NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA

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1 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA Polígonos são figuras planas fechadas com lados retos. Todo polígono possui os seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. Altura de um triângulo é o segmento de reta que liga, perpendicularmente, um vértice à reta que contém o lado oposto a esse vértice. De acordo com o número de lados o polígono é nomeado: Nº de lados Nome Polígonos Nº de lados Nome 3 triângulo 4 quadrilátero 5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octógono 9 eneágono 10 decágono 11 undecágono 12 dodecágono Triângulo retângulo Em um triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os comprimentos da hipotenusa e dos catetos estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras : (hip) 2 = (cat) 2 + (cat) tridecágono 14 tetradecágono Triângulo é um polígono com 3 ângulos internos, logo 3 lados. Podemos classificá-los de duas maneiras: quanto ao tamanho dos lados: Ex.: Determinar o valor de x. equilátero - 3 lados de mesmo comprimento, isósceles - 2 lados de mesmo comprimento, escaleno - 3 lados de comprimentos diferentes; quanto às medidas dos ângulos: acutângulo - 3 ângulos agudos (menores que 90 graus), retângulos - 1 ângulo reto (90 graus), obtusângulo - 1 ângulo obtuso (maior que 90 graus). 1 2

2 PERÍMETRO DE POLÍGONO E CIRCULO Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. O perímetro no círculo é chamado de comprimento da circunferência. A razão entre o comprimento e o diâmetro é a mesma para quaisquer circunferências e é representada pela letra grega (pi). C Assim: 3, D O número 3, corresponde em matemática à letra grega (pi), que é a primeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considerar = 3,14. C C D. C 2r D Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. Exercícios: 1) Encontre o perímetro em cada caso: a) b) 3) Será feito o plantio de laranja em todo o contorno de um terreno retangular de 42 m x 23 m. Se entre os pés de laranjas a distância é de 2,60 m, quantos pés de laranjas foram plantados? 4) O perímetro de um triângulo equilátero corresponde a 5/6 do perímetro de um quadrado que tem 9 cm de lado. Qual é a medida, em metros, do lado desse triângulo equilátero? 5) Numa sala quadrada, foram gastos 24,80 m de rodapé de madeira. Essa sala tem apenasuma porta de 1,20 m de largura. Considerando que não foi colocado rodapé na largura da porta, calcule a medida de cada lado dessa sala. 6) O raio de uma circunferência mede 4 cm. Quanto mede o seu comprimento? 7) O comprimento de uma circunferência mede 18,84 cm. Quanto mede o raio? 8) (Ufjf) Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente: 9) Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas? 10) Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distância de 66 metros. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS c) d) Retângulo Quadrado Paralelogramo A= b.h A = l 2 A= b.h 2)A praça de uma cidade possui a forma de um quadrado. Calcule quantos metros de corda deverá ser gasto para cercar a praça para uma festa sabendo que possui 45 m de lado, deseja-se dar 4 voltas com a corda. 3 4

