade mínima (área) de papel utilizada para embalar totalmente cada desses rolos cilíndricos? (use π = 3,14) resp: 6,02 m 2 12) Calcule a área total de um sólido obtido pela rotação completa de um retângulo de dimensões 4cm e 12cm em torno do menor lado. resp: 384π cm 2 13) Quando uma quantidade de água é congelada, seu volume aumenta em aproximadamente 8%. Seja uma jarra cilíndrica, com raio medindo 5cm e altura 25cm. Qual a quantidade, em litros de água, que deve ser colocada nessa jarra para que, após o congelamento, ela ocupe todo o volume da jarra? (use π=3,14) resp: 1,82 l 14) (Ufg) A figura abaixo representa uma seringa no formato de um cilindro circular reto, cujo êmbolo tem 20 mm de diâmetro. Esta seringa está completamente cheia de um medicamento e é usada para injetar 4

5 doses de 6 ml desse medicamento. Com base nessas informações, determine quantos milímetros o êmbolo se desloca no interior da seringa ao ser injetada uma dose. resp: 19,10mm 15) Cisterna é um tipo de reservatório d'-água cilíndrico, coberto e semi-enterrado, que permite a captação e o armazenamento de águas das chuvas, aproveitadas a partir do seu escoamentoo nos telhados das casas, através de calhas. Uma cisterna cilíndrica comporta litros de água. Sabendo que a sua altura h é igual a 2,40 m, a medida aproximada do diâmetro da cisterna, em metros, é : a) 2,5 b) 3,2 c) 4,8 d) 5,0 Adote π = 3 resp: b 16) (Enem) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será a) o triplo b) o dobro c) igual d) a metade e) a terça parte resp: b 5

6 17) Uma montadora produz dois tipos de caminhões. Um para carregar contêiner em forma de paralelepípedo retângulo com 12 m de comprimento, 2 m de largura e 2,5 m de altura e outro para transportar líquidos, com um tanque em forma de cilindro circular reto com 12 m de comprimento e diâmetro da base 2 m, como mostra a figura. Considere π = 3,14. Com base nesses dados, analise as afirmações: I) O volume do contêiner é de 60 m 3 3. II) O volume do tanque é de 75,36 m 3. III) A área total do contêiner é de 118 m 2 e do tanque é de 81,64 m. Pode-se então afirmar que: a) as afirmações I e II estão corretas. b) as afirmações I e III estão corretas. c) as afirmações II e III estão corretas. d) as afirmações I, II e III estão corretas. e) as afirmações I, II e III estão incorretas. 18) (Uel) Um fabricante de latas com formato de um cilindro possui chapas retangulares de alumínio com as dimensões: 25 cm de largura por 9 cm de comprimento, conforme a figura que segue. Ele deseja saber como utilizar essas chapas de forma a ter maior capacidade para as latas oriundas de tais chapas. Ele pensou em duas formas de confeccionar essas latas: unindo o lado AD da chapa de alumínio no lado BC formando uma lata que tem o formato de um cilindro circular reto C 1 ou unindo o lado AB ao lado DC formando uma lata cujo formato é um cilindro circular reto C 2. Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir. 6

7 I. A área da superfície lateral do cilindro C 1 é igual à área da superfície lateral do cilindro C 2. II. A capacidade do cilindro C 1 é maior que a capacidade do cilindro C 2. III. Se o fabricante dobrar as dimensões da chapa, a capacidade do cilindro C 1 dobra. IV. Se o fabricante dobrar as dimensões da chapa, a área da superfície lateral do cilindro C 2 dobra. Estão corretas apenas as afirmativas: a) I e II. b) I e III. c) II e IV. d) I, III e IV. e) II, III e IV. Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática 7