OS PRISMAS. 1) Definição e Elementos :

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1 1 OS PRISMAS 1) Definição e Elementos : Dados dois planos paralelos α e β, um polígono contido em um desses planos e um reta r, que intercepta esses planos, chamamos de PRISMA o conjunto de todos os segmentos retos com uma extremidade no polígono, outra extremidade no plano que não contém o polígono e todos paralelos à reta r. Os elementos principais dos prismas são apresentados na figura abaixo : ) Áreas dos Prismas : a) Área da base (A b ) : é a área do polígono que constitui suas bases. b) Áreas lateral (A L ) : é a soma das áreas das faces laterais (paralelogramos) c) Área Total (A T ) : é a soma das áreas das bases com a área lateral : A T = A L +.A b

2 3) Volume dos Prismas : Imaginemos uma pilha de polígonos congruentes ; é um Prisma. Como cada polígono, sendo plano, só ocupa o espaço correspondente à sua área, o espaço ocupado por toda a pilha será a soma das áreas desses polígonos, ou seja, a área de um deles vezes a quantidade deles, representada, intuitivamente, pela altura da pilha. Então, de modo intuitivo, podemos concluir que o volume de um prisma é o produto da área de sua base por sua altura. Em linguagem matemática, teremos V prisma = A b. h 3) Prismas Especiais : O Paralelepípedo e o Cubo O Paralelepípedo é o prisma cujas faces são paralelogramos. O Paralelepípedo retângulo é aquele cujas faces retangulares. O Cubo é o paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes. Paralelepípedo retângulo Cubo As diagonais do Paralelepípedo retângulo e do Cubo, de acordo com as figuras acima, são dadas, respectivamente, por D = a + b + c AG = a 3 e

3 3 4) Outros exemplos de Prismas : 1) Definição e elementos : OS CILINDROS CIRCULARES Considere dois círculos contidos em planos paralelos e seja e a reta que passa pelos seus centros. Chama-se cilindro circular a união de todos os segmentos, paralelos a e, cujas extremidades pertencem, cada uma a um dos círculos considerados. Os principais elementos do cilindro circular são mostrados na figura a seguir.

4 4 Bases : São os dois círculos considerados na definição. Eixo : É a reta e, que passa pelos centros das bases. Geratriz : É todo segmento reto, paralelo ao eixo cujas extremidades são pontos das circunferências das bases. Altura : É a distância entre os planos que contém as bases. ) Áreas dos cilindro : a) Área da base (A b ) : É a área do círculo que constitui as bases. Se o raio da base é r, tem-se A b = πr b) Área lateral (A L ) : Abrindo-se (planificando-se) a lateral de um cilindro, obtém-se o retân gulo da figura abaixo : Então, a área lateral do cilindro será a área do retângulo, ou seja A L = πrh c) Área Total (A T ) : É a soma das áreas as bases com a área lateral, ou seja, A T = πr (H + r)

5 5 3) Volume do cilindro : De maneira análoga à dos prismas, o volume do cilindro pode ser intuitivamente compreendido, imaginando-se uma pilha de círculos. Como o espaço ocupado por cada círculo é apenas a sua área, temos, para volume da pilha (cilindro) V = πr H 4) Tipos de cilindro : 5) Secção Meridiana do cilindro : A interseção de um cilindro com qualquer plano que contenha seu eixo é um paralelogramo, se o cilindro é oblíquo e será, especialmente, um retângulo, se o cilindro é reto ; essa interseção é chamada de secção meridiana do cilindro. 6) Caso especial : O cilindro eqüilátero Um cilindro reto é eqüilátero quando o diâmetro de sua base tem a mesma medida de sua geratriz; neste caso, sua secção meridiana é um quadrado,conforme figura a seguir.

