MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 52 CILINDRO

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1 MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 52 CILINDRO

2 base O r geratriz O r h (altura) eixo base

3 e O H H R R O

4 H S L H R 2πR

5 O R O R H eixo

6

7 R H

8 cm 2 cm 12 cm 8

9 2 cm 2 cm 12 cm 8 cm 20 cm 20 cm 8 cm 12 cm

10 C O A B 12 cm D

11 A O 1 60º 1 1 B

12

13 Como pode cair no enem (UERJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura. 20cm 60cm 40cm Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando π igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a: 3 a) 10 2 d) b) 10 2 e) c) 10 12

14 Fixação Texto referente às questões 1 e 2. Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa quase completamente seu corpo conforme mostra a figura. Suponha que, para fazer medições, você disponha apenas de uma régua milimetrada. 1) (ENEM) Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o número mínimo de medições a serem realizadas é: a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

15 Fixação 2) (ENEM) Para calcular a capacidade total da garrafa, lembrando que você pode virá-la, o número mínimo de medições a serem realizadas é: a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

16 Fixação 3) (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10cm (conforme ilustram as figuras a seguir). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. Tipo I 20cm Tipo II 10cm 20cm 10cm Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será: a) O triplo; d) A metade; b) O dobro; e) A terça parte. c) Igual;

17 Fixação 4) (ENEM) Um chefe de cozinha utiliza um instrumento cilíndrico para retirar parte do miolo de uma laranja. Em seguida, ele fatia toda a laranja em secções perpendiculares ao corte feito pelo cilindro. Considere que o raio do cilindro e da laranja sejam iguais a 1 cm e 3 cm, respectivamente. 3cm A área da maior fatia possível é: a) duas vezes a área da secção transversal do cilindro. b) três vezes a área da secção transversal do cilindro. c) quatro vezes a área da secção transversal do cilindro. d) seis vezes a área da secção transversal do cilindro. e) oito vezes a área da secção transversal do cilindro.

18 ixação ) (ENEM) Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular eto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12 m 3, cuja base tem raio R e centro O. Desejae construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro ircular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o entro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que pós a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no ínimo, 4 m 3. Considere 3 como valor aproximado para π. Ilha de lazer O R r Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará ais próximo de: ) 1,6 c) 2,0 e) 3,8 ) 1,7 d) 3,0

19 Fixação 6) (UERJ) Um tonel cilíndrico, sem tampa e cheio de água, tem 10 dm de altura e raio da base medindo 5 dm. Considerando π = 3,14, ao inclinarmos o tonel em 45, o volume de água derramada, em dm³, é aproximadamente de: a) 155 b) 263 c) 353 d) 392

20 roposto ) (ENEM) Em muitas regiões do estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avalido de acordo com uma prática dessas regiões: ) Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante. h I) O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica. II) O valor obtido com essa medida é multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira. Outra estimativa pode ser obtida pelo círculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito. A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte ara comercialização. Pode-se admitir que essas perdas são da ordem de: ) 30% ) 22% ) 15% ) 12% ) 5%

21 2) (ENEM) Uma empresa de transporte armazena seu combustível em um reservatório cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu conteúdo é medido com uma vara graduada em vinte intervalos, de modo que a distancia entre duas graduações consecutivas representa sempre o mesmo volume. A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações na vara é: a) b) c) d) e)

22 3) (ENEM) Em uma praça pública, há uma fonte que é formada por dois cilindros, um de raio r e altura h, e outro de raio R e altura h 2. O cilindro do meio enche e, após transbordar, começa a encher o outro. h Se R = r 2 e 1 h2 = e, para encher o cilindro do meio, 3 foram necessários 30 minutos, então, para se conseguir encher essa fonte e o segundo cilindro, de modo que fique com- pletamente cheio, serão necessários: a) 20 minutos. b) 30 minutos. c) 40 minutos. d) 50 minutos. e) 60 minutos. r R

23 4) (UERJ) O volume de uma lata cilíndrica é 4π cm³ o custo de fabricação das bases é de R$ 0,04 por cm 2 e o custo de fabricação da lateral é de R$ 0,02 por cm 2. O custo de fabricação da lata (em R$) em função do raio R (em cm) das bases é: 1 a) 0,04π R² + R 1 b) 0,06π R² + R 2 c) 0,06π R² + R 1 d) 0,08π R² + R 2 e) 0,08π R² + R

24 5) (UFRJ) A casa da moeda está cunhando moedas de ouro de raios diferentes e mesma espessura. A moeda de 1,5 cm de raio tem 18g de massa. Qual a massa da moeda de 2,5 cm de raio?

