MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 56 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO, SEMELHANÇA E TRONCO

Transcrição

1 MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 56 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO, SEMELHANÇA E TRONCO

2 BC B C A D A D

3 Triângulo Retângulo Cone

4 emicírculo Esfera

5

6 Cone Cone semelhante + Tronco de Cone

7 Pirâmide Pirâmide semelhante + Tronco de Pirâmide

8 3 10 3

9 V 7V

10 3 V 5

11 Como pode cair no enem (ENEM) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura: Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são a) um tronco de cone e um cilindro. b) um cone e um cilindro. c) um tronco de pirâmide e um cilindro. d) dois troncos de cone. e) dois cilindros.

12 Fixação A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A 1) (ENEM) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtêm-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita. 1 A 4 D 2 B 5 E 3 C

13 Fixação 2) (UFRJ) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como na figura abaixo. y x Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos.

14 Fixação 3) (ENEM) Uma empresa precisa comprar uma tampa para o seu reservatório, que tem a forma de um tronco de cone circular reto, conforme mostrado na figura. Considere que a base do reservatório tenha raio r = 2 3 m e que sua lateral faça um ângulo de 60 com o solo. Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de: a) 12 m² b) 108 m² c) ( )² m² d) 300 m² e) ( )² π m² 60º

15 Fixação 4) Se um galão de tinta é suficiente para pintar uma estátua de 6 metros de altura, quantos galões serão necessários para pintar 540 estátuas semelhantes à original, mas com somente 1 metro de altura? a) 90 b) 72 c) 45 d) 30 e) 15

16 ixação ) (UERJ) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paraelepípedos retângulos semelhantes. Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da rea _ total do maior pacote e _ a do menor é igual a: ) ³ _ 3 c) 6_ ) ³ 4 d) 8

17 Fixação 6) (ENEM) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura a seguir. Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? 6 cm a) 156 cm³ d) 216 cm³ 6 cm b) 189 cm³ e) 540 cm³ c) 192 cm³

18 1) O trapézio ABC da figura abaixo, gira completamente em torno do eixo 0x. Calcule o inteiro mais próximo do volume do sólido obtido. y A B (2,2) 0 C (3,0) x

19 2) Um triângulo equilátero, de lado medindo 2 cm, gira em torno de um eixo situado no mesmo plano, passando por um dos vértices e paralelo a um dos lados do triângulo, conforme a figura. O volume do sólido gerado por esse triângulo, em cm³, é: a) 8 π b) 6 π c) 4 π 3 d) 2 π 3 e) 4 π

20 3) (UFF) A figura representa um triângulo retângulo MNP, cujo cateto MN é perpendicular ao eixo r. O volume, em cm³, do sólido obtido pela rotação de MNP em torno de r é: a) π b) 7 π c) 12 π d) 24 π e) 36 π r P 3 cm N

21 4) (UNIRIO) O volume do sólido gerado pela rotação completa da figura ao lado, em torno do eixo é, em cm³: a) 38 π e 2 cm b) 54 π c) 92 π d) 112 π e) 128 π 6 cm 3 cm 3 cm

22 5) (UNIRIO) A razão entre o volume de duas esferas é 16. Então a razão entre seus raios é: a) 16 b) 8 c) 2 d) 2 ³ 2 e) ³ 2

23 6) (UFRJ) Uma pirâmide tem 30 m de altura e cada uma de suas secções planas paralelas à base é um quadrado. Calcule a que distância do topo da pirâmide está a seção que determina um tronco de pirâmide de volume igual a 7/8 do volume total da pirâmide.

24 7) (UFF) A figura abaixo representa uma pirâmide regular de base quadrangular que foi seccionada por um plano β paralelo à base. β H d Sabendo-se que a altura da pirâmide é H e que d é a distância entre β e a base, determine o valor de d para que a pirâmide fique dividida em dois sólidos de volumes iguais.

25 8) (UFRJ) Uma pirâmide tem base quadrada de área 4. Ela é seccionada por um plano paralelo à base de modo a formar um tronco de pirâmide de altura 2 e de base superior de área 1. Determine o valor da aresta lateral do tronco da pirâmide.

26 P r 9) (ENEM) A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água 1 existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo espaços vazios que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%. (Disponivel em: Acesso em: 30 mar [adaptado].) Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é: a) 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao comprimento de seu lado. b) 36% menor que V, porque a área da base diminui de a 2 para ((1 0,2)a) 2. c) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a 3 para (0,8a) 3. d) 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original. e) 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%. s

27 roposto 0) (UFF) Populariza-se, na região da seca no nordeste do Brasil, a construção de cisternas que armazenam as águas das chuvas. Uma vez tratada, a água abastecerá as famílias que ali vivem (Texto adaptado de Discutindo Geografia. Ano 1 nº 3, 2005) O recipiente II tem forma de um tronco de cone com raio da base maior igual a 2L, raio da base menor igual a L e altura igual a L. 2L L L O recipiente III tem a forma de um paralelepípedo de base quadrada de lado igual a L e altura igual a 2L. (Discutindo a Geografia, Ano 1 nº 3. P. 42) Considere os três recipientes a seguir que podem er usados para carregar água das cisternas. O recipiente I tem a forma de um cilindro circular eto, de raio da base igual a L e altura igual a 2L. L 2L L Considerando V I, V II e V III os volumes dos recipientes I, II e III, respectivamente, pode-se afirmar que: a) V I > V II > V III b) V I > V III > V II c) V II > V I > V III d) V II >V III > V I e) V III > V I > V II L 2L