3 Triângulo Trapézio Losango A= b.h B b 2 A 2.h D.d A 2 Triângulo Equilátero Hexágono Círculo l A Exercícios: 1) Calcule a área de cada figura: 2 6.l 3 A A = π.r 2 4 2) A diagonal de um retângulo mede 20 cm. Se sua base é o triplo da altura, calcule sua área. (120cm 2 ) 3) A área de um quadrado é 18 cm 2. Calcule a medida da diagonal desse quadrado. (6cm) 4) Calcule as dimensões de um retângulo, sabendo que sua área mede 30 cm 2 e seu perímetro 22 cm. (5cm e 6cm) 5) O perímetro de um losango é igual a 24 3 cm. Sabendo que sua diagonal menor mede 4 2 cm, calcule sua área. (40 2 cm 2 ) 6) As bases de um trapézio isósceles medem 10 cm e 6 cm. Se a medida do lado oblíquo mede 4 cm, calcule sua área. (16 3 cm 2 ) 7) Calcule a área do triângulo equilátero cuja altura mede 3 3 cm. (9 3 cm 2 ) 8) Calcule o perímetro de um triângulo isósceles cuja base mede 12 cm e a altura 8cm. (32 cm) 9) Calcule a medida do lado de um triângulo equilátero de área igual a 54 3 cm 2. (6 6 cm) 10) Calcule o perímetro de um triângulo isósceles com 24cm de altura e 36cm de base. (96cm) 11) Uma roda tem 40 cm de raio. Quantas voltas completas dará esta roda após percorrer 7.536m de percurso? (3000v) 12) Num percurso de 6.280m a roda de um veículo descreveu voltas. Quanto mede o diâmetro desta roda? (1m) 13) Um telhado de quatro águas é formado por dois triângulos iguais e dois trapézios. Para cobrir 1 m 2 de telhado gastam-se 20 telhas. Quantas telhas, aproximadamente, há no telhado da casa? (3544 telhas) 5 6

4 14) Um trapézio ABCD, a base maior AB mede 20 cm e a base menor CD mede 16 cm. A área deste trapézio é de 216 cm 2. Com estas informações, calcule a altura. (12 cm) 15) (PUC-RIO 2008) Um festival foi realizado num campo de 240 m por 45 m. Sabendo que por cada 2 m² havia, em média, 7 pessoas, quantas pessoas havia no festival? (37.800) 16) Uma lajota retangular tem 30 cm por 20 cm. Qual é a área da lajota? Quantas lajotas são necessárias para cobrir o piso de uma garagem de dimensões 12 m por 8 m? (600 cm 2 ), (1600 lajotas) 17) É necessário um certo número de pisos de 25 cm x 25 cm para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura. Cada caixa tem 20 pisos. Supondo que nenhum piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha? (16 caixas) 18) (Mack-SP) Um jardineiro, trabalhando sempre no mesmo ritmo, demora 3 horas para carpir um canteiro circular de 3 m de raio. Se o raio fosse igual a 6 m, quanto tempo ele demoraria? (12 hs) 19) (PUC- MG) Em uma casa de massas, o preço da pizza é proporcional à sua área. Se uma pizza cujo seu diâmetro é 10 cm é vendida a R$3,00, então, qual o preço de uma pizza de 30 cm de diâmetro? (R$27,00) 20) (UFRN) Para se pintar uma parede com o formato e as dimensões de acordo com a figura abaixo, gasta-se 1litro de tinta para cada 9 m 2 de área. Sabendo-se que cada lata contém 2 litros de tinta, a menor quantidade de latas que deve ser comprada para se pintar toda a parede é: POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA Polígonos regulares são polígonos em que todos os lados e os ângulos internos são congruentes. ELEMENTOS DE UM POLIGONO REGULAR INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA O: centro da circunferência (e do polígono) r : raio da circunferência l : lado do polígono ap : apótema ( distância entre o centro e o ponto médio do lado do polígono) RELAÇÕES MÉTRICAS DE POLÍGONOS INSCRITOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA Quando consideramos a medida do lado do polígono regular, a medida do apótema do mesmo polígono e o comprimento do raio da circunferência onde o polígono está inscrito, podemos estabelecer relações métricas entre essas medidas QUADRADO INSCRITO 21) Calcule a área aproximada da parte colorida das figuras. Use π= 3,14.) a) b) c) (3 latas) a) (17,9 cm 2 ) b) (5,8 cm 2 ) c) (9,72 cm 2 ) 7 8

