Sólidos de Revolução

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1 Sólidos de Revolução 1. (Cefet MG 015) Na figura a seguir, ABCD é um retângulo inscrito em um setor circular de raio R com AB R. O volume do sólido de revolução gerado pela rotação desse retângulo em torno de um eixo que contenha o segmento AD, em função de R, é igual a a) b) 5πR. 8πR πR c). 7 10πR d). 49 e) 5 5π 54 R.. (Ifsc 015) A respeito de um cone com geratriz de 1,5m e raio da base de 0,9m, um aluno fez as seguintes afirmações: I. É um sólido de revolução proveniente de um triângulo retângulo cujo eixo de revolução é um cateto de 0,9m. II. O cone em questão pode ser inscrito num cilindro de raio da base com 0,9m e seção meridiana com 1,08m. III. O volume do cone é 0,4 π m. Página 1 de 17

2 Assim, dentre as alternativas abaixo, assinale a soma da(s) afirmações CORRETA(S). 01) A afirmação III é verdadeira. 0) A afirmação II é verdadeira. 04) Todas afirmações são verdadeiras. 08) Somente as afirmações I e II são verdadeiras. 16) Somente as afirmações II e III são verdadeiras. ) Somente as afirmações I e III são verdadeiras.. (Espcex (Aman) 015) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma esfera de raio 1 cm. O volume desse cone (em a) 1. π b). π c) 4. π d) 8. π e) π. cm ) é igual a 4. (Uemg 014) Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça cujo formato é um sólido de revolução obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno da base menor, como mostra a figura a seguir. As dimensões do trapézio são: base maior igual a 15 cm, base menor igual a 7 cm e altura do trapézio igual a cm. Considerando-se π, o volume, em litros, da peça fabricada corresponde a a) 0,1. b) 0,. c) 0,478. d) 0, (Ita 014) Três circunferências C 1, C e C são tangentes entre si, duas a duas, externamente. Os raios r 1, r e r destas circunferências constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão 1. A soma dos comprimentos de C 1, C e C é igual a 6π cm. Determine: a) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C 1, C e C. b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em torno da reta que contém o maior lado. Página de 17

3 6. (Ita 014) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma reta paralela à base BC que dista 0, 5 cm do vértice A e 0, 75 cm da base BC. Se o lado AB mede a) b) c) 7. 4 d) 9. 4 e) π 1 cm, o volume desse sólido, em cm, é igual a π 7. (Esc. Naval 014) A área da superfície de revolução gerada pela rotação do triângulo equilátero ABC em torno do eixo XY na figura abaixo, em unidade de área é a) 9π a b) 9 π a c) 9 π a d) 6 π a e) 6 π a 8. (Fgv 01) Um losango ABCD de lado 1 cm e medida do ângulo BAD igual a α é rotacionado por um eixo sobre AB, gerando um sólido de revolução denotado por S. Página de 17

4 a) Calcule o volume de S, em cm, quando α 0. π b) Considere α π. Seccionando S por um plano que contém ED e é perpendicular a AB, dividimos S em dois sólidos, S 1 e S. Sendo R a razão entre o maior volume dentre os dois sólidos e o menor, determine R em função de cos α. 9. (Ita 01) Em um plano estão situados uma circunferência ω de raio cm e um ponto P que dista cm do centro de ω. Considere os segmentos PA e PB tangentes a ω nos pontos A e B, respectivamente. Ao girar a região fechada delimitada pelos segmentos PA e PB e pelo arco menor AB em torno de um eixo passando pelo centro de ω e perpendicular ao segmento PA, obtém-se um sólido de revolução. Determine: a) A área total da superfície do sólido. b) O volume do sólido. 10. (Enem 011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais. Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide. b) semiesfera. c) cilindro. d) tronco de cone. e) cone. Página 4 de 17

