4 FUSO ESFÉRICO 1 ELEMENTOS DA ESFERA A TERRA COMO UMA ESFERA 5 CUNHA ESFÉRICA 3 ÁREAS E VOLUME DA ESFERA. 3.1 Área da superfície esférica. 3.

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1 Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL X 1 ELEMENTOS DA ESFERA Seja um ponto e um segmento de medida. A esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto são menores ou iguais a. Dizemos que é o centro e é o raio da esfera. 4 FUSO ESFÉRICO O fuso esférico é uma parte da superfície esférica, com um ângulo central. Figura 1 esfera Observação: O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto são extamente iguais a (a casca da esfera ) é a superfície esférica. Figura 3 fuso esférico Note que quando, o fuso esférico é a própria superfície esférica. Como a área do fuso é diretamente proporcional ao ângulo central, pode-se aplicar uma regra de três simples: A TERRA COMO UMA ESFERA 5 CUNHA ESFÉRICA A cunha esférica é uma parte da esfera, com um ângulo central. Figura 2 A Terra como uma esfera O planeta Terra pode ser visualizado como uma esfera. O Equador é a circunferência de comprimento máximo (cujo centro é o centro da esfera), o paralelo é uma circunferência paralela ao Equador, e o meridiano é uma circunferência que passa pelos dois pólos 3 ÁREAS E VOLUME DA ESFERA 3.1 Área da superfície esférica Figura 4 cunha esférica Note que quando, a cunha esférica é a própria esfera. Como o volume da f é diretamente proporcional ao ângulo central, pode-se aplicar uma regra de três simples: A área da superfície esférica é 3.2 Volume O volume da esfera é 1 Geometria CASD Vestibulares

2 6 SECÇÂO DA ESFERA Cortando uma esfera com um plano, a secção obtida é uma circunferência. Observe a figura abaixo: Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (ENEM - 12) O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte. Figura 5 secção de uma esfera Sejam o raio da esfera, o raio da circunferência formada e a distância entre o centro da esfera e o plano de corte, conforme a figura abaixo: Figura 6 triângulo retângulo formado por,, Note que é formado um triângulo retângulo de catetos, e hipotenusa. Usando o Teorema de Pitágoras, tem-se: 7 SEGMENTO ESFÉRICO E CALOTA ESFÉRICA Cortando uma esfera com um plano, podemos dividí-la em duas partes. A esfera (sólido com volume) é dividida em dois segmentos esféricos e a superfície esférica (superfície com área) é dividia em duas calotas esféricas. Seja a altura do segmento (ou da calota). Na Figura 2, o ponto está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o segmento passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos e. Disponível em: Acesso em: 29 fev A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada por a) b) Figura 7 segmento esférico e calota esférica O volume A área do segmento esférico é da calota esférica é c) d) e) CASD Vestibulares Geometria 2

3 2. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os diâmetros delas seriam: 4. (ENEM CANCELADO - 09) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede e cuja altura mede. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera. Volume da esfera: Analisando as características das figuras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio da esfera assim construída é igual a a) b) c) d) e) A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta é 3. (UFRGS - 10) Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto com duas semiesferas acopladas em suas extremidades, conforme representado na figura a seguir. 5. (UNESP - 12) Diferentes tipos de nanomateriais são descobertos a cada dia, viabilizando produtos mais eficientes, leves, adequados e, principalmente, de baixo custo. São considerados nanomateriais aqueles cujas dimensões variam entre e nanômetros, sendo que equivale a, ou seja, um bilionésimo de metro. Uma das características dos nanomateriais refere-se à relação entre seu volume e sua área superficial total. Por exemplo, em uma esfera maciça de de raio, a área superficial e o volume valem e respectivamente. O conjunto de nanoesferas de de raio, que possui o mesmo volume da esfera dada, tem a soma de suas áreas superficiais a) vezes maior que a da esfera. b) vezes maior que a da esfera. c) vezes maior que a da esfera. d) vezes maior que a da esfera. e) vezes maior que a da esfera. 6. (UFF - 11) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol deve passar por vários testes. Um deles visa garantir a esfericidade da bola: o seu diâmetro é medido em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a variação de cada uma das dezesseis medidas do diâmetro da bola com relação à média deve ser no máximo. Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do Mundo de 2010, não ultrapassaram. O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada um,, e o volume de uma esfera de raio é Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da capacidade do reservatório, em litros, é Se o diâmetro de uma bola tem aumento de o seu volume aumenta. Dessa forma, é correto afirmar que, então a) ) b) ) c) d) ) e) ) 3 Geometria CASD Vestibulares