5 HEXÁGONO INSCRITO TRIÂNGULO INSCRITO 7) A diagonal de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 5cm. Calcule o lado do hexágono regular inscrito nessa mesma circunferência. 2,5 cm 8) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 15cm. Quanto mede o seu lado? 10 3 cm 9) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 7 3 cm. Determine o perímetro do hexágono. 84 cm 10) O perímetro de um hexágono regular cujo apótema mede 5 3cm é: 60 cm 11) O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência é 40cm. Então, o raio da circunferência mede: 12) Calcular o perímetro de um quadrado inscrito em um círculo cujo comprimento de sua circunferência é 10 2 cm. 40cm 5 2 cm EXERCÍCIOS: 1) Calcule o apótema de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 7 2 cm. 7 cm 2) Calcular a medida do raio e do apótema no quadrado inscrito numa circunferência, cujo o lado mede 12cm. 62cm e 6 cm 3) Calcule o apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 28 cm. 14 cm 4) O apótema de um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência mede 3 cm. Quanto mede o seu lado? 5) O lado de um quadrado inscrito numa circunferência mede 4cm. Calcule o raio da circunferência. 2 2 cm 6) Em um círculo, estão inscritos um quadrado e um triângulo equilátero. Se o lado do triângulo mede 12cm, quanto mede o lado do quadrado? 4 6 cm 6 cm 9 10

6 GEOMETRIA ESPACIAL ESFERA OBLÍQUO RETO CILINDRO OBLÍQUO RETO CONE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO REGULAR OBLÍQUA RETA PIRÂMIDE REGULAR OBLÍQUO RETO PRISMA IRREGULARES ICOSAEDRO DODECAEDRO OCTAEDRO HEXAEDRO TETRAEDRO REGULARES POLIEDROS GEOMÉTRICOS SÓLIDOS 11

7 POLIEDROS: são sólidos geométricos limitados (formados) por figuras planas. Elementos de um poliedro Faces: são as figuras planas que formam o sólido; Arestas: são os lados da figura plana; Vértices: são os pontos de encontro das arestas. RELAÇÃO DE EULER Existe uma relação entre os elementos dos poliedros regulares. Observe: NOME V F A Podemos classificar um poliedro de acordo com o número de faces. Ex.: Nº de Classificação faces 4 Tetraedro 5 Pentaedro 6 Hexaedro 7 Heptaedro 8 Octaedro 9 Eneaedro 10 Decaedro 11 Undecaedro 12 Dodecaedro Icosaedro Poliedro convexo é todo poliedro em que qualquer segmento de reta que una quaisquer dois de seus pontos está contido no interior do poliedro ou numa das regiões poligonais. Poliedro convexo Poliedro não convexo 12 A relação é, conhecida como Relação de Euler. Ex.: Um poliedro possui 2 faces quadrangulares e 8 triangulares. Determinar o número de vértices. Exercícios: 1) Ache o número de vértices, arestas e de faces dos poliedros convexos que possuem: a) 2 faces triangulares e 3 faces quadrangulares; b) 4 faces triangulares e 1 face quadrangular; c) 2 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares. 2) (Fuvest - SP) Quantas faces tem um poliedro convexo com 6 vértices e 9 arestas? 3) (Faap-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 4) (Puccamp -SP) Se um poliedro convexo possui 16 faces triangulares, o seu número de vértices é: 13

8 5) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces quadrangulares, 4 faces triangulares e 1face hexagonal. 6) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 1 face decagonal, 1 face pentagonal, 15 faces quadrangulares e 5 faces triangulares. 7) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. 8) Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro? 9) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre esses átomos? 10) Em um poliedro convexo o número de vértices corresponde a2/3 do número de arestas e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Descubra quantas são as faces, os vértices e as arestas desse poliedro. 11) Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices possui faces triangulares e faces quadrangulares. Determine quantas são as faces triangulares e quadrangulares. ESTUDO DO PRISMA DEFINIÇÃO: Prismas são poliedros convexos que tem duas faces paralelas e congruentes (bases) e as demais faces em forma de paralelogramos (faces laterais). Exemplos: Um prisma é reto: quando as arestas laterais são perpendiculares às bases; caso contrário, o prisma é oblíquo. prisma reto prisma oblíquo Um prisma é regular quando for reto e sua base for um polígono regular. Num prisma destacamos: POLIEDROS REGULARES Se todas as faces são polígonos regulares geometricamente iguais e em cada um dos seus vértices encontra-se o mesmo número de faces, o poliedro chama-se poliedro regular. Caso contrário, o poliedro é dito irregular. Existem apenas cinco poliedros regulares, conhecidos desde o século VI a.c.. Estes sólidos também são conhecidos por sólidos platônicos, porque foram estudados por Platão e estavam associados aos cinco elementos naturais:, Fogo, Terra, Ar, Universo e Água. TETRAEDRO HEXAEDRO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO Um prisma recebe denominação de acordo com o polígono da base, se a base é um: * triângulo prisma triangular; * quadrado prisma quadrangular; * pentágono prisma pentagonal; e assim por diante