5 TEXTO PARA AS PRÓXIMAS QUESTÕES: Os sólidos de revolução são gerados pela rotação completa de uma figura plana em torno de um eixo. Por exemplo, rotacionando um quadrado em torno de um eixo que passa por um de seus lados obtemos um cilindro circular reto, como mostra a figura. 11. (Insper 011) Um quadrado de lados medindo 1cm sofre uma rotação completa em torno de um eixo paralelo a um de seus lados. A distância desse eixo a um dos vértices do quadrado é xcm, como mostra a figura. O gráfico que melhor representa a área total S do sólido gerado por essa rotação, em em função de x, para x 0, é cm, a) b) c) d) e) Página 5 de 17

6 1. (Insper 011) Considere o sólido gerado pela rotação completa do triângulo acutângulo ABC, de área S, em torno de um eixo que passa pelo lado BC, que tem comprimento. O volume desse sólido é igual a 4πS a). πs b). c) 4 π S. d) π S. πs e). 1. (Enem ª aplicação 010) Numa feira de artesanato, uma pessoa constrói formas geométricas de aviões, bicicletas, carros e outros engenhos com arame inextensível. Em certo momento, ele construiu uma forma tendo como eixo de apoio outro arame retilíneo e rígido, cuja aparência é mostrada na Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete, que pode ser pensado como composição, por justaposição, de diversos sólidos básicos de revolução. Sabendo que, a figura, os pontos B, C, E e F são colineares, AB = 4FG, BC = FG, EF = FG, e utilizando-se daquela forma de pensar o foguete, a decomposição deste, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos: a) pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto. b) cilindro reto, tronco de cone, cilindro reto, cone equilátero. c) cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero. d) cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro. e) cone, cilindro equilátero, tronco de pirâmide, cilindro. 14. (Ita 008) Seja C uma circunferência de raio r e centro O e AB um diâmetro de C. Considere o triângulo equilátero BDE inscrito em C. Traça-se a reta s passando pelos pontos O e E até interceptar em F a reta t tangente à circunferência C no ponto A. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelo arco AE e pelos segmentos AF e EF em torno do diâmetro AB. Página 6 de 17

7 15. (Ufpr 007) Um sólido de revolução é um objeto obtido a partir da rotação de uma figura plana em torno de um dos eixos coordenados. Por exemplo, rotacionando-se um retângulo em torno do eixo y, pode-se obter um cilindro, como na figura 1. Considere agora a região R do primeiro quadrante do plano xy delimitada pelas retas r 1 : y = x, r : x = 0, r : x = 1 pela circunferência ã: x + (y - 4) = 1. a) Utilize os eixos cartesianos da figura para fazer um esboço da região R e do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y. b) Encontre o volume do sólido de revolução obtido no item anterior. 16. (Pucsp 004) O retângulo ABCD seguinte, representado num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, é tal que A = (; 8), B = (4; 8), C = (4; 0) e D = (; 0). Girando-se esse retângulo em torno do eixo das ordenadas, obtém-se um sólido de revolução cujo volume é a) 4ð b) π c) 6ð d) 48ð e) 96ð 17. (Ufsm 00) Um retângulo de lados x e y, com x > y, gira, primeiro, ao redor de um eixo que contém o lado x e, depois, ao redor de um eixo que contém o lado y. No primeiro caso, é gerado um sólido de revolução com área lateral S 1 e volume V 1. No segundo caso, o sólido gerado tem área lateral S e volume V. Ambos os sólidos assim gerados são de revolução, a área lateral S 1 é área lateral S, e o volume V 1 é volume V. Selecione a alternativa que completa corretamente as lacunas. a) cilindros - igual à - menor que o b) cones - menor que a - menor que o c) cilindros - menor que a - maior que o d) cones - igual à - maior que o e) cilindros - menor que a - igual ao 18. (Ufpr 1999) Considerando o cilindro de revolução obtido pela rotação do retângulo ABCD em torno do lado AB e sabendo que os lados AB e BC do retângulo medem 4 cm e cm, respectivamente, é correto afirmar: 01) A seção do cilindro por um plano que contém AB é um quadrado. 0) A seção do cilindro por um plano perpendicular a AB é um círculo. 04) Os planos que contêm as bases do cilindro são paralelos entre si. 08) A área total do cilindro é menor do que a área da superfície esférica de raio cm. 16) O volume do cilindro é o dobro do volume do cone de revolução obtido pela rotação do triângulo ABD em torno de AB. Página 7 de 17