6 6 AS PIRÂMIDES 1) Definição e Elementos : Dados um polígono contido num plano α e um ponto P fora desse plano, chama-se pirâmide a união de todos os segmentos retos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. ) Elementos da Pirâmide : Conforme a figura abaixo, tem-se Vértice : É o ponto P. Base : È o polígono ABCDEF. Altura : É a distância de P ao plano da base. Arestas da base : São os lados da base. Arestas laterais : São os segmentos que unem P ao vértices A,B,C, D, E e F da base. Faces laterais : São os triângulos PAB, PBC, PCD, PDE, PEF e PFA.

7 7 3) Pirâmide regular e seus elementos : Uma pirâmide é regular quando é reta e sua base é um polígono regular. Os elementos notáveis de uma pirâmide regular são mostrados na figura abaixo. Apótema da base : É a distância do centro da base ao ponto médio de uma aresta da base. Na figura, é o segmento de medida m. Apótema da pirâmide : È a distância do vértice ao ponto médio de uma aresta da base. Na figura, é o segmento de medida m. Em qualquer pirâmide regular tem-se m = m + h (Teorema de Pitágoras) 4) Observações sobre a pirâmide regular : a) Se uma pirâmide é regular, então, suas faces laterais são triângulos isósceles, já que suas arestas laterais são congruentes. Então, seu apótema é a altura de sua face lateral. b) Se uma pirâmide regular tem base quadrada, então o apótema de sua base mede a metade da aresta de sua base. Q (QP) = (OP) + (OQ) OP = AB O P A B c) Se uma pirâmide regular tem base triangular, então seu apótema da base mede um terço da altura da base. Q Se AB =BC = CA = a e AP é altura do triângulo ABC, então A O P B 1 o a 3 ) AP = o ) = 1 a 3 OP ( AP ) = o ) (QP) = (OP) + (QO)

8 8 C d) Se uma pirâmide regular tem base hexagonal, então, seu apótema é equivalente à altura de um triângulo eqüilátero de mesmo lado que o referido hexágono. Q 1 o a 3 ) OP = o ) (QP) = (OP) + (OQ) a O a P a 5) Áreas das Pirâmides regulares : a) Área da base (A b ): É a área do polígono que constitui a base. Exemplos : a) Se a base é quadrada de aresta a, então A b = a ; a 3 b) Se a base é triangular de aresta a, então A b = ; 4 3a 3 c) Se a base é hexagonal de aresta a,então A b =. b) Área lateral (A L ) : É a soma das áreas dos triângulos isósceles congruentes que compõem a lateral da pirâmide. Como a altura desses triângulos é o apótema m da pirâmide e suas bases são as arestas a da base da pirâmide, tem-se A L = n. m.a onde n é o número de arestas da base da pirâmide. c) Área Total (A T ) : É a soma da área da base com a área lateral, ou seja, A T = A b + A L 6) Volume das Pirâmides : É equivalente à terça parte do volume de um prisma de mesma aresta da base e de mesma altura da pirâmide, ou seja, V = 1 A b. h 3

9 9 onde A b é a área da base da pirâmide e h é a sua altura. 7) Caso especial : O Tetraedro regular : O Tetraedro regular é uma pirâmide com quatro faces triangulares, regulares e congruentes entre si. a V a 1 o ) A área total do Tetraedro regular é a soma das áreas dos triângulos equiláteros que compõem as faces, ou seja, A a C a B a 3 A T = 4 = a 3 4 o ) O volume do Tetraedro regular é dado por 3 a V = 1 OS CONES CIRCULARES 1) Definição e Elementos : Dado um plano α, um círculo nele contido e um ponto P fora desse plano, chama-se Cone circular a união de todos os segmentos retos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do círculo. Os principais elementos do cone são mostrados na figura seguinte :

10 10 Vértice : É o ponto P da figura. Base : É o círculo indicado na figura. Eixo : É a reta que passa no vértice e no centro da base. Geratriz : É qualquer segmento reto que tem uma extremidade no vértice e outra em qualquer ponto da circunferência da base. Altura : É a distância do vértice ao plano que contém a base. ) Cone reto e cone oblíquo : 3) Secção meridiana de um cone circular : A interseção de um cone com um plano que passa pelo seu vértice e pelo centro de sua base é um triângulo chamado de secção meridiana do cone. 4) Cone eqüilátero : É todo cone cuja secção meridiana é um triângulo equilátero. Neste caso, tem-se consequen- Temente que sua geratriz é o dobro do raio de sua base.