9 ÁREAS E VOLUME DE UM PRISMA REGULAR Área da base (Ab) : é a área de um dos polígonos da base. Área Lateral (Al): é a soma das áreas de todas as faces laterais. Área total (At) é a soma da área das 2 bases com a área lateral. Volume (V): é o produto entre a área da base e a altura. Exemplo: O apótema da base de um prisma triangular regular tem 3 cm, a área lateral é 72 cm 2. Calcule a altura do prisma. 4) Calcule o volume do prisma hexagonal regular reto, de altura 3 cm cujo apótema da base mede 3 cm. 5) Calcule a área total de um prisma triangular regular, de área lateral 300 cm 2, sabendo que a aresta da base é igual à aresta lateral. 6) Suponha que um canteiro tenha a forma de um hexágono regular de 2 m da lado e que o jardineiro responsável deseje colocar terra em toda a extensão desse canteiro, até a altura de 20 cm, em relação ao nível atual. Qual a quantidade de terra a ser colocada? 7) Quantas garrafas de 300 ml de refrigerante são necessárias para encher uma jarra, na forma de um prisma regular cuja área da base é 100 cm 2 e a altura, 21 cm? 8) O suporte de um abajur tem a forma de um prisma triangular regular. A aresta da base do prisma mede 20 cm e a altura 50 cm. Sabendo que o suporte deve ser revestido de vidro, determine a quantidade, em m 2, de material necessário para confeccionar 30 abajures. 9) Qual é o volume de concreto que deverá ser utilizado para construir uma escada com 12 degraus, conforme a figura? 1) Calcule a área total do sólido abaixo. 2) A altura de um prisma triangular regular é igual a 10 cm. Calcule a área lateral a área total e o volume desse prisma sabendo-se que o perímetro da base é igual a 18 cm. 3) Um prisma quadrangular tem 7 cm de aresta lateral e 5 cm de aresta da base. Calcule a área da base, a área lateral e a área total. 16 9) Um vaso de flores tem a forma de um prisma hexagonal, com aresta da base medindo 8 cm e altura medindo 40 cm. Para não haver derramamento ao se colocar flores nesse vaso, deve-se encher de água 80% da sua capacidade. Qual a quantidade de água, em litros, que devemos colocar nesse vaso? (Use 3 = 1,7) 10) Um prisma tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base, calcule sua área total. 11) (FMTM-MG) Se a área da base de um prisma aumenta 20% e a altura diminui 10%, seu volume : a) aumenta 8% b) aumenta 10% c) aumenta 108% d) diminui 8% e) diminui 10% 12) Uma barra de prata é fundida na forma de um prisma reto de altura 32 cm e base trapezoidal. A altura do trapézio mede 5 cm, e as bases medem 7,5 cm e 10 cm. Se a prata pesa 10,5 g por cm 3, quanto deve pesar a barra? 17