25 6) (UFRRJ) Um caminhão-pipa carrega 9,42 mil litros d água. Para encher uma cisterna cilíndrica com 2 me-tros de diâmetro e 3 metros de altura são necessários, no mínimo: a) 10 caminhões; b) 100 caminhões; c) 1 caminhão; d) 2 caminhões; e) 4 caminhões.

26 7) (UFRJ) Mário e Paulo possuem piscinas em suas casas. Ambas têm a mesma profundidade e bases com o mesmo perímetro. A piscina de Mário é um cilindro circular reto e a de Paulo é um prisma reto de base quadrada. A companhia de água da cidade cobra R$1,00 por metro cúbico de água consumida. a) Determine qual dos dois pagará mais para encher de água a sua piscina. b) Atendendo a um pedido da família, Mário resolve duplicar o perímetro da base e a profundidade de sua piscina, mantendo, porém, a forma circular. Determine quanto Mário pagará pela água para encher a nova piscina, sabendo-se que anteriormente ele gastava R$ 50,00.

27 8) (UFF) Uma peça de madeira, que tem a forma de um prisma reto com 50 cm de altura e cuja secção reta é um quadrado com 6 cm de lado, custa R$ 1,00. Essa peça será torneada para se obter um pé de cadeira cilíndrico, com 6 cm de diâmetro e 50 cm de altura. O material desperdiçado na produção do pé de cadeira deverá ser vendido para reciclagem por um preço P igual a seu custo. Determine o preço P, considerando π = 3,14.

28 9) (UERJ) Em um supermercado, podemos encontrar manteiga em dois tipos de embalagens de forma cilíndrica: a menor tem raio da base medindo 4 cm, altura igual a 5 cm, contém 200 g e custa R$ 1,75; a maior tem diâmetro da base medindo 10 cm, altura igual a 8 cm e custa R$ 4,00. Supondo que a densidade da manteiga seja cons-tante, determine: a) a quantidade de manteiga, em gramas, contida na embalagem maior; b) a embalagem que apresenta o menor preço por unidade de medida.

29 10) (ENEM) A figura a seguir mostra um reservatório de água na forma de cilindro circular reto, com 6m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por um dia 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas abastecidas por este reservatório tenha feito economia de 10% no consumo de água. Nessa situação: a) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m. b) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia foi igual a 60 cm. c) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no 6 m máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros. d) os moradores dessas casas economizaram mais de R$ 200,00 e o custo de 1 m de água para o consumidor fosse igual a R$ 2,50. e) Um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o representado, teria água suficiente para abastecer todas as casas.

30 b) c) 3 d) 3 e) ) (UFF) As formas de queijo F 1 e F 2, representadas abaixo são cilíndricas, possuem raios, respectivamente, R e r e a mesma altura h. h h F 1 F 2 O queijo feito em F 1 foi dividido em 8 fatias iguais e o queijo feito em F 2 foi dividido em 6 fatias iguais, conforme a figura. Para que a fatia de queijo feito em F 1 tenha o mesmo volume que cada fatia de queijo feito em F 2, a razão entre R e r deve ser: 2 a) 3 4

31 pπr 2 d) m 12) (UERJ) Um recipiente cilíndrico de base circular, com raio R, contém uma certa quantidade de líquido até um nível h 0. Uma estatueta de massa m e densidade ρ, depois de completamente submersa nesse líquido, permanece em equilíbrio no fundo do recipiente. Em tal situação, o líquido alcança um novo nível h. A variação (h - h 0 ) dos níveis do líquido, quando todas as grandezas estão expressas no Sistema Internacional de Unidades, corresponde a: mp a) πr 2 m 2 b) p 2 π R 2 m c) pπ R 2

32 13) (UERJ) Na figura ao lado, sobre a superfície lateral de um cilindro reto de altura igual a 10 m e raio da base igual a 2m, estica-se um barbante de A até B. Sabe- -se que AD e BC são diâmetros paralelos, que E é ponto médio do arco AED e que o segmento FE é perpendicular à base do cilindro. Pede-se a área AEF limitada pelo barbante, pelo arco AE e pelo segmento FE. C A E B D

