COLÉGIO MILITAR DO RIO E JANEIRO. Equipe: Prof. Cap Boente, Prof Magda, Prof Zamboti e Prof Fernando 3º TRIMESTRE DE 2016

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1 COLÉGIO MILITR DO RIO E JNEIRO LIST 3 DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTRES GEOMETRI ESPCIL º NO DO ENSINO MÉDIO Equipe: Prof. Cap Boente, Prof Magda, Prof Zamboti e Prof Fernando 3º TRIMESTRE DE 016 CILINDRO Sejam e dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O contido em. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a. reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cilindro circular limitado de bases C e C ou simplesmente cilindro circular. Obs.: Há ouros tipos de cilindro (por exemplo, o cilindro de base elípticas), porém trataremos neste curso apenas dos cilindros circulares; por comodidade, às vezes omitiremos a palavra circulares, chamandoos simplesmente de cilindro. Elementos de um Cilindro Circular Os círculos C e C de centros O e O, respectivamente, são chamados de bases do cilindro. reta OO ' é chamada de eixo do cilindro distância entre as bases é chamada de altura do cilindro. Todo segmento de reta paralelo ao eixo OO ' que tem extremidades pertencentes às circunferências das bases é chamado de geratriz do cilindro. Chama-se área lateral l do cilindro a área da superfície obtida pela reunião de todas as geratrizes. Chamas-se área total t do cilindro a soma da área lateral com as áreas das bases. 1

2 Cilindro Circular Reto Cilindro Circular Reto é todo cilindro circular cujas geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Em todo cilindro circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do cilindro. O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução (rotação) de de uma região retangular em trono de um eixo que contém um de seus lados. Obs.: Cilindro Circular Oblíquo é todo aquele que não é reto. Secção Meridiana de um Cilindro Circular intersecção de um cilindro circular com um plano que passa pelos centros de suas bases é chamada de secção meridiana do cilindro. Qualquer secção meridiana de um cilindro circular reto é uma região retangular. Cilindro Eqüilátero Todo cilindro circular reto cujas secções meridianas são quadradas é chamado de cilindro eqüilátero.

3 No cilindro eqüilátero a altura é igual ao diâmetro da base. h r - Área Lateral e Área Total de um Cilindro Circular Reto superfície de um cilindro circular reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados r e h, com dois círculos de raio r. Para entender essa afirmação, retire as bases de um cilindro, corte sua superfície lateral sobre uma geratriz e, por fim, planifique (coloque sobre um plano) as três regiões obtidas. área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral área total l r h t do cilindro é igual à soma da área lateral r ( h r ) t l do cilindro, ou seja: l com as áreas das duas bases, ou seja: 3- Volume do Cilindro Circular O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, r, pela altura h, isto é: V r h 4- Tronco de Cilindro Reto com uma Base Circular Um plano que intercepta obliquamente todas as geratrizes de um cilindro circular reto separa-o em dois sólidos chamados de troncos de cilindro com uma base circular. 3

4 Volume de um tronco de cilindro reto com uma base circular Consideremos um ronco de cilindro circular reto que possui uma base circular S de raio r, a geratriz maior medindo G e a menor medindo g. Prolongando suas geratrizes de modo a formar um cilindro circular reto de bases S e S, e altura G + g, temos: Esse cilindro é composto por dois troncos congruentes, possuindo, cada um, uma base circular de raio r, a geratriz maior medindo G e a menor medindo g. ssim, cada um desses troncos possui V igual à metade do volume V c do cilindro, r V ( G g ) V V c, ou seja: Note, portanto, que esse tronco é equivalente (tem o mesmo volume) a um cilindro circular reto de raio da G g base r, cujas altura é a média aritmética entre as medidas das geratrizes maior e menor do tronco,. EXERCÍCIOS 01) Calcular a área lateral l e a área total t de um cilindro eqüilátero de raio da base 5 cm. 4

5 0) Calcule o volume de um cilindro circular de altura 10 cm e raio da base 3 cm. 03) Um copo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 6 cm e cuja altura interna mede 10 cm, contém um certo volume de água. Inclinando o máximo possível esse copo, sem derramar a água, obtemos a medida descrita na figura abaixo. Qual é volume da água contida no copo? 04) Calcule a área lateral e a área total de um cilindro circular reto e altura 10 m e raio de base 3 m. 05) (UFPE) Um contêiner, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a 3 m e área total (área da superfície lateral mais área da base e da tampa) igual a 0 m. Calcule, em metros, o raio da base desse contêiner. 06) área lateral de um cilindro circular reto é igual à metade da área total. Calcule a altura desse cilindro, sabendo que o raio da base mede 5 cm. 07) Um cilindro equilátero tem altura 0 cm. Calcule a área lateral e a área total desse cilindro. 08) Calcule o volume de um cilindro circular de altura 8 dm e raio da base dm. 09) Calcule o volume de um cilindro eqüilátero cujo raio da base mede 4 cm. 3 10) (U.F. Ouro Preto-MG) Um cilindro eqüilátero tem volume V 16 cm, sua altura é: a) cm b) 3 16 cm c) 3 16 cm d) 4 cm e) 3 cm 11) Um produto é embalado em recipiente com formato de cilindros retos. O cilindro tem altura 0 cm e raio da base 5 cm. O cilindro B tem altura 10 cm e raio da base 10 cm. a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos material? b) O produto embalado no cilindro é vendido a R$ 4,00 a unidade, e o do cilindro B, a R$ 7,00 a unidade. Para o consumidor, qual a embalagem mais vantajosa? 1) Dois recipientes cilíndricos têm altura de 40 cm e raio da base medindo 10 cm e 5 cm. O maior deles contém água até 5 1 da sua capacidade. Essa água é despejada no recipiente menor, alcançando a altura h, de: a) 3 cm b) 4 cm c) 16 cm d) 1 cm e) 10 cm 13) Um lápis com a forma de um cilindro circular reto tem 8 mm de diâmetro e 16 cm de comprimento. O grafite, com a mesma forma cilíndrica, tem 3 mm de diâmetro, conforme mostra a figura abaixo. 5

6 O volume de madeira usada na fabricação do lápis é, em centímetros cúbicos, igual a: a) 1, b) c),5 d), e) 3, ) Um recipiente com a forma de um cilindro reto, cujo diâmetro da base mede 40 cm e altura cm, armazena um certo líquido, que ocupa 40% de sua capacidade. O volume do líquido contido nesse recipiente é, em litros, aproximadamente, igual a: a) 16 b) 18 c) 0 d) 30 e) 40 15) Calcule o volume de um tronco de cilindro reto cuja base circular tem raio de 3 cm, a geratriz menor mede 4 cm e a maior mede 6 cm. 6