10 PRISMAS ESPECIAIS No caso dos prismas quadrangulares, eles recebem nomes diferentes de acordo com algumas características. Um deles é o paralelepípedo, cujas bases são paralelogramos. Se as bases são retangulares o paralelepípedo recebe o nome de paralelepípedo reto-retângulo ou bloco retangular. Sendo todas as faces quadradas tem-se o cubo. PARALELEPÍPEDO Cálculo da diagonal de um paralelepípedo reto retângulo e de um cubo CUBO d = medida da diagonal do paralelepípedo (cubo) x = medida da diagonal da base 1) Qual o volume de um cubo de área 54 cm 2? 2) A diagonal de uma face de um cubo tem medida 5 2 cm. Qual a área do cubo? 3) Num paralelepípedo retângulo de dimensões 3 cm, 4 cm e 5 cm, calcular: a) a medida da diagonal; b) a área total ; c) o volume 4) A água de um reservatório, na forma de um paralelepípedo retângulo, de comprimento 30 m e largura 20 m, atingia a altura de 10 m. Com a falta de chuva e o calor, 1800 metros cúbicos de água se evaporaram do reservatório. Qual a altura atingida pela água que restou no reservatório? 5) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. Determine o valor de x. 6) Sabendo que o perímetro da base de um cubo é 16 cm, determine: a) sua aresta; b) a área total; c) o volume. 7) Sabendo que a diagonal de um cubo mede 12cm, determine: a) sua aresta; b) a área total; c) o volume. 8) Um sólido cúbico maciço de madeira tem aresta igual a 8 cm. Sabendo que a densidade da madeira é 0,8 g/cm 3,calcule a massa desse sólido. 10) Considere um pedaço de cartolina retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem tampa. O polinômio na variável x, que representa o volume, em cm³, desta caixa é: a) 4x³ 60x² + 200x b) 4x² 60x c) 4x³ 60x² d) x³ 30x² + 200x Áreas e Volume de um paralelepípedo retângulo e de um cubo Área da base (Ab) : Área da base (Ab) : Área Lateral (Al): Área Lateral (Al): e) x³ 15x² + 50x 11) O volume de uma caixa d água cúbica é de 216 litros. Qual a medida de sua aresta? Área total (At) Área total (At) Volume (V): Volume (V): 18 19

11 ESTUDO DA PIRÂMIDE Consideremos um polígono contido em um plano e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a união de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. ELEMENTOS E CLASSIFICAÇÃO Base: polígono qualquer contido no plano Vértice (V): ponto fora do plano Aresta da base (a b): lado do polígono da base Apótema da base (ap): segmento que liga perpendicularmente o centro ao ponto médio do lado do polígono da base Aresta lateral (al): segmento que liga o vértice V aos vértices do polígono da base Apótema da pirâmide (a pp): segmento que liga perpendicularmente o vértice V ao ponto médio do lado do polígono da base Altura (h): distância perpendicular entre o vértice V e o plano As pirâmides podem ser retas ou obliquas, recebem nome de acordo com o polígono da base. Pirâmide regular é a pirâmide que tem na base um polígono regular. Em toda pirâmide regular tem-se que: o segmento que liga o vértice ao centro da base é a altura da pirâmide; o polígono da base é regular por isso pode ser inscrito numa circunferência de raio r, chamado raio da base. as faces laterais são triângulos isósceles a altura de cada face lateral é o apótema da pirâmide regular (app). Observação 1: Em toda pirâmide regular devemos destacar quatro importantes triângulos retângulos nos quais aparecem: a aresta da base (ab), a aresta lateral (al), o raio da base (r), o apótema da pirâmide (app), o apótema da base (ap) e a altura da pirâmide (h). 20