8 19. (Unirio 1999) Seja um cilindro de revolução obtido da rotação de um quadrado, cujo lado está apoiado no eixo de rotação. Determine a medida deste lado (sem unidade), de modo que a área total do cilindro seja igual ao seu volume. 0. (Enem 1999) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras a seguir em torno da haste indicada obtém-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita. A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: a) 1A, B, C, 4D, 5E. b) 1B, C, D, 4E, 5A. c) 1B, D, E, 4A, 5C. d) 1D, E, A, 4B, 5C. e) 1D, E, B, 4C, 5A. 1. (Pucrj 1999) Ache o volume do sólido de revolução obtido rodando um triângulo retângulo de lados 1,1 e cm em torno da hipotenusa.. (Fatec 1997) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10 cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é a) 150 π b) 150 π c) 6,5 π d) 65 π e) 65 π Página 8 de 17

9 . (Unb 1997) Um cálice tem a forma de um cone reto de revolução, de altura igual a 100 mm e volume V 1. Esse cálice contém um líquido que ocupa um volume V, atingindo a altura de 5 V1 mm, conforme mostra a figura adiante. Calcule o valor do quociente V 4. (Ita 1997) A altura e o raio da base de um cone de revolução medem 1 cm e 5 cm respectivamente. Por um ponto do eixo do cone situado a d cm de distância do vértice, traçamos um plano paralelo à base, obtendo um tronco de cone. O volume deste tronco é a média geométrica entre os volumes do cone dado e do cone menor formado. Então d é igual a a) b) c) d) e) Página 9 de 17

10 5. (Ufmt 1996) A região sombreada na figura a seguir sofre uma rotação completa em torno do eixo y. Os pontos O = (0,0); A = (1,1); B = (0,); C = (1,); D = (0,) e E = (0,1). OAB é uma semicircunferência com centro em E, conforme mostra a figura a seguir. Sendo V a medida do volume do sólido de revolução gerado, calcule o valor de 6 5π.V. 6. (Ita 1995) O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro. Então, a área total do cilindro, em m, vale: a) π /4 b) 9 π ( + π)/4 c) π ( + π) d) π / e) π (π + 1)/ 7. (Cesgranrio 1991) Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte de baixo. Ao ser colocada para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima e, 5 minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo que em cada minuto a quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em quanto tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo? a) 5 minutos. b) 10 minutos. c) 15 minutos. d) 0 minutos. e) 0 minutos. Página 10 de 17

11 Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Desde que AC R, segue do triângulo retângulo ABC, pelo Teorema de Pitágoras, que AC AB BC R R BC 5 BC R. Portanto, o volume do cilindro gerado é dado por 5 4 5πR π R R. 7 Resposta da questão : 01. [I] Falsa, pois o cone é obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto de 1,m. [II] Falsa. A área da secção meridiana do cilindro é dada por 1, 1,8,16. [III] Verdadeira. 1 V.(0,9) 1, 0,4. π π Portanto, apenas a afirmação [01] está correta. Resposta da questão : [D] Considerando O o centro da esfera, temos: No triângulo AOD, temos: AD 1 AD 8cm Página 11 de 17

12 8 1 4 ΔADO ΔABC r cm 4 r 8 Portanto, o volume V do cone será dado por: π V πr h π 4 cm 8 Resposta da questão 4: [B] Volume da embalagem em cm : V Vcilindro Vcone 1 V π 15 π 4 15π 4π 111π cm 0,L Resposta da questão 5: a) De acordo com os dados do problema, temos: r1 9r, r r e r r e π 9r π r π r 6π r 1 cm b) O sólido de revolução é a união entre dois cones. Temos então um triângulo de lados 4cm, 10cm e 1cm com vértices nos centros das circunferências. Calculando a medida do raio da base dos cones, que também é a altura do triângulo considerado. 1 R 9 9 R cm Portanto, sua área será dada por: p 1 A 1 (1 4) (1 10) (1 1) A 9cm Portanto o volume do sólido será dado por: π 9 π 9 V (x y) 1 9πcm Página 1 de 17

