GEOMETRIA ESPACIAL

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1 GEOMETRIA ESPACIAL (Unicamp 016) Considere os três sólidos exibidos na figura abaixo, um cubo e dois paralelepípedos retângulos, em que os comprimentos das arestas, a e b, são tais que a b 0. a) Determine a razão r a b para a qual o volume de S 1 é igual à soma dos volumes de S e S. b) Sabendo que a soma dos comprimentos de todas as arestas dos três sólidos é igual a 60 cm, determine a soma das áreas de superfície dos três sólidos.. (Espcex (Aman) 016) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais a, 4 e e a soma dessas medidas é igual a 48 cm. Então a medida da sua área total, em a) 7 b) 80 c) 1.04 d) 1.0 e) 1.04 cm, é. (Fuvest 016) Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede 10. Por um ponto P na aresta AC, passa o plano α paralelo às arestas AB e CD. Dado que AP, o quadrilátero determinado pelas interseções de α com as arestas do tetraedro tem área igual a a) 1 b) 1 c) 0 d) 0 e) 0 4. (Pucsp 016) Dispõe-se de N tubos cilíndricos, todos iguais entre si, cada qual com diâmetro interno de 4 cm. Se esses tubos transportam a mesma quantidade de água que um único tubo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 1 cm e cujo comprimento é igual ao dobro do comprimento dos primeiros, então: a) N 1 b) 10 N 1 c) 6 N 10 d) N 6 Página 1 de 11

2 GEOMETRIA ESPACIAL (Afa 016) Considere a região E do plano cartesiano dada por y x 1 E y x 1 x 0 y 0 O volume do sólido gerado, se E efetuar uma rotação de 70 em torno do eixo Ox em unidades de volume, é igual a a) 6 π b) 6π c) 1 π d) 1 π 6. (Mackenzie 016) Em um triângulo retângulo, a medida do menor cateto é 6 cm. Rotacionando esse triângulo ao redor desse cateto, obtém-se um sólido de revolução, cujo volume é 18π cm. Nessas condições, a área total da superfície do sólido obtido na revolução, em a) 144π b) 10π c) 80π d) 7π e) 64π cm, é 7. (Ita 016) Uma esfera S, 1 de raio R 0, está inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, S, de raio r, com 0 r R, está contida no interior de K e é simultaneamente tangente à esfera S 1 e à superfície lateral de K. O volume de K é igual a a) b) c) d) e) R. r(r r) R. r(r r) R. r(r r) 4R. r(r r) R. r(r r) 8. (Fuvest 016) Dois aviões vão de Brasília a Moscou. O primeiro voa diretamente para o norte, até atingir o paralelo de Moscou, quando então muda o rumo para o leste, seguindo para o seu destino final. O segundo voa para o leste até atingir o meridiano de Moscou, tomando então o rumo norte até chegar a esta cidade. a) Desprezando as variações de altitude, qual avião terá percorrido a maior distância em relação ao solo? Justifique sua resposta. b) Página de 11

3 GEOMETRIA ESPACIAL b) Calcule a diferença entre as distâncias percorridas, supondo que a Terra seja esférica. Note e adote: cos 6 0,6; sen 6 0,8; cos 16 0,96; sen 16 0,8 Latitude e longitude de Brasília: 16 S e 48 W Latitude e longitude de Moscou: 6 N e 7 E Raio da Terra: km 9. (Aman 016) Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem medida R, contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é mergulhada nesse recipiente ficando totalmente submersa, sem haver transbordamento de água. Se a altura da água subiu 9 R, 16 da esfera mede então o raio a) R b) R 4 c) 4 R 9 d) 1 R e) 9 R (Usf 016) Um funil de vidro, em formato de tronco de cone e cilindro, de espessura desprezível, é utilizado para envasar frascos de remédios. Suas dimensões são indicadas na figura. Cada frasco a ser envasado possui a mesma capacidade deste funil. Sabe-se que L de xarope caseiro serão envasados. Determine o número mínimo de frascos necessários para o envase. Página de 11

