Prof. Paulo Cesar Costa

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1 01. (UFPA) Uma pirâmide regular, cuja base é um quadrado de diagonal 6 6 cm, e altura igual a / do lado da base, tem área total igual a: 96 cm b) 5 cm 88 cm 8 cm e) 576 cm 06. (ITA) A aresta de um cubo mede x cm. A razão entre o volume e a área total do poliedro cujos vértices são os centros das faces do cubo será: ( / 9) x cm b) ( / 18) x cm ( / 6) x cm ( / ) x cm e) ( / ) x cm 0. (CESCEM) Em uma pirâmide regular de 1 cm de altura tendo como base um quadrado de lado igual a 10cm, a área lateral é: 0 cm b) 60 cm 0 cm 00 cm e) cm 07. (FUVEST) No sólido S representado na figura ao lado, a base ABCD é um retângulo de lados AB = a e AD = a; as faces ABEF e DCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e o segmento EF tem comprimento a. Determinar, em função de a, o volume de S. 0. (ITA) Seja T um cubo com aresta de medida a. Considere P a pirâmide que tem vértice no centro de uma face de T e como base a face oposta de T. Sendo x a área lateral de P, temos: x a b) x a 5 x ( a 1) 5 x ( a 1) e) x ( 5) a 0. (PUC) Para que o volume de um cubo de aresta a seja igual ao volume de uma pirâmide cuja base é um quadrado de lado a, a altura da pirâmide é: a/ b) /a a/ a/ e) a 05. (MACK) Uma pirâmide cuja base é um quadrado de lado a tem o mesmo volume que um prisma cuja base é um quadrado de lado a. A razão entre as alturas da pirâmide e do prisma, nessa ordem, é: / b) / 1/ a/ e) a 08. (ITA) Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua altura mede a cm, onde a é a medida da aresta de sua base. Então, a área total desta pirâmide, em cm, vale: ( a 7) / b) ( a 109) / ( a ) / [ a ( )] / e) [ a (1 109)] / 09. (PUCSP) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8 cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem 17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é: 50. b) e) (FEI) São dados dois planos paralelos distantes de 5cm. Considere em um dos planos um triângulo ABC de área 0cm e no outro plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é: 10 cm b) 0 cm 0 cm 0 cm e) 50 cm

2 11. (UNESP) As arestas do prisma triangular reto mostrado na figura a seguir têm todas a mesma medida. Secciona-se o prisma por meio de um plano pelos vértices R e Q e por um ponto M da aresta AB. Para que o tetraedro MBQR tenha volume igual a 1/ do volume do outro sólido em que se dividiu o prisma, deve-se ter BM igual a: 16. (MACKENZIE) Na figura a seguir, PMN é a secção do prisma reto, triangular e regular, com um plano α que faz 60 com sua base. Se M e N são pontos médios e se o volume do sólido assinalado é mede:, então k / BA b) / BA /5 BA 1/ BA e) 1/6 BA 1. (PUCCAMP) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é 1 b) e) (FUVEST) Considere uma caixa sem tampa com a forma de um paralelepípedo reto de altura 8 m e base quadrada de lado 6 m. Apoiada na base, encontra-se uma pirâmide sólida reta de altura 8m e base quadrada com lado 6 m. O espaço interior à caixa e exterior à pirâmide é preenchido com água, até uma altura h, a partir da base (h 8). Determine, em metros cúbicos, o volume da água para um valor arbitrário de h, 0 h 8. b) e) 1 1. (Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é: H/6 b) H/ H H e) 6H 18. (UFRS) O valor numérico de cada aresta de um cubo é, e os pontos P, Q e R são pontos médios de três arestas, como no desenho a seguir. Um plano passando pelos pontos P, Q e R secciona o cubo em dois sólidos. A razão entre o volume do sólido menor e o volume do cubo é 1. (UECE) Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede cm e uma aresta lateral mede cm. O volume dessa pirâmide, em cm, é: 7 b) /8 b) 1/ 1/ 1/16 e) 1/1 15. (ITA) Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado cm. Sabe-se que as faces formam com a base ângulos de 5. Então, a razão entre a área da base e a área lateral é igual a: b) 1/ 6 / e) / 19. (ITA) Um triedro tri-retângulo é cortado por um plano que intercepta as três arestas, formando um triângulo com lados medindo 8m, 10m e 1m. O volume, em m, do sólido formado é: 15 6 b) e) 5 6

3 0. (ITA) A razão entre a área da base de uma pirâmide regular de base quadrada e a área de uma de suas faces é. Sabendo que o volume da pirâmide é de 1m, temos que a altura da pirâmide mede, em metros: 1 b) e) 5 1. (ITA) Considere uma pirâmide regular de altura igual a 5cm e cuja base é formada por