4 Nível II 7. (ENEM - 10) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual. 10. (UNESP - 06) Com um recipiente de vidro fino transparente na forma de um paralelepípedo retoretângulo, que tem como base um quadrado cujo lado mede e a aresta da face lateral mede, Márcia montou um enfeite de natal. Para tanto, colocou no interior desse recipiente bolas coloridas maciças de de diâmetro cada e completou todos os espaços vazios com um líquido colorido transparente. Desprezando-se a espessura do vidro e usando (para facilitar os cálculos) a aproximação, a) dê, em, a área lateral do recipiente e a área da superfície de cada bola. b) dê, em, o volume do recipiente, o volume de cada esfera e o volume do líquido dentro do recipiente. Considere: Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de 11. (UFPR - 12) Num laboratório há dois tipos de recipientes, conforme a figura abaixo. O primeiro, chamado de tubo de ensaio, possui internamente o formato de um cilindro circular reto e fundo semiesférico. O segundo, chamado de cone de Imhoff, possui internamente o formato de um cone circular reto. 8. (FUVEST - 09) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio ; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio e altura ; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio e altura. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão é igual a: a) b) c) d) e) 9. (UFRGS - 06) Duas esferas de raio foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura, raio da base e espessura desprezível, como na figura a seguir. a) Sabendo que o volume de um cone de Imhoff, com raio da base igual a, é de, calcule a altura desse cone. b) Calcule o volume (em mililitros) do tubo de ensaio com raio da base medindo e que possui a mesma altura do cone de Imhoff. Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas é CASD Vestibulares Geometria 4

5 12. (UNESP - 13) Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo maciço e homogêneo de madeira com de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces horizontais. De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de de raio, de modo que seus centros ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face de corte, conforme mostra a sequência de figuras. 14. (UNICAMP - 09) Em uma bandeja retangular, uma pessoa dispôs brigadeiros formando colunas, cada qual com brigadeiros, como mostra a figura. Os brigadeiros foram divididos em dois grupos. Os que estavam mais próximos das bordas da bandeja foram postos em forminhas azuis, enquanto os brigadeiros do interior da bandeja foram postos em forminhas vermelhas. Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta-joias era de e admitindo, a massa aproximada do porta-joias, em gramas, é 13. (UERJ - 09) Observe o dado ilustrado a seguir, formado a partir de um cubo, com suas seis faces numeradas de 1 a 6. a) Sabendo que e que a pessoa gastou o mesmo número de forminhas vermelhas e azuis, determine o número de brigadeiros da bandeja. b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro já pronta, em latas de litro, e se cada brigadeiro, antes de receber o chocolate granulado que o cobre, tem o formato de uma esfera de de diâmetro, quantas latas ela tem que comprar para produzir brigadeiros? (Dica: lembre-se de que litro corresponde a.) 15. (ESPCEX (AMAN) - 14) Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio, composta de gomos exatamente Iguais. A superfície total de cada gomo mede: a) b) c) d) e) Esses números são representados por buracos deixados por semiesferas idênticas retiradas de cada uma das faces. Todo o material retirado equivale a do volume total do cubo. Considerando, a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio de uma das semiesferas, expressas na mesma unidade, é igual a: a) b) c) d) 5 Geometria CASD Vestibulares