28 11) (UFRJ) Em um tanque no formato de um cubo de aresta 25 cm, contendo líquido, foi posta uma pirâmide P 1, de altura igual a 6 cm, com a base apoiada no fundo do tanque. Com isso, o nível de líquido passou de 18 cm para 19 cm a) Calcule o volume, em cm³, da pirâmide P 1. b) A pirâmide P 1 foi retirada do tanque e o nível de líquido voltou ao inicial. Uma pirâmide P 2, de 30 cm de altura, foi então posta no tanque, com a base apoiada no fundo, o que elevou em 2 cm o nível de líquido. 20 Determine o volume da pirâmide P 2.

29 12) (UERJ) Um cilindro circular reto é inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois sólidos sejam colineares, conforme representado na ilustração abaixo. A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada um, 12 cm. Admita que as medidas, em centímetros, da altura do raio do cilindro variem no intervalo ]0; 12[ de modo que ele permaneça inscrito no cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua área lateral seja máxima.

30 13) (ENEM) ABCD é um quadrado de lado 6 cm e ADE é um triângulo retângulo isósceles. A rotação de 360, da região poligonal ABCE, em torno da reta AB, gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é: ^^ a) 360π b) 320π c) 216π d) 124π e) 72π E D A C B

31 14) (UFRJ) Uma ampola de vidro tem o formato de um cone cuja altura mede 5 cm. Quando a ampola é posta sobre uma superfície horizontal, a altura do líquido em seu interior é de 2 cm (Figura 1). 3 cm 5 cm h cm Figura 1 Figura 2 Determine a altura h do líquido quando a ampola é virada de cabeça para baixo (Figura 2). Lembrete: volume do cone = (área da base) x (altura) 3

32 15) Um cidadão dá sete goles iguais numa taça cônica cheia de champanhe e percebe que a taça ainda está pela metade, em relação à altura. Quantos goles ainda lhe restam para que ele beba todo o champanhe?

33 16) (FUVEST) Um copo tem a forma de um cone com altura 8 cm e raio da base 3 cm. Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja possível, a altura x atingida pelo primeiro líquido colocado deve ser: a) 8/3cm 3 b) 6cm c) 4cm d) 4 3 cm 8 e) cm x

34 17) (UFF) A figura abaixo representa o paralelogramo MNPQ. N P M h l O volume do sólido obtido pela rotação do paralelogramo em torno da reta suporte do lado MQ é dado por: πh²+(l + h) a) 2 πh²l b) 2 c) πh²+(l + h) d) πh+(l + h)² e) πh²l Q

35 18) (UERJ) Uma linha poligonal fechada de três lados limita um triângulo de perímetro l. Se ela gira em torno de um de seus lados, gera uma superfície de área S igual ao produto de l pelo comprimento da circunferência descrita pelo baricentro G da poligonal. A figura a seguir mostra a linha (ABCA) que dá uma volta em torno de BC. θ C A 4 cm G r B 3 cm a) Esboce a figura gerada e indique o cálculo da área de sua superfície que é igual a 36πcm². b) Calcule a distância r do baricentro G dessa linha ao eixo de rotação.

36 19) (UFRRJ) Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,25 m, a distância do chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 25 π m 2, é de: a) 12 m 0,25 m b) 10 m c) 8 m H (distância) d) 6 m e) 5 m

37 20) (UFRRJ) Sônia reuniu a família e mostrou uns slides que iria passar para os seus alunos sobre a seca no Nordeste. Após a exibição, Rubert sugeriu que aumentasse a área de projeção em 25%. Para realizar o pedido de Rubert, Sônia recuou o projetor, afastando-o ainda mais 2 metros em relação à parede de projeção. A distância total do projetor até a parede de projeção passou a ser, então: a) 5 b) 2 5 m c) 2,5 m d) 3 2 m e) 4 ( 5+2) m

38 21) (ENEM) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide. d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. e) Cilindro, prisma e tronco de cone.

39 22) (UERJ) Um funil, com a forma de cone circular reto, é utilizado na passagem de óleo para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente possuem a mesma capacidade. De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes estão contidos no segmento TQ, perpendicular ao plano horizontal β. T P A H 2 H β Q B Admita que o funil esteja completamente cheio do óleo a ser escoado para o recipiente cilíndrico vazio. Durante o escoamento, quando o nível do óleo estiver exatamente na metade da altura do funil, H/2, o nível do óleo no recipiente cilíndrico corresponderá ao ponto K na geratriz AB. A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada por: a) A b) A c) A d) A B B B B