12 Observação 2: A pirâmide formada por 4 triângulos equiláteros é chamada TETRAEDRO. ÁREAS E VOLUME DE UMA PIRÂMIDE REGULAR Área da base ( A b ): área do polígono da base Área lateral ( A l ): soma das áreas das faces laterais Área total ( A t ): soma da área lateral com a área da base Volume: V = 3) Uma pirâmide reta tem 12 dm de altura. Sua base é um retângulo com 8 dm de comprimento e cuja diagonal mede 10 dm, calcule o volume dessa pirâmide. 4) Qual é a área total do tetraedro regular de aresta 10 cm? 5) Determine o volume de uma pirâmide hexagonal regular, cuja aresta lateral tem 10 cm e o raio da circunferência circunscrita à base mede 6 cm. 6) A aresta de um tetraedro regular mede 15 cm. Calcule a medida da altura. 7) Uma tenda indígena tem o formato de uma pirâmide hexagonal regular de altura 3 m e aresta de base igual a 2 m. Considerando que o índio construtor deixou uma das faces laterais como porta (sem fechamento de tecido), qual a quantidade, aproximada, de tecido necessária para a cobertura da tenda? ( 3 = 1,7) 8) Abaixo tem-se a representação da torre do Parlamento britânico em concreto maciço. Determine a quantidade de concreto, em metros cúbicos, utilizada na construção dessa representação. Exemplo: É dada uma pirâmide regular de base quadrada. A sua altura é 9 m e o seu volume é 108 m 3. Calcule a área total da pirâmide. 9) Será instalado na fachada de uma sorveteria um toldo de lona, com forma de meia pirâmide hexagonal regular. A partir da representação a seguir, determine, em metros quadrados, a quantidade mínima de lona necessária para a construção do toldo. 1) Considere uma pirâmide regular de base quadrada. Sabendo que o lado da base mede 12 cm e a altura da pirâmide mede 8 cm, calcule a área total. 2) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais, sendo a área da base igual a 16cm 2. Qual é a sua altura? 21 22

13 ESTUDO DO CILINDRO Cilindro é um sólido cujas bases são paralelas e circulares. Um cilindro pode ser reto ou oblíquo. O cilindro reto é também chamado de cilindro de revolução pois é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados. A secção meridiana em um cilindro reto é um retângulo. Se a secção meridiana for um quadrado, esse cilindro é chamado cilindro equilátero. Nesse caso altura é igual ao diâmetro da base, ié, h = 2r Elementos do cilindro: Na figura temos: * bases do cilindro: círculos de centros O e O, de raio r. * eixo do cilindro : reta que passa pelo centro das bases. *geratriz: são os segmentos de extremidades nas circunferências das bases e paralelos ao eixo do cilindro, no cilindro reto g = h. *altura: é a distância entre as bases do cilindro. ÁREAS E VOLUME DE UM CILINDRO Área da base: Como a base de um cilindro é um círculo, sua área é dada por: Ab = r 2 Área lateral: Planificando a lateral do cilindro, temos: *secção meridiana: é a intersecção do cilindro com um plano que contém seu eixo. Área total: É a soma das áreas das bases com a área lateral. Volume: O cilindro nada mais é que um prisma de base circular. Logo: Exemplo: A área da seção meridiana de um cilindro equilátero é 100 cm 2, calcule a área total e o volume deste sólido