4 GEOMETRIA ESPACIAL (Use π,14). 11. (Ita 016) Em um cone circular reto de altura 1 e raio da base 1 inscreve-se um tetraedro regular com uma de suas faces paralela à base do cone, e o vértice oposto coincidindo com o centro da base do cone. Determine o volume do tetraedro. 1. (Unesp 016) Um cubo com aresta de medida igual a x centímetros foi seccionado, dando origem ao prisma indicado na figura 1. A figura indica a vista superior desse prisma, sendo que AEB é um triângulo equilátero. Sabendo-se que o volume do prisma da figura 1 é igual a a) (4 )cm, x é igual a b) 7 c) d) e) 1. (Fac. Albert Einstein - Medicin 016) Sobre uma artéria média, sabe-se que o diâmetro externo de uma seção reta e a espessura da parede medem 0,04 dm e 1mm, respectivamente. Considerando que uma seção reta dessa artéria, obtida por dois cortes transversais distantes 1, cm um do outro, tem a forma de um cilindro circular reto, quantos mililitros de sangue ela deve comportar, em relação ao seu diâmetro interno? (Considere a aproximação: π ) a) 0,018 b) 0,04 c) 0,18 d) 0,4 Página 4 de 11

5 GEOMETRIA ESPACIAL Gabarito: Resposta da questão 1: a) Com os dados do enunciado pode-se escrever: S1 S S a a b a b Desenvolvendo esta equação, tem-se: a a b ab 0 a a ab b 0 a ab b 0 a ab b a a r r 1 0 b b b b b ( 1) 1 r (não convém, r 0) 1 r b) Sendo a soma das medidas de todas as arestas dos três sólidos igual a 60, pode-se escrever: 1a 8a 4b 8b 4a 60 4a 1b 60 a b A soma das áreas dos três sólidos pode ser escrita como: AT 6a a 4ab b 4ab 8a 8ab b 4a 4ab b AT a b Mas a b, logo: T A A 0 cm Resposta da questão : [E] T Sejam a, b e c as medidas das arestas do paralelepípedo. a b c k a k, b 4k e c k. 4 k 4k k 48 1k 48 k 4 Portanto, a 1 cm, b 16 cm e c 0 cm. Então, a área total será dada por: AT cm Resposta da questão : [A] Considere a figura. Página de 11

6 GEOMETRIA ESPACIAL Sejam Q, R e S, respectivamente, as interseções de α com as arestas BC, BD e AD. Desde que α é paralelo à aresta AB, temos SR e PQ paralelos a AB. Analogamente, concluímos que PS e QR são paralelos a CD. Ademais, sabendo que arestas opostas de um tetraedro regular são ortogonais, tem-se que o quadrilátero PQRS é um retângulo. Sendo ABCD regular, os triângulos APS e CQP são equiláteros, e, portanto, a área pedida é igual a 7 1m. Resposta da questão 4: [A] Considerando que o volume (V ) é N vezes o volume 1 (V 1), podemos escrever a seguinte equação: NV1 V N π h π 6 h N 18 Portanto, N 1. Resposta da questão : [C] Reescrevendo as duas primeiras inequações como equações, tem-se: y x y x 1 1 y x y x 1 y x 1 y 1 x Página 6 de 11

7 GEOMETRIA ESPACIAL Tendo estas duas equações de retas e sabendo que x 0 e y 0, pode-se construir o gráfico a seguir, que apresenta a região E (em rosa) indicada no enunciado: Rotacionando a área E (em rosa) em 60 em torno do eixo x teremos um cone oco de altura e raio, com uma concavidade também em formato de cone, de altura e raio igual a 1 (região indicada em azul). Assim, para se conseguir o volume somente do sólido gerado pela rotação da área rosa E, podemos calcular o volume total do cone de altura e raio (que chamaremos de V) e subtrair dele o volume do cone gerado pela rotação da área representada em azul (que chamaremos de V. Assim, o volume do sólido gerado pela rotação da área E (V E) será: VE V Vazul azul Sendo o volume de um cone de revolução dado pela fórmula 1 1 π 6π VE π π 1 1 9π VE 1 Vcone R h, π temos que: Porém, o solicitado no enunciado não é uma rotação de 60 em torno do eixo x, mas sim uma rotação de 70. Nesse caso, o volume final ' 6π 78π ' 1π VE VE V 4 E 4 1 ' V E será correspondente a V. 4 E Ou seja: Resposta da questão 6: [A] Calculando o volume do cone, temos: 1 R 6 18 R 64 R 8 π π Determinando a geratriz do cone, temos: g 6 8 g 10 Logo, sua área total será dada por: Página 7 de 11

