Colégio Santa Dorotéia

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1 Colégio Santa Dorotéia Área de Disciplina: Série: ª - Ensino Médio Professor: Elias Atividades para Estudos Autônomos Data: 8 / 3 / 016 QUESTÃO 1 (UEMG) O desenho ao lado representa uma caixa de madeira maciça de 0,5 cm de espessura e dimensões externas iguais a 60 cm, 0 cm e 10 cm, conforme indicações. Nela será colocada uma mistura líquida de água com álcool, a uma altura de 8 cm. Como não houve reposição da mistura, ao longo de um certo período, 1 00 cm³ do líquido evaporaram. Com base nesta ocorrência, a altura, em centímetros, da mistura restante na caixa corresponde a um valor numérico do intervalo a) [ 5,0 ; 5,9]. b) [6,0 ; 6,9]. c) [ 7,0 ; 7,6]. d) [7,6 ; 7,9]. Aluno(a): N o : Turma: QUESTÃO (Enem) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 1 cm e a do cubo menor, que e interno, mede 8 cm. CALCULE o volume de madeira utilizado na confecção desse objeto. QUESTÃO 3 (PUC PR) A figura mostrada ao lado representa uma embalagem de papelão em perspectiva, construída pelo processo de corte, vinco e cola. DETERMINE a quantidade de material para fabricar 500 embalagens, sabendo que a aresta da base mede 10 cm, a altura mede 30 cm e que serão necessários 0% a mais de papelão em virtude dos vincos. ( 3 1,7 ) Colégio Santa Dorotéia 1

2 QUESTÃO (Unemat) Se um cubo tem suas arestas aumentadas em 50%, CALCULE qual será o aumento percentual do seu volume. QUESTÃO 5 (Ufrgs) Observe a seguir as planificações de duas caixas. A base de uma das caixas é um hexágono regular; a base de outra é um triângulo equilátero. Se os retângulos ABCD e A B C D são congruentes, então CALCULE a razão dos volumes da primeira e da segunda caixa. QUESTÃO 6 (Unicamp) Considere os três sólidos exibidos na figura abaixo, um cubo e dois paralelepípedos retângulos, em que os comprimentos das arestas, a e b, são tais que a > b > 0. a) DETERMINE a razão r = a/b para a qual o volume de S 1 é igual à soma dos volumes de S e S 3. b) Sabendo que a soma dos comprimentos de todas as arestas dos três sólidos é igual a 60 cm, DETERMINE a soma das áreas de superfície dos três sólidos. QUESTÃO 7 (UFES) A base de uma piscina de paredes verticais é formada por duas plataformas retangulares horizontais, situadas em níveis diferentes, as quais correspondem à parte rasa e à parte funda da piscina, além de uma rampa também retangular, interligando as plataformas, conforme mostra a figura ao lado. A largura da piscina é de 5 m, as duas plataformas têm comprimento de m e 6 m, respectivamente, e o comprimento da piscina é 1 m. A água da piscina está em repouso, o nível de água na parte rasa é 0,5 m e o nível da água na parte funda é 1,5 m. DETERMINE: a) o volume da água na piscina, em litros. b) o volume de água, em litros, que é necessário despejar na piscina para elevar o nível da água em 10 cm. Colégio Santa Dorotéia

3 QUESTÃO 8 (UFBA) Sendo θ o ângulo formado entre uma diagonal e uma face de um mesmo cubo, DETERMINE QUESTÃO 9 (UFU) 1. sen θ No cubo ABCDEFGH abaixo, considere o ponto P na aresta AE satisfazendo AP = 3PE. Sabendo que PG mede 33 cm, CALCULE o volume do cubo. QUESTÃO 10 (UFMG) Considere esta figura: Nessa figura, o quadrilátero ABCD tem: ângulos retos nos vértices B e C; ângulo de 5 o no vértice A; o lado AD apoiado sobre uma reta r e AB =, BC = 3 e CD =. Com base nessas informações, a) DETERMINE a distância h do ponto C à reta r; b) DETERMINE a distância H do ponto B à reta r; c) DETERMINE a função y = f(x), para 0 x H, tal que f(x) seja igual à área sombreada de uma figura como a ilustrada abaixo, que é a parte do quadrilátero ABCD compreendida entre a reta r e uma reta s, paralela à r, de modo que a distância entre r e s é igual a x. Colégio Santa Dorotéia 3