14 1) Calcular a área lateral, a área total e o volume de um cilindro reto, cujo diâmetro da base mede 12 cm e a altura, 5 cm. Al = 60cm 2 At=132 cm 2 v=180 cm 3 2) Calcular a medida do raio da base de um cilindro sabendo que sua área lateral mede 300 cm 2 e a geratriz 40 cm. r = 3,75cm 3) Um reservatório para álcool tem a forma de um cilindro reto com 16m de altura e 8m de diâmetro da base. Qual a capacidade, em litros, do reservatório? v= L 4) Quatro copos cheios de água constituem 1 litro. Um copo é cilíndrico com 5 cm de diâmetro, calcule a altura do copo. h=12,7cm 4) Determine o volume do cilindro inscrito num cubo de aresta 2 cm. 10) (UFBA) O tonel representado abaixo está ocupado em 60% da sua capacidade. A quantidade de água nele contida é de aproximadamente: a) 20 L b) 30L c) 40L d) 50L e) 60L 11) Queremos dividir o volume do cilindro (I) em vários outros cilindros menores de mesmo volume, e iguais ao (II). Quantos cilindros iguais ao (II) devemos tomar para distribuirmos o volume de (I) v = 6,28 cm 3 a) 10 b)12 c)15 d)18 e) 20 5) Deseja-se construir uma caixa-d água em forma de cilindro reto, de 1,6m de raio e cuja capacidade seja de L.Qual deve ser aproximadamente a altura dessa caixa-d água? h 2,5m 6) Calcule a área lateral de um cilindro reto, sendo sua área total 12 m 2 e o raio, 5 1 da 12) A razão entre as áreas totais de um cubo e de um cilindro reto nele inscrito, nessa ordem, é: altura. Al = 10 cm 2 7) Um retângulo de 1m e 2m de dimensões gira em torno do seu menor lado. Determine o volume do sólido gerado. v=4 cm 3 8) Sabendo que a seção meridiana de um cilindro é um quadrado de 36 cm 2 de área, calcule a área lateral do cilindro e o volume. Al = 36 cm 2 9) Na construção de uma caixa d agua em forma de um cilindro circular reto de 4cm de raio e 5cm de altura, a empreiteira trocou a medida do raio pela medida da altura e vice versa. A troca acarretou na capacidade original: a) uma perda de 20%. b) um acréscimo de 10% c) um acréscimo de 20%. 9) e 10) a 11) e 12) c d) uma perda de 25%. e) um acréscimo de 25%

15 ESTUDO DO CONE Dados um círculo e um ponto V fora dele, o sólido formado pela união de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e outra em um ponto do círculo é chamado cone. Um cone pode ser reto ou oblíquo. SEÇÃO MERIDIANA: é a intersecção do cone com um plano que contém seu eixo. No cone reto a secção meridiana é um triângulo isósceles. Se secção meridiana é um triângulo equilátero,dizemos que o cone é equilátero. Nesse caso a geratriz é igual ao diâmetro, h = 2r. Elementos do cone: * base do cone: círculo de centro O e raio r. * eixo: reta que passa pelo centro da base e pelo vértice. * geratriz(g): sâo os segmentos de extremidades em V e na circunferência da base do cone * altura(h): é a distância entre o vértice e o plano que contem a base Área da base: Ab = π r 2 ÁREAS E VOLUME DE UM CONE Área lateral: planificando a lateral do cone, temos um setor circular de raio g e comprimento 2 π r. Podemos calcular a área lateral por meio de uma regra de três, pois o comprimento do arco é proporcional à área do setor. Obs.: O cone reto é também chamado de cone de revolução, pois é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Em todo cone reto vale a relação: g 2 = h 2 + r 2 Área total: É a soma da área da base com a área lateral Volume: O cone nada mais é que uma pirâmide de base circular, portanto: V = Exemplo: Planificando um cone, obtemos um setor circular de raio 5 cm e um ângulo central de 72º. Calcular a área total desse cone