8 GEOMETRIA ESPACIAL AT π Rg π R π 810 π 8 144πcm Resposta da questão 7: [B] Consideremos a secção meridiana do cone mostrada na figura abaixo:. Considerando que O é o centro da esfera inscrita no cone e C o centro da outra esfera tangente à superfície lateral do cone e à esfera inscrita neste cone. Considere também que o segmento CD é paralelo ao segmento EF. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo COD, temos: CD (R r) (R r) CD Rr Considerando que os triângulos ACE e COD são semelhantes, podemos escrever: x r r (R r) x R r R r R r Portanto, a altura h do triângulo será dada por: R h x R r R h R r Considerando, agora, que os triângulos COD e COD são semelhantes, escrevemos: R r R r R y R y Rr R r Portanto, o volume do cone será: 1 1 R R π R V π y h π R r R r r (R r) Resposta da questão 8: a) Com os dados do enunciado, pode-se desenhar a figura a seguir, sendo o ponto O o centro da Terra, o ponto B a localização de Brasília e o ponto M a localização de Moscou: Página 8 de 11

9 GEOMETRIA ESPACIAL Considerando a Terra como uma esfera, sabe-se que os arcos BA e CM são iguais e delimitados pelo raio R da terra e um ângulo de 7 (6 16 ). Assim, pode-se calcular a distância vertical percorrida por ambos os aviões: 7 R R BA CM π π 180 Para calcular a distância horizontal BC basta considerar um arco de circunferência delimitado pela distância de B até o eixo da terra e por um ângulo de 8 (48 7 ). Assim, pode-se escrever: distbeixo distbeixo cos16 0,96 distbeixo 0,96R R R 8π 0,96R 16,πR BC BC Para calcular a distância horizontal AM basta considerar um arco de circunferência delimitado pela distância de A até o eixo da terra e por um ângulo de 8 (48 7 ). Assim, pode-se escrever: distaeixo distaeixo cos6 0,6 distaeixo 0,6R R R 8π 0,6R 9,πR AM AM Por fim, pode-se calcular a distância percorrida por cada um dos aviões: πr 9,πR 119,6πR Avião 1 BA AM ,πR πr 1,6πR Avião BC CM Logo, conclui-se que o segundo avião percorreu a maior distância. b) A diferença das distâncias percorridas será igual a: 1,6πR 119,6πR 4πR 4π 6400 Avião Avião 1 108,9 π km Resposta da questão 9: [B] Página 9 de 11

10 GEOMETRIA ESPACIAL Considerando que x seja o raio da esfera e escrevendo que o volume da esfera é igual ao volume da água deslocada, pode-se escrever: 4 9R 7R π x πr x x R Resposta da questão 10: O volume do tronco de cone é dado por π 1 ( ) 17 cm π. O volume do cilindro é igual a π πcm. Logo, o volume do funil é 17π 10π 18π cm 71,cm 0,7 L. Portanto, o número de frascos necessários para envasar L é igual a o menor inteiro maior do que ou igual a x). 9 0,7 (x denota Resposta da questão 11: Admitindo que: a: aresta do tetraedro. a 6 h (altura do tetraedro ) Página 10 de 11

11 GEOMETRIA ESPACIAL a R (Raio da base do tetraedro regular) Os triângulos AO'B' e AOB são semelhantes, o que nos permite escrever que: 1 h R a 6 a 1 a 6 a a 6 a a Considerando que a 6, podemos calcular o volume V do tetraedro regular: a V 1 V V V V 1 V Portanto, V. 4 Resposta da questão 1: [A] Com os dados do enunciado, pode-se calcular: x Vprisma 4 x x 4 x x Vprisma 4 4 x 8 x 4 4 Resposta da questão 1: [B] O diâmetro externo da artéria mede 0,04 dm 0,4 cm. A espessura da parede da artéria mede 1mm 0,1cm. O diâmetro interno da artéria será igual a 0,4 0,1 0, cm, e o raio interno será igual a 0,1cm. O volume aproximado de sangue de uma seção reta dessa artéria com comprimento de 1, cm, em mililitros, será de: V π 0,1 1, 0,01 1, V 0,04 cm 0,04 m Página 11 de 11