13 Resposta da questão 6: [C] No triângulo AMC, temos: 1 π x x e h π π π Volume do cilindro: 1 9 VC π cm 4 π 16 Volume de cada tronco de cone: VT π cm π Portanto, o volume pedido será dado por: V V C V T cm Resposta da questão 7: [A] A área da superfície de revolução gerada pela rotação do triângulo equilátero ABC em torno do eixo XY é formada pela área lateral de dois troncos de cone (lados BC e AB) e pela área da base de uma coroa circular (lado AC). Portanto, sendo r igual ao raio e g igual a geratriz de cada superfície, pode-se escrever: a Lado BC rmaior a ; rmenor a ; g a a 5πa SBC π a a SBC a Lado AB rmaior a ; rmenor a ; g a a 7πa SAB π a a SAB Lado AC rmaior a ; rmenor a SAC π a a SAC πa 5πa 7πa Stotal πa Stotal 9πa Página 1 de 17

14 Resposta da questão 8: a) R 1 sen0 1 0,5 6cm O volume pedido é igual ao volume do cilindro da figura: V π6 1 4πcm. π b) Considerando α π não existe um plano que passa por DE que seja perpendicular ao segmento AB. Portanto não será possível resolver o item [B]. Resposta da questão 9: a) A área total será igual à soma das seguintes áreas. b) O volume será dado pelo volume do cilindro menos o volume do hemisfério. Volume do cilindro: V π.. 8πcm Volume do hemisfério: 16π V H π. cm Volume do sólido: 16π 8π V 8π cm Área da base do cilindro: A b π. 4. πcm Área lateral do cilindro: A L. π.. 8. πcm Área da parte da esfera, interna ao cilindro (metade da superfície esférica): A i. π. 8. πcm Logo, a área total será: A 4π 8π 8π 0 πcm Página 14 de 17

15 Resposta da questão 10: [E] A expressão superfície de revolução garante que a figura represente a superfície lateral de um cone. Resposta da questão 11: [E] Através da rotação do quadrado em torno do eixo, obtemos o seguinte sólido. Logo, a área total do sólido é S(x) (x 1) (x 1) 8x 4cm. Observando que a área total é dada por uma função afim, basta calcular S(0) e S(1) para deduzir que o gráfico que melhor representa a área total S do sólido é o da alternativa (E). A área da base do sólido é dada por [(x 1) x ] (x 1)cm. A soma das áreas laterais externa e interna é (x 1) 1x 1 (x 1)cm. Resposta da questão 1: [A] Uma rotação completa do triângulo ABC em torno da reta suporte do lado BC gera o sólido abaixo, constituído de dois cones. Como a área do triângulo do triângulo ABC é S, segue que r S (ABC) S r. Portanto, o volume pedido é dado por r x r ( x) r (x x) 1 r 1 S 4S. Página 15 de 17

16 Resposta da questão 1: [C] Girando a forma em torno do arame rígido, obtemos a figura abaixo. Portanto, a decomposição do foguete, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos: cone reto (AB 4FG BB' FG), cilindro reto (BC FG FG), tronco de cone e cilindro equilátero (EF FG). Resposta da questão 14: (πr )/ Resposta da questão 15: a) b) 8 π u.v. Página 16 de 17

17 Resposta da questão 16: [E] Resposta da questão 17: [A] Resposta da questão 18: = 07 Resposta da questão 19: 4 Resposta da questão 0: [D] A alternativa D é a correta. Observe as figuras a seguir: Resposta da questão 1: π/ cm Resposta da questão : [E] Resposta da questão : 64 Resposta da questão 4: [B] Resposta da questão 5: 6π =,6 5 Resposta da questão 6: [B] Resposta da questão 7: [A] Página 17 de 17