Matemática - 3C12/14/15/16/26 Lista 2

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1 Matemática - 3C12/14/15/16/26 Lista 2 Poliedros Convexos 1) Determine qual é o poliedro convexo e fechado que tem 6 vértices e 12 arestas. 2) Determine o nº de vértices de dodecaedro convexo que tem 20 arestas. 3) Determine a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo e fechado que tem 6 vértices. 4) Determine a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo e fechado que tem 10 faces triangulares e 2 faces quadrangulares. 5) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado, sabendo que o nº de arestas excede o número de vértices de 6 unidades. 6) Quantas faces possui um poliedro convexo e fechado tem 7 vértices e 15 arestas? 7) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 8 faces hexagonais, 6 faces octogonais e 12 faces quadrangulares. 8) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o número de faces quadrangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 24 arestas e 13 vértices, e que o número de faces quadrangulares é igual ao nº de faces triangulares. 9) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o número de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem 25 arestas e 14 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é o dobro do nº de faces triangulares. 10) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. Determine o número de faces triangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 19 arestas e 11 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é o dobro do nº de faces pentagonais. 11) Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares. Determine o número de faces de cada gênero. 12) Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces têm de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos? 13) Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um: a) tetraedro b) hexaedro c) octaedro d) dodecaedro e) icosaedro 14) Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas têm de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos? 15) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 720º. Calcule o número de faces, sabendo que é 2/3 do número de arestas? 16) Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas. 17) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. 18) Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro? 19) Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces desse poliedro? 20) Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5. 21) Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que o número de faces triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse poliedro. Gabarito 1) F = 14 6 = 8. Octaedro. 2) 10 vértices 3) 1440º. 4) 2520º. 5) F = 8. 6) 10 faces 7) 48 vértices 8) 6 faces 9) 1 face 10) 4 faces 11) 8 faces triangulares e 4 faces quadrangulares

2 12) 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais. 13) a) tetraedro possui 4 vértices. Logo, 720º. b) hexaedro possui 8 vértices. Logo, 2160º. c) octaedro possui 6 vértices. Logo, 1440º. d) dodecaedro possui 20 vértices. Logo, 6480º e) icosaedro possui 12 vértices. Logo, 3600º. 14) 7 faces triangulares e 5 heptagonais. 15) F = 4. 16) 6 faces triangulares e 3 quadrangulares. 17) Logo há 10 vértices. 18) 6 faces. 19) F = 8 20) Logo há = 9 faces. 21) F = 5(k) = 5(4) = 20. Prisma LISTA DE EXERCÍCIOS PRIMEIRA PARTE 1) Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base do prisma mede 4cm. Determine a sua área lateral. 2) Determine a área lateral, a área da base e a área total de um prisma reto de altura 10m, sendo a base de um triângulo cujos lados medem: 5m, 6m e 9m. 3) Num prisma quadrangular regular, a aresta da base mede a = 8m. Sabendo que a área lateral do prisma é 384m 2, calcule a medida h da altura do prisma. 4) A área lateral de um prisma cuja base é um triângulo eqüilátero mede 72m 2. Sendo sua área total 8 (9 + 3)m 2, calcule a medida da aresta da base. 5) Sendo a altura de um prisma reto igual a 24m e que tem por base um triangulo retângulo de catetos 6m e 8m, calcule a área da base, a área lateral e a área total. 