11 11 5) Cone de revolução : Todo cone reto é também conhecido como cone de revolução, pela possibilidade de ser gerado através de uma rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. 6) Áreas do cone circular reto : a) Área da base (A b ) : É a área do círculo da base. Se r é o raio da base, tem-se A b = πr b) Área lateral (A L ) : A lateral de um cone reto planificada é um setor circular como mostra a figura abaixo.

12 1 A área de um setor circular (fatia do círculo) é calculada por regra de três : π rad ou 360 o...πg θ rad... A L θ g de onde sai A L =. Mas sabe-se que a medida de um ângulo central de um setor é igual ao comprimento do arco determinado di- π r vidido pelo raio do setor. Então, θ = e g A L = πrg c) Área total (A T ) : É a soma da área da base com a área lateral, ou seja A T = πr(r + g) 7) Volume dos cones : De modo análogo à relação entre o volume da pirâmide e o de um prisma de mesma base e altura, podemos deduzir o volume de um cone em analogia com o volume do cilindro de mesma base e mesma altura ; neste caso, o volume do cone será a terça parte do volume do cilindro, ou seja, 1 V = π r 3 h 1) Definição : A ESFERA Dados um ponto O e uma distância R, chama-se esfera o conjunto de todos os pontos cuja distância ao ponto O são menores ou iguais a R.

13 13 Uma esfera também pode ser gerada pela rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro, como ilustra a figura seguinte. ) Área da Superfície esférica e volume da esfera : Dada uma esfera de raio R, conforme a figura abaixo, temos para área S de sua superfície e para volume V, respectivamente, as expressões S = 4πR V = 3 4 πr 3 3) Área de uma secção da esfera por um plano : Se um plano α intercepta uma esfera de raio R, essa interseção será um círculo de raio r e terá

14 14 uma distância d até o centro da esfera. Então, de acordo com a figura a seguir, a área dessa secção será dada por A = πr Mas, pelo Teorema de Pitágoras, tem-se R = d + r, de onde r = R d secção será A = π(r d ) e, então, a área da 4) Fuso esférico e Cunha esférica : Um fuso esférico é a interseção da superfície esférica com dois planos que se interceptam segundo um diâmetro da esfera. A área do fuso pode ser calculada por uma regra de três : 360 o πR α A fuso α π R de onde sai A fuso = 90 Uma cunha esférica é a interseção da esfera com dois planos que se interceptam segundo um diâmetro da esfera. O volume da cunha esférica pode ser calculado por uma regra de três simples : 360 o πr 3 de onde sai α V cunha V cunha = απr 70 3 TRONCOS 1) Tronco de Pirâmide de bases paralelas :

15 15 Um plano paralelo à base de uma pirâmide pode dividi-la em dois sólidos : uma pirâmide semelhante à primeira e um tronco de pirâmide Sejam h 1 a altura da pirâmide maior h a altura da pirâmide menor H a altura do tronco V 1 o volume da pirâmide maior V o volume da pirâmide menor B a área da base da pirâmide maior B a área da base da pirâmide menor Pela semelhança das duas pirâmides, podese dizer que B b h1 = h e V1 V h = h 1 3 ) Tronco de cone de bases paralelas : Um plano paralelo à bese de um cone pode dividi-lo em dois sólidos : um cone semelhante ao primeiro e um troco de cone.

16 16 Sejam h 1 a altura do cone maior h a altura do cone menor H a altura do tronco V 1 o volume do cone maior V o volume do cone menor B a área da base do cone maior B a área da base do cone menor Pela semelhança dos dois cones, pode- se dizer que B b h1 = h e V1 V h = h 1 3

17 SÍNTESE DE CONTEÚDO MATEMÁTICA a SÉRIE ENSINO MÉDIO SÓLIDOS GEOMÉTRICOS NOTÁVEIS Prof. Rogério Rodrigues 17