6 16. (UERJ - 13) Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão unidas. 18. (FUVEST - 11) A esfera, de centro e raio, é tangente ao plano. O plano é paralelo a e contém. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de com e, como vértice, um ponto em, é igual a a) b) c) Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema: Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio, unidas de tal modo que a distância entre seus centros e é igual ao raio. A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida: a) b) c) d) 17. (FUVEST - 14) d) e) 19. (ITA - 07) Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume, encontram-se nos vértices de um cubo. Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas. 20. (UNICAMP - 10) Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura a seguir. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica. Sabe-se que uma calota esférica tem volume, em que é a altura da calota e é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por. Atenção: não use um valor aproximado para. Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A linha inclinada (tracejada na foto), cuja projeção ao chão pelos raios solares indica a hora, é paralela ao eixo de rotação da Terra. Sendo e respectivamente, a latitude e a longitude do local, medidas em graus, pode-se afirmar, corretamente, que a medida em graus do ângulo que essa linha faz com o plano horizontal é igual a Nota: Entende-se por plano horizontal, em um ponto da superfície terrestre, o plano perpendicular à reta que passa por esse ponto e pelo centro da Terra. a) Supondo que, determine o volume do anel de madeira, em função de. b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que, determine a área sobre a qual o verniz será aplicado. CASD Vestibulares Geometria 6

7 DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. A figura do problema é a seguinte: 4. Sejam, e o raio da base, a altura e o volume do cilindro, e e o raio e o volume da esfera. Então e. Além disso, o cilindro e a esfera têm o mesmo volume. Logo: O plano que contém o trajeto do motociclista é perpendicular ao plano do chão, portanto a projeção ortogonal do trajeto do motociclista no plano do chão é um segmento de reta. 2. Os raios das esferas que correspondem à água doce superficial à água doce do planeta são e, respectivamente. A razão entre os volumes das esferas é: 3. Sejam o raio da base do cilindro (que é igual ao raio das semiesferas) e a altura do cilindro. Então e. O volume do reservatório é igual ao volume do cilindro mais o volume das duas semiesferas: 5. Sejam, e o raio, a área superficial e o volume de uma esfera de raio e, e o raio, a área superficial e o volume de uma esfera de raio. Como, logo Logo, são necessárias nanoesferas para obter o mesmo volume da esfera de de raio dada Logo, a soma das áreas superficiais das nanoesferas é 6. Sejam,, e o raio inicial, raio final, volume inicial e o volume final da bola. Como o diâmetro tem aumento de, o raio também tem aumento de. Assim,. Logo: Lembre-se que e que Como um aumento de corresponde a aumento de para o volume, o aumento de corresponde a aumento de para o volume. Assim, tem-se que 7 Geometria CASD Vestibulares

8 7. Sejam o raio da base do cone (que é igual ao raio do hemisfério) e a altura do cone. Como as duas taças têm o mesmo volume de champanhe: 10. a) Sejam,,, e, o lado da base, a altura, a área da base, a área lateral, o volume do paralelepípedo e, e o raio, a área da superfície e o volume de cada esfera e o volume do líquido. Então, e O recepiente possui faces laterais, onde cada uma é um retângulo de lados e. Logo 8. Sejam, e os volumes das taças no formato de uma semiesfera, um cone e um cilindro, respectivamente. Como a semiesfera tem raio : b) ; Como o cone tem raio da base e altura : Como há bolas no interior do recepiente, tem-se: O cilindro tem raio da base e altura 11. a) Sejam o raio da base, a altura e o volume do cone de Imhoff. Então e. Como,. Logo: b) Sejam, e o raio da base, a altura e o volume do cilindro do tubo de ensaio, o raio e o volume da semiesfera e o volume do tubo de ensaio. Então 9. Sejam,, e a altura do cilindro, o volume do cilindro, o volume ocupado pelas esferas e o volume não ocupado pelas esferas, respectivamente. Então. Logo: A razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas é: CASD Vestibulares Geometria 8