6) Sendo um prisma pentagonal regular de altura 20 cm e área lateral 400cm 2, calcule a aresta da base. 7) A área lateral de um prisma triangular regular mede 18cm 2. Sabendo que a medida da aresta lateral é o dobro da medida da aresta da base, calcule a aresta da base. 8) (PUC) Dado um prisma reto de base hexagonal (hexágono regular), cuja altura é h= 3m e cujo raio do circulo que circunscreve a base é R = 2m, calcule a área total deste prisma. 9) Calcule o volume de um prisma reto de 24m de altura e cuja base é um triângulo eqüilátero de 4m de lado. 10) Um prisma regular tem como base um triângulo eqüilátero. Seu volume é igual a 6 3cm 3 e altura mede 6cm. Calcular a área da base. 11) Em um prisma hexagonal regular a soma das arestas da base é igual a 36 cm e a altura mede 12cm. Qual o volume desse prisma? 12) A área lateral de um prisma triangular é o dobro da área da base. Sabendo-se que as arestas da base medem 3m, 4m e 5m. Pede-se: a)a área da base b) a altura do prisma c) o volume do prisma 13) Um prisma triangular regular tem 60 cm de perímetro da base. Calcule o volume do prisma, sabendo que a medida da altura é 8 cm. 14) O volume de um prisma reto cuja base é um triângulo eqüilátero mede 5 3 cm 3. Sabendo-se que a área lateral é 30cm², calcule a aresta da base. 15) Calcule a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo, sabendo que as suas dimensões são 10 cm, 7 cm, 3cm. 16) Em um paralelepípedo reto retângulo suas dimensões são 12cm, 5cm e 3cm. Calcular sua diagonal. 17) A diagonal de um paralelepípedo reto retângulo mede 5 2 cm. Sabendo-se que as medidas das três arestas são números inteiros e consecutivos, calcule essas medidas. 18) Dado a diagonal 2 38 cm de um paralelepípedo reto-retângulo e sabendo-se que duas de suas arestas medem 10 cm e 6cm, calcular a terceira dimensão. 19) As dimensões de um paralelepípedo reto retângulo são 10 cm, 6 cm, e 4cm. Calcule a área deste paralelepípedo. 20) Sendo um paralelepípedo reto retângulo de área 222cm 2 e dimensões 5 cm e 3cm, calcular a terceira dimensão. 21) Calcule a área total de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 16 cm, 20cm e 26cm. 22) Calcular a medida da terceira dimensão e a área total de um paralelepípedo sabendo que as outras duas dimensões medem 4 cm e 7cm e sua diagonal mede 3 10 cm. 23) Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são: 5m, 3m e 2m.

3 24) Num paralelepípedo reto retângulo as dimensões são: 8 cm, 10cm e 16cm. Calcular o volume do paralelepípedo. 25) O volume de um paralelepípedo retângulo vale 270dm 3. Uma de suas arestas mede 5dm e a razão entre as outras duas é 2/3. Calcular o valor das outras duas arestas. 26) O volume de um paralelepípedo retângulo é 480cm 3. Suas dimensões são diretamente proporcionais aos números 2, 5 e 6. Calcule suas dimensões. 27) Num cubo de aresta 5 cm calcule a medida de sua diagonal. 28) Sabendo que a aresta de um cubo é igual a 10 cm. Calcule a sua diagonal? 29) A diagonal de uma face do cubo mede 6 2 cm. Calcular a medida da diagonal do cubo. 30) A diagonal de um cubo é 15 3 cm. Calcule a medida da aresta desse cubo. 31) A aresta de um cubo mede 4 cm. Calcule sua área total e o seu volume. 32) Se a aresta de um cubo mede 7 cm, determine a área total e o volume desse cubo. 33) Calcule a medida da aresta e a área total de um cubo sabendo-se que o seu volume é igual a 216cm 3. 34) Sabendo-se que a área total de um cubo é 24m 2. Calcule a medida da aresta e o volume. 35) Num paralelepípedo reto retângulo de arestas com dimensões a, b e c, sendo a.b = 40cm 2 a.c = 50cm 2 e área total igual a 340cm 2. Calcule a medida das arestas desse paralelepípedo e o seu volume? 36) Num paralelepípedo retângulo, a medida da 1 a dimensão é o triplo da terceira e a segunda é o dobro da terceira mais dois. Sabendo-se a área total é 416cm 2. Calcular as dimensões desconhecidas desse paralelepípedo. 37) Uma abelha encontra-se num vértice de um cubo vazio na qual só as arestas estão construídas e cada uma mede 8m. No vértice simétrico a este em relação ao centro encontra-se uma flor. A abelha quer chegar à flor voando o mínimo possível. Qual é o valor deste mínimo? 