Por Pitágoras: # Fuso Esférico: Intersecção da # Cunha Esférica: Intersecção de uma

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1 # Esfera / Elementos # Secção: Círculo de raio r Polo Eixo Meridianos O Raio Equador Paralelo d r R Polo Por Pitágoras: R r d # Fuso Esférico: Intersecção da # Cunha Esférica: Intersecção de uma superfície esférica com um diedro cuja esfera com um diedro cuja aresta contém aresta contem um diâmetro dessa o diâmetro da esfera. superfície esférica Sendo: R o raio da esfera e o ângulo (em graus) de abertura do fuso e da cunha: Área da Superfície Esférica A 4π R Volume 4 V π R Área do Fuso Esférico Volume da Cunha Esférica 60 o 4 πr πr α AFuso α A 90 o Fuso 60 o 4 V π R πr α VCunha 70 o α V Cunha 1

2 ATIVIDADES PARTE A 1) Uma esfera têm raio. Calcule: a) a área total b) o volume c) o comprimento de um círculo máximo d) a área de um fuso de 0 o e) o volume de uma cunha de 0 o f) a área de uma cunha de 0 o g) a área da secção obtida pela intersecção da esfera com um plano que dista de seu centro. ) Qual o volume de uma esfera de cuja área de sua superfície é 400? ) Uma esfera tem o volume de 88 e está inscrita em um cubo. Determine a diagonal do cubo. PARTE B 4) Uma esfera têm raio. Calcule: a) a área total b) o volume c) o comprimento de um círculo máximo d) a área de um fuso de 60 o e) o volume de uma cunha de 60 o f) a área de uma cunha de 60 o g) a área da secção obtida pela intersecção da esfera com um plano que dista 1 de seu centro. 5) (ENEM 014) Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado. Um medicamento é produzido em pílulas com 5mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas. (Use como valor aproximado para π. ) A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a a) 168. b) 04. c) 06. d) 78. e) ) (ACAFE 014) Um tubo cilíndrico reto de volume 18π, contém oito bolinhas de tênis de mesa congruentes entre si e tangentes externamente. Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião dessas bolinhas, o percentual do volume ocupado pelas bolinhas dentro do tubo é, aproximadamente, de: a) 75. b) 50. c). d) 66.

3 7) (CEFET MG 014) Um artesão resolveu fabricar uma ampulheta de volume total V constituída de uma semiesfera de raio 4 e de um cone reto, com raio e altura 4, comunicando-se pelo vértice do cone, de acordo com a figura abaixo. Para seu funcionamento, o artesão depositará na ampulheta areia que corresponda a 5% de V. Portanto o volume de areia, em, é a) 16 π. b) 64 π. c) π. d) 18 π. e) 64 π. 8) (FGV 014) Um sorvete de casquinha consiste de uma esfera (sorvete congelado) de raio e um cone circular reto (casquinha), também com de raio. Se o sorvete derreter, ele encherá a casquinha completa e exatamente. Suponha que o sorvete derretido ocupe 80% do volume que ele ocupa quando está congelado. Calcule a altura da casquinha. 9) (ESPECEX - AMAN 014) Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4, composta de 1 gomos exatamente Iguais. A superfície total de cada gomo mede: a) 4 π b) 4 π 9 c) 4 π d) 4 π 9 e) 4 π 10) (UFRGS 014) Considere um cilindro reto de altura e raio da base, e uma esfera com volume igual ao do cilindro. Com essas condições, o raio da esfera é a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. e) 1. 11) (PUCRS 014) Uma esfera de raio 1 está inscrita em um cubo cujo volume, em, é a) 1 b) c) 4 d) 8 e) 16 1) (UECE 014) Um círculo de raio R gira em torno de seu diâmetro, gerando uma esfera de volume V. Se o raio do círculo é aumentado em 50%, então o volume da esfera é aumentado em a) 100,0 %. b) 15,0 %. c) 15,0 %. d) 7,5 %. 1) (PUCRS 014) Resolver a questão com base na regra da FIFA, segundo a qual a bola oficial de futebol deve ter sua maior circunferência medindo de 68 a 70. Considerando a mesma circunferência de 70, o volume da bola referida na questão anterior é. a) 4 70 π b) 4 70 π c) 4 5 π d) 4 5 π e) 4 5 π

4 14) (UEMA 014) Um clube de futebol, para agradar a sua torcida e a seus jogadores, resolveu homenagear os jogadores que mais se destacaram no clube na última temporada. Para isso, confeccionaram-se dezesseis troféus do mesmo tamanho, em formato de bola de futebol, com raio igual a 6. Determine (use π,14) a) a área total das superfícies consideradas. b) o volume total dos troféus. 15) (UNEB 014) Sua bexiga é um saco muscular elástico que pode segurar até 500ml de fluido. A incontinência urinária, no entanto, tende a ficar mais comum à medida que envelhecemos, apesar de poder afetar pessoas de qualquer idade; ela também é mais comum em mulheres que em homens (principalmente por causa do parto, mas também em virtude da anatomia do assoalho pélvico). (BREWER. 01, p. 76). Considerando-se que a bexiga, completamente cheia, fosse uma esfera e que π, pode-se afirmar que o círculo máximo dessa esfera seria delimitado por uma circunferência de comprimento, em, igual a a) 0 b) 5 c) 0 d) 5 e) 40 16) (UFPE 01) Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro obtido, que tem o mesmo volume do cilindro, é moldado em esferas com raio igual à metade do raio da base do cilindro. Se a altura do cilindro é quatro vezes o diâmetro de sua base, quantas são as esferas obtidas? 17) (UERN 01) Uma esfera e um cilindro possuem volumes e raios iguais. O raio da esfera ao cubo é igual ao triplo do quadrado do raio do cilindro. A altura do cilindro, em unidades, é a). b). c) 4. d) 8. 18) (UERN 01) Uma fruta em formato esférico com um caroço também esférico no centro apresenta 7/8 de seu volume ocupado pela polpa. Desprezando-se a espessura da casca, considerando que o raio da esfera referente à fruta inteira é de 1, então a superfície do caroço apresenta uma área de a) 11π. b) 144π. c) 169π. d) 196π. 19) (EPCAR AFA - 01) Uma caixa cúbica, cuja aresta mede 0,4 metros, está com água até 7 8 de sua altura. Dos sólidos geométricos abaixo, o que, totalmente imerso nessa caixa, NÃO provoca transbordamento de água é a) uma esfera de raio dm. b) uma pirâmide quadrangular regular, cujas arestas da base e altura meçam 0. c) um cone reto, cujo raio da base meça dm e a altura dm. d) um cilindro equilátero, cuja altura seja 0. 0) (UNESP 01) Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo maciço e homogêneo de madeira com 10 de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces horizontais. De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 de raio, de modo que 4