16 ESTUDO DA ESFERA 1) A geratriz de um cone equilátero é 20 cm. Calcule a área da base desse cone. 2) Em um cone reto, a área da base é 9 cm 2 e a geratriz mede 3 10 cm. Calcular o seu volume 3) Determine a altura de um chapéu de cartolina de forma cônica construído a partir de um setor circular de raio 15 cm e ângulo central de 120. Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. A esfera é gerada pela rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e que contém o seu diâmetro. 4) Calcule a área da secção meridiana de um cone reto de raio 6 cm e geratriz 8 cm. 5) Desenvolvendo a superfície lateral de um cone, obtemos um setor circular de raio 20 cm e ângulo central de 216. Calcule a área total do cone. 6) Determinar o ângulo central de um setor circular obtido pelo desenvolvimento da superfície lateral de um cone cuja geratriz mede 18 cm e o raio da base 3 cm. 7) Determinar a medida da altura de um cone sendo 42cm o diâmetro da base e 1050 cm 2 sua área total. 8) Um prisma e um cone retos têm bases de mesma área. Se a altura do prisma é 2/3 da altura do cone, a razão entre o volume do prisma e o volume do cone é: a) 2 b) 3/2 c) 3 d) 5/2 9) A altura de um cone reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8 cm, determine o volume desse cone. 10) Um cone tem 8 cm de altura e 15 cm de raio. Outro cone tem 15 cm de altura e 8cm de raio. De quanto a área lateral do primeiro excede a área lateral do segundo? 12) (UEMG) Dado um cone reto, no qual a altura é 3/4 do raio da base, o diâmetro da base é 8 m. Calcule sua área total. 13) Calcule a área da superfície lateral e a capacidade de um cone de revolução de altura 9cm, sabendo que sua área lateral vale o dobro da área da sua base. 14) A base de um cone equilátero foi pintada com 10 latas de tinta, cada uma contendo 1,8 litros de tinta. Nessas condições, para pintar a área lateral desse cone a quantidade de tinta necessária, em litros, é igual a: a) 18 b) 27 c) 30 d) 36 e) 40 A superfície esférica é a casca da esfera, ou seja, conjunto de todos os pontos do espaço que estão à mesma distância do centro da esfera. Seção na esfera: Ao seccionarmos uma esfera por um plano qualquer, à uma distância d do seu centro, iremos sempre obter um círculo R 2 = d 2 + r 2 Se a seção for feita passando pelo centro da esfera (d = 0) o círculo obtido terá o mesmo raio da esfera e será denominado CÍRCULO MÁXIMO DA ESFERA. Área da esfera: A = 4 R 2 Volume da esfera : V = 4 3 π R 3 Ex.: Calcule a área do círculo determinado por uma secção esférica feita a 5 cm do centro de uma esfera de raio 13cm

17 1) Calcule o volume da esfera cuja área da superfície esférica mede 36 cm 2. 2) Qual o volume de uma esfera de 40 cm de raio? 3) Seccionando-se uma esfera a 3 m do seu centro, obtém - se uma secção de área 72 π m 2, determine o volume dessa esfera. 4) Considerando uma esfera cuja superfície tenha área 676π m 2. A que distância do seu centro deve-se traçar um plano de corte para que a secção assim determinada tenha área de 25 π m 2? 5) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja área total é 216 cm 2. 6) Um reservatório tem a forma de um hemisfério (figura). Qual é o volume máximo de liquido que cabe nesse reservatório, em litros? 7) Um ourives banhou em ouro 40 peças esféricas de 5 mm de raio. O custo de cada mm 2 desse banho foi R$ 0,05. Qual foi o custo total? Use = 3,14. 8) (UFO-MG) Uma casquinha de sorvete é um cone de 10cm de altura e 4cm de diâmetro na base. Duas bolas esféricas de sorvetes, também de 4cmde diâmetro, são colocadas na casquinha. Se o sorvete derreter na casquinha: a) O sorvete encherá completamente a casquinha, sem transbordar. b) Transbordarão 8π cm 3 de sorvete. c) Faltarão 8π cm3 de sorvete para encher completamente a casquinha. d) Transbordarão 6π cm 3 sorvete. e) Faltarão 6π cm 3 de sorvete para encher completamente a casquinha 9) (UFRGS) São fundidas 300 esferas com 20mm de diâmetro para fabricar cilindros circulares retos com 20mm de diâmetro e 200mm de altura. Quantos cilindros serão fabricados? 10) (CEFET-PR) A indústria de bolas de borracha Cilimbola quer produzir embalagens cilíndricas para colocar 3 bolas com 3cm de raio cada, conforme a figura. Qual a quantidade total de material utilizado para fabricar a embalagem, incluindo a tampa? 31 32