38) (CESCEA) Se a soma das arestas de um cubo é igual a 72 cm, então qual o valor do volume do cubo? 39) O volume de um cubo é igual ao volume de um ortoedro de dimensão 4 cm, 6cm e 9cm. Calcule a resta do cubo. 40) (MAPOFEI) Qual é a altura de um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero de lado a para que o seu volume seja igual ao volume de um cubo de aresta a. 41) (UNIRIO) A área total de um prisma reto de base quadrada é 190cm 2 e a área de uma base é igual a 25cm 2. Qual o volume desse prisma? GABARITO 1)400cm 2 2)Ab= 10 2m 2 Al= 200m 2 At= 20(10+ 2)m 2 3)12m 4)4m 5) 24m 2 576m 2 624m 2 6)4cm 7) 3cm 8) 24 3m 2 9)96 3cm 3 10) 3cm 2 11)648 3cm 3 12)6m 2 ; 1m; 6m 3 13)800 3cm 3 14)2cm 15) 158cm 16) 178cm 17)3, 4 e 5 18) 4cm 19)248cm 2 20)12cm 21) 2512cm 2 22)5cm; 166cm 2 23) 30m 3 24)1280cm 3 25)6dm e 9dm 26)4cm, 10cm, 27)5 3cm 28)10 3cm 29)6 3cm 30)15cm 12cm 31)96cm 2 64cm 3 32)294cm 2 343cm 3 33)6cm 216cm 2 34)2m 8m 3 35)5cm,8cm,10cm; 400cm 3 36)12cm, 10cm, 4cm 37)8 3m 38)216cm 3 39)6cm 40)4a )175cm 3 LISTA DE EXERCÍCIOS SEGUNDA PARTE 1-(PUC-SP) A base de um prisma reto é um triângulo de lados iguais a 5m, 5m e 8 m e a altura tem 3 m. O seu volume será, em m³ :

4 a)12 b) 24 c) 36 d) 48 e) (PUC-SP) Se a área da base de um prisma diminui de 10 % e a altura aumenta de 20 %, o seu volume : a) aumenta 8% b) aumenta 15% c)aumenta 108% d) diminui 8% e) não se altera 3-(UF - PA) Um prisma triangular regular tem a resta da base a igual a altura. A relação entre o volume e a área lateral é : a) a 3 /12 b) a 3 /36 c)a² 3 /4 d)2 3 /a e) 4 3 /a 4-(ITA) Considere ( P) um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e tem área total de 80 m². O lado dessa base quadrada mede : a) 1m b) 8m c) 4m d) 6m e) 16m 5- ( FUVEST ) Um reservatório tem a forma de um prisma reto retangular e mede 0,5 m de largura, 1,2 m de comprimento e 0,7 m de altura. Estando o reservatório com certa quantidade de água, coloca-se dentro dele uma pedra com forma irregular, que fica totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água sobe 1 cm. Isto significa que o volume da pedra é de : a) 0,6 m³ b) 6 m³ c) 6 dm³ d) 60 dm³ e) 600 cm³ 6-(PUC-SP-2001) Na figura ao lado tem-se o prisma reto ABCDEF, no qual DE = 6 cm, EF = 8 cm e DE EF.Se o volume desse prisma é 120 cm³, a sua área total, em centímetros quadrados, é a) 144 b) 156 c) 160 d) 168 e) (UF-PA) Um paralelepípedo retângulo de dimensões 2, 3 e 5 cm tem a diagonal igual a : a) 38 b) 35 c) 32 d) 2 32 e) 3) 35 8-(MACK) Um paralelepípedo retângulo tem arestas medindo 5, 4 e k. Se sua diagonal mede 3 10, o valor de k é : a) 20 b) 10 c) 9 d) 7 e) 3 9- (UNICAMP) Uma folha retangular de cartolina mede 35 cm de largura por 75 cm de comprimento. Dos quatro cantos da folha são cortados quatro quadrados iguais, sendo que o lado de cada um desses quadrados mede x cm de comprimento. a) Calcule a área do retângulo inicial. b) Calcule x de modo que a área da figura obtida, após corte dos quatro cantos, seja igual a 1725 cm². 10- (FUVEST) Dispondo-se de uma folha de cartolina, medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta, cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha. O volume dessa caixa, em cm³, será : a) 1244 b) 1828 c) 2324 d) 3808 e) ( VUNESP) As faces de um paralelepípedo retangular tem por área 6 cm², 9cm² e 24 cm². O volume desse paralelepípedo, em cm³, é : a) 1296 b) 48 c) 39 d) 3 6 e) ( CESGRANRIO ) Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e de 2,80 m de altura, as portas e as janelas ocupam uma área de 4 m². Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra de 10 % a mais da metragem a ladrilhar. A metragem de ladrilhos a comprar, em m², é : a) 24,40 b) 24,80 c) 25,50 d) 26,40 e) 26,80 13-(U.F.PELOTAS) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são inversamente proporcionais aos números 12, 6 e 4, Se sua área total é 88 cm², o seu volume, em cm³, é : a) 288 b) 144 c) 128 d)64 e)48 14-(FUVEST) Uma caixa de embalagem de certo produto tem a forma de um paralelepípedo reto retangular com 50 cm de comprimento, 40 cm de largura, 30 cm de altura, e seu volume total é de 7 % maior do que o volume útil. Indique o valor mais próximo do volume útil, em m³. a) 0,055 b) 0,052 c)0,056 d)0,054 e) 0, (G.V.) Um arquiteto tem dois projetos para construção de uma piscina retangular com 1m de profundidade: Projeto 1: dimensões do retângulo: 16m 25m Projeto 2: dimensões do retângulo: 10m 40m Sabendo-se que as paredes laterais e o fundo são revestidos de azulejos cujo preço é R$10,00 por m²: a) Qual a despesa com azulejos em cada projeto? b)se a área do retângulo for de 400m², e x for uma de suas dimensões, expresse o custo dos azulejos em função de x. 16-(G.V.) Deseja-se construir uma piscina de formato quadrado sendo 100 m² a área do quadrado e 1,5 m a profundidade. Se as paredes laterais e o fundo forem revestidos com azulejos de dimensões 15cm X 15 cm:

5 a) Qual o número ( aproximado) de azulejos necessários? b) Se a piscina fosse circular sendo 100 m² a área do círculo e 1,5 m a profundidade, qual seria o número ( aproximado ) necessários de azulejos para revesti-la? 17-(FUVEST) O volume de um paralelepípedo reto retângulo é 240 cm 3. As áreas de duas de suas faces são 30 cm² e 48cm². A área total do paralelepípedo, em cm², é a)96 b)118 c)236 d)240 e) (FUVEST) Numa caixa em forma de paralelepípedo reto-retângulo, de dimensões 26 cm, 17cm e 8 cm, que deve ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O maior número de esferas iguais a essa que cabem juntas na caixa é a)1 b)2 c)4 d)6 e)8 19-(PUC-SP-2000) Uma caixa sem tampa é feita com placas de madeira de 0,5cm de espessura. Depois de pronta, observa-se que as medidas da caixa, pela parte externa, figura abaixo. O volume interno dessa caixa, em metros cúbicos, é a) 0,015 b) 0,0156 c) 0,15 d) 0,156 e) 1,5 20-(VUNESP-2001 ) A água de um reservatório na forma de um paralelepípedo retângulo de comprimento 30m e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e o calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório evaporaram. A água restante no reservatório atingiu a altura de a) 2m b) 3m c) 7m d) 8m e) 9m. 21-(FUVEST-2002) Em um bloco retangular (isto é, paralelepípedo reto retângulo) de volume 27/8, as medidas das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é: a) 7/8 b)8/8 c)9/8 d)10/8 e)11/8 22-(MACK-2002) Uma piscina com 5m de comprimento, 3m de largura e 2m de profundidade tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Se o nível da água está 20cm abaixo da borda, o volume de água existente na piscina é igual a: a) 27000cm³ b) 27000m³ c) litros d) 3000 litros e) 30m³ 23-(UNICAMP FASE ) A figura abaixo é a planificação de uma caixa sem tampa: a) Encontre o valor de x, em centímetros, de modo que a capacidade dessa caixa seja de 50 litros. b) Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de 50 litros considerando-se apenas o custo da folha retangular plana? 24-( GV ) Um cubo tem 96 m² de área total. De quanto deve ser aumentada a sua aresta para que o seu volume se torne igual a 216 m³? a) 1m b) 0,5 m c) 9m d) 2m e) 3m 25-(UF - PR) Um cubo tem área total igual a 150 m². O volume da pirâmide quadrangular regular que tem como vértice o centro de uma das faces desse cubo e como base a face oposta a este vértice é, em m³ : a) 125/3 b) 125/6 c) 125 d) 150 e ) (UFMG) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A medida de sua diagonal, em centímetros, é a) 0,8 3 b) 6 c) 60 d) 60 3 e) (FUVEST) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com aresta medindo 10cm e 6 cm são levados juntos a fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de x é :

6 a)16 b)17 c)18 d)19 e)20 28-(UNICAMP FASE ) O sólido da figura abaixo é um cubo cuja aresta mede 2cm. a) Calcule o volume da pirâmide ABCD 1 b) Calcule a distância do vértice A ao plano que passa pelos pontos B, C e D 1. GABARITO 1)C 2)A 3)A 4)C 5)C 6)D 7)A 8)D 9) a) 2625 cm² b) 15 cm 10)D 11)D 12)D 13)E 14)E 15) a)projeto1r$ Projeto2R$5.000,00 b)custo = R$ 20.[( x² + 200x )/x ] 16) a)7112 b) )C 18)D 19)A 20)C 21)C 22)C 23) a) 50 cm b) R$ 8,40 24)D 25)A 26)D 27)D 28) a) 4/3cm³ b) 2 cm