33 14) (FUVEST) O sólido da figura foi obtido seccionando um cilindro circular reto de 10 cm de altura por um plano perpendicular às bases. Calcule o volume desse sólido. 1 cm 10 cm 3 cm 3 cm

34 15) (ENEM) Dona Maria, diarista na casa da família Tei-xeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos. 8 cm 20 cm 4 cm Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá: a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. d) encher duas leiteiras de água, pois elas têm um volume 10 vezes maior que o volume do copo. e) encher cinco leiteiras de água, pois elas têm um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 4 cm

35 16) (ENEM) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de π, então o preço dessa manilha é igual a: a) R$ 230,40 d) R$ 54,56 b) R$ 124,00 e) R$ 49,60 c) R$104,16

36 Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo: 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de comprimento e densidade 0,77 toneladas/m³; 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de comprimento e densidade 0,78 toneladas/m³. Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente: a) 29,9 toneladas d) 35,3 toneladas b) 31,1 toneladas e) 41,8 toneladas c) 32,4 toneladas 17) (ENEM) No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se rodo da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em m³ a partir da medida do rodo e da altura da árvore. O volume da tora em m 2 é dado por Tem 2 metros de rodo V = rodo 2 x altura x 0,08 O rodo e a altura da árvore devem ser medidos em metros. O coeficiente 0,06 foi obtido experimentalmente

37 a) b) 100 cm 100 cm 18) (ENEM) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura. 120 cm 60 cm 60 cm 60 cm c) 100 cm e) d) 60 cm 60 cm 60 cm 60 cm 100 cm 60 cm 80 cm 100 cm 60 cm Bebedouro 1 60 cm Bebedouro cm 30 cm Bebedouro 3 (A escolha do bebedouro. In: Biotemas. V.22, nº. 4, 2009 [adaptado].) Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3?

38 19) (ENEM) Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento. 4m 4m 6m 6m (I) Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere π 3) a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1. 3 b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4. 3 c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3. 4 d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2. 3 e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de m (II) 8m (III)

39 20) (UFF) O professor J.C.S. Florençano, da Universidade de Taubaté / SP, está construindo uma casa que aproveita a água da chuva. O sistema é simples, fácil e, principalmente, barato (...) um melhoramento do que já era feito nos castelos medievais. A água da chuva é captada por um sistema de calhas e direcionada para uma primeira caixa, onde ocorre o processo natural de decantação. A segunda e terceira caixas-d água servem como reservatório. (Adaptado de ingterna/0,oi EI300,00.html) A figura a seguir representa uma possibilidade para o sistema de reservatório do professor, formado por duas caixas-d água de mesma altura e mesmo volume: a primeira tem forma de um paralelepípedo retangular e a segunda, de um cilindro circular reto. Considerando D, o diâmetro da caixa cilíndrica e A e B, as medidas do comprimento e da largura da base da caixa retangular (todas as medidas em uma mesma unidade de comprimento), pode-se afirmar que: a) D² > AB b) D² = AB AB c) < D² < AB 2 d) D² = AB 2 AB e) D² < 2

40 21) (UFF) Em certo posto de gasolina, há um tanque com a forma de um cilindro circular reto, com 5 m de altura e diâmetro da base 2 m, mantido na horizontal, sob o solo. Devido à corrosão, surgiu, em sua parede, um furo situado 13 cm acima do plano horizontal que o apoia, conforme ilustrado na figura: 5 m 2 m v a) 0,20 < < 0,30 V v b) 0,10 < < 0,20 V v c) 0,05 < < 0,10 V v d) 0,01 < < 0,05 V v e) < 0,01 V 13 cm O combustível vazou até que seu nível atingiu a altura do furo, em relação ao plano em que o tanque está apoiado. Indicando-se por V o volume desse tanque e por v o volume do combustível restante, considerando-se 3 = 0,87 e π = 3,14, pode-se afirmar que: 2

41 22) (UFF) Num recipiente em forma de cilindro reto, com raio da base 2 cm e altura 6 3 cm (figura 1), qual deve ser o maior ângulo (figura 2) que o plano da base do cilindro deve fazer com o plano de apoio ( β ) para que a água não se derrame ao se inclinar o cilindro? 16 3 cm V = 16 3 π cm 3 água 2 cm α água β Figura 1 Figura 2