9 12. Sejam, a aresta e o volume do cubo,, o raio e o volume da esfera e, e o volume e a massa do porta-jóias. Então e b) Sejam, o raio e o volume de uma esfera. Como o diãmetro é, O volume para produzir brigadeiros é Como a densidade da madeira é : 13. Sejam, a aresta e o volume do cubo e, o raio e o volume de uma semiesfera. Ao todo, foram retiradas semiesferas do cubo. Então Lembre-se que como, o volume total é. Além disso, deve ser comprado um número inteiro de latas. 15. A figura do problema é a seguinte: 14. a) Como há colunas com brigadeiros cada, ao todo há brigadeiros. Além disso, no interior da bandeja, há colunas com brigadeiros cada, então há forminhas vermelhas. Como o número de forminhas vermelhas é igual ao de azuis, o total de brigadeiros é o dobro do número de forminhas vermelhas. Assim, tem-se: Além disso, como, tem-se: Note que a superfície total de cada gomo é a soma da área de um fuso esférico com as áreas de dois semicírculos. Sejam,, o raio e a área da superfície total da esfera e e a área do fuso esférico e a área de um semicírculo. Então Como a esfera é composta por gomos, o ângulo central de cada gomo é. Aplicando uma regra de três simples: é um número inteiro, logo. A superfície total de cada gomo é: O número de brigadeiros da bandeja é 9 Geometria CASD Vestibulares

10 16. A figura do problema é a seguinte: 18. A figura do problema é a seguinte: Como a distância entre os centros e é, a distância entre cada centro e o plano de corte é. No triângulo retângulo : A parede de contato entre as duas bolhas é o círculo de centro e raio, cuja área é: A interseção da esfera com o plano é o círculo destacado à esquerda. Como o plano contém, o círculo tem centro e raio. Seja o lado do hexágono regular inscrito no círculo. Então. Logo, a área da base da pirâmide é a área do hexágono regular de lado. Então Note que a altura da pirâmide vale. Então o volume da pirâmide é: ( ) 17. A figura do problema é a seguinte: 19. A figura do problema (sem as esferas) é a seguinte: O tetraedro é formado pelos vértices,,,. Seja a aresta do cubo. Usando Pitágoras no triângulo retângulo, tem-se que. Então, a aresta do tetraedro é. Como o volume do tetraedro é, tem-se: Sejam o centro da Terra, a latitude do ponto e a linha inclinada do relógio solar (que deve ser paralela ao eixo de rotação da Terra). Como,, e, como, A reta contida no plano horizontal é a reta. Assim, o ângulo que a linha inclinada faz com o plano horizontal é o ângulo entre e, que é. Note que e são ângulos alternos internos, logo ( ) Note que em torno de cada um dos vértices tem de esfera. Sejam, e os volumes do cubo, de cada esfera e da parte do cubo exterior às esferas. CASD Vestibulares Geometria 10

11 20. a) A figura do problema é a seguinte: GABARITO 1. E 2. A 3. D 4. D 5. D 6. D Sejam, o raio e a altura do cilindro, e a altura de cada uma das duas calotas. Então e. Usando Pitágoras No triângulo : 7. B 8. E 9. D 10. a) A área lateral do recepiente é e a área da superfície de cada bola é Sejam,, e os volumes do anel, da esfera, do cilindro e de cada uma das calotas. Logo: b) O volume do recepiente é, o volume de cada esfera é e o volume do líquido dentro do recepiente é 11. a) A altura desse cone é ( ) b) O volume do tubo de ensaio é 12. D 13. D 14. a) há brigadeiros na bandeja b) A pessoa deve comprar latas 15. A 16. C 17. B 18. E b) Sejam,, e as áreas do verniz, da esfera, do cilindro (lateral) e de cada uma das calotas. Logo, a área externa do anel é e a área interna do anel é. 19. O volume da parte do cubo exterior às esferas é 20. a) O volume do anel de madeira é b) A área sobre a qual o verniz será aplicado é ( ) 11 Geometria CASD Vestibulares