5 seus centros ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face de corte, conforme mostra a sequência de figuras. Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta-joias era de 0,85 g/ admitindo π, a massa aproximada do porta-joias, em gramas, é a) 66. b) 64. c) 60. d) 6. e) 68. e 1) (FGV 01) Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera em 0%, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará a) 60% b) 6,% c) 66,4% d) 69,6% e) 7,8% ) (FGVRJ 01) Em uma lata cilíndrica fechada de volume de tênis. a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas. b) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata? 5175, cabem exatamente três bolas RESPOSTAS / SOLUÇÕES PARTE B 4) a) 16 π b) π c) 4 π d) 8π e) 16π 9 f) 0π g) π 5

6 5) Alternativa E. Solução: O volume de uma pílula de raio r, em milímetros cúbicos, é dado por 4 π r 10 π r r (15 r). Portanto, o resultado pedido é igual a 5 (15 5) 4 (15 4) mm. 6) Alternativa D. Solução: Seja r o raio das bolinhas. Tem-se que O volume ocupado pelas bolinhas é igual a Portanto, o resultado pedido é 7) Alternativa A. Solução: O resultado pedido é dado por πr 16r 18π r. 4π 56π 8. 56π 100% 67%. 18π 1 4π 1 1 0,5 4 π π 4 16π. 8) Solução: Seja h a altura que o sorvete derretido atinge na casquinha. Tem-se que π π h h 9, ) Alternativa A. Solução: 60 : 1 = 0 A área total de cada gomo é a soma das áreas de um fuso esférico como as áreas de dois semicírculos. 6

7 0 4π 4 π 4 A 60 16π A 16π 64π 4 π A. 10) Alternativa B. Solução: Volume do cilindro: V π 88 Volume da esfera de raio r: Fazendo Ve V C, temos: 11) Alternativa D. Solução: C 4 π r Ve 4 π r 88 r 16 r 6 A aresta do cubo será a =. Portanto, o volume V do cubo será dado por: V = = 8 1) Alternativa D. Solução: Volume da esfera de raio R: Volume da esfera de raio 1,5 R: 4π R. (1 ) 4 π (1,5R) 4π R,75 ( ). O aumento será calculado pela diferença entre o volume da esfera de raio aumentado () e o volume da esfera original (1): Portanto, o aumento será de 4π R 4π R 4π R,75,75 4π R,75, ou seja, de 7,5%. 1) Alternativa E. Solução: O volume V da bola (esfera) será dado por: 4 5 V 4 π 5. π π 14) Solução: a) A área total pedida é dada por 7

8 b) O volume total dos troféus é igual a 16 4π 6 64, ,56 u.a. 4π , ,1 u.v. 15) Alternativa C. Solução: R = raio da bexiga. 4π R 4 R R 15 R 5. Comprimento do círculo máximo: C π R ) Solução:Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a altura do cilindro. Como h 4 r 8r, segue que o volume do cilindro é igual a Sabendo que o raio de cada esfera mede r, Portanto, o número de esferas obtidas é dado por πr 8r 8πr. podemos concluir que o volume de uma esfera é 4π r πr. 6 8πr πr ) Alternativa C. Solução: Sabendo que o cilindro e a esfera possuem volumes iguais e raios iguais, temos 4 4 π r h π r h r, com h sendo a altura do cilindro. Além disso, como o raio da esfera ao cubo é igual ao triplo do quadrado do raio do cilindro, vem 4 Portanto, h 4 u.c. 18) Alternativa B. r r r (r ) 0 r u.c. 4 Solução: O volume total da fruta é igual a 1. π Logo, se r é o raio do caroço, então Portanto, o resultado pedido é 4π 6 144π π r π 1 r 8 r 6. 19) Alternativa D. Solução: Calculando agora o volume de cada sólido dado, temos: 8

9 0) Alternativa D. Solução: V = Volume do porta-joias V c = Volume do cubo V e = Volume da esfera. V = V c - V e 4 V 10 4 π V = V = 744 Utilizando a densidade da madeira para encontrar a massa m do porta-joias. m 0,85 m 6,4 g ; 6 g 744 1) Alternativa E. Solução: Seja r o raio da esfera. Logo, após aumentarmos r de 0%, teremos 4π 4π (1, r) r 100% (1,78 1) 100% 4π r 7,8%, ou seja, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará 7,8%. ) Solução:a) Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio do cilindro. Como o raio de cada bola é igual ao raio do cilindro e h 6r, temos 9

10 175 πr 6r 5175 r. π Daí, segue que o volume de cada bola é igual a π r π π Portanto, o resultado é b) A razão entre o volume das três bolas e o volume da lata é