4 d) Considere, agora, um recipiente de comprimento 10, apoiado em um plano horizontal, cuja seção transversal é o quadrilátero ABCD, já mostrado nos itens anteriores desta questão: Suponha que esse recipiente está parcialmente cheio de água e que o nível dessa água é x. Com base nessas informações, I) DETERMINE uma expressão para o volume V(x) da água contida no recipiente para 0 x H; II) DETERMINE o nível x de água no recipiente para que o volume de água dentro dele seja igual à metade do volume total do mesmo recipiente. QUESTÃO 1 GABARITO x = 1 00 x = 0,5 Logo a altura será aproximadamente 8 0,5 = 7,8 cm QUESTÃO V = volume do cubo maior volume do cubo menor V = V = V = 1 16 QUESTÃO Área total do prisma = A L +.A b = = 310 (considerando 3 = 1,7) Área do prisma com acréscimo de 0% = 1,.310 = 77 Material para 500 embalagens = = cm = 138,6m Colégio Santa Dorotéia

5 QUESTÃO Volume de um cubo de aresta a. V = a 3 Volume de um cubo de aresta 1,5a = (1,5ª) 3 3,375.a 3 Aumento:,375.a 3, em porcentagem 37,5% do volume inicial. QUESTÃO 5 V ( hexagonal) = V ( triangular) 6x. (x) 3 3 = 6 = 3 QUESTÃO 6 a) Com os dados do enunciado pode-se escrever: S = S + S a = a b + a b Desenvolvendo esta equação, tem-se: ( ) 3 a a b ab = 0 a a ab b = 0 a ab b = 0 a ab b a a = r r 1 0 = = b b b b b 1 5 r = (não convém, r > 0) = 1 1 ( 1) = r = b) Sendo a soma das medidas de todas as arestas dos três sólidos igual a 60, pode-se escrever: 1a + 8a + b + 8b + a = 60 a + 1b = 60 a + b = 5 A soma das áreas dos três sólidos pode ser escrita como: T ( ) ( ) T A = 6a + a + ab + b + ab = 8a + 8ab + b = a + ab + b A = a + b Mas a + b = 5, logo: T ( ) A = 5 A = 50 cm T QUESTÃO 7 a) litros b) litros Colégio Santa Dorotéia 5

6 QUESTÃO sen θ = = = 3 a 1 a 3 3 QUESTÃO 9 Interbits Como EG é diagonal da face, segue que EG = AE. Além disso, AP = 3 PE implica em Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo PEG, obtemos: AE PE =. AE PG = PE + EG ( 33) = + (AE ) 33 AE = AE = cm. Portanto, o volume do cubo é AE = = 6cm. QUESTÃO 10 a) Como ABC ˆ BCD ˆ = 90, segue que AB//CD. Logo, BAF ˆ CDE ˆ = 5. Desse modo, do triângulo CDE, obtemos: ˆ CE h sencde = sen 5 = h = 1. CD 6 Colégio Santa Dorotéia

7 b) Do triângulo ABF, vem ˆ BF H senbaf = sen 5 = H =. AB c) Como o triângulo ABF é isósceles, segue que AF = BF = H =. Além disso, o triângulo BGC também é isósceles, e como CE = h = GF = 1 temos que GC = BG = BF GF = 3. Por outro lado, CE = DE = h = 1, pois CDE é isósceles. Desse modo, FD = GC DE = 3 1=. Para 0 x 1, a parte do quadrilátero ABCD compreendida entre as retas r e s é um paralelogramo cuja área vale AD x = (AF + FD) x = 6x. Sejam P e N, respectivamente, os pontos de interseção da reta s com os segmentos BJ e BC. A área do triângulo isósceles BPN é dada por BM = (BF MF) = ( x). Analogamente, a área do triângulo BJC vale BG = 3 = 9. Desse modo, para 1< x, a parte do quadrilátero ABCD compreendida entre as retas r e s tem área dada por (AJCD) + (BJC) (BPN) = ( x) = 15 ( x). Portanto, 6x, se 0 x 1 f(x) =. 15 ( x), se 1< x d.i) O volume de água contido no recipiente é dado por V(x) = 10 f(x), em que f é a função encontrada no item (c). Assim, 60x, se 0 x 1 V(x) = ( x), se 1< x Colégio Santa Dorotéia 7

8 d.ii) O volume total do recipiente é 150 V(x) = = 75. Como V(1) = 60 1= 60 < 75, devemos ter V() = 150 ( ) = 150. Logo, queremos calcular x de modo que 75 = ( x) 10( x) = (x ) = 30 x = ±. Portanto, o nível x de água no recipiente para que o volume de água dentro dele seja igual à metade do volume total do mesmo recipiente é 30 x =. 8 Colégio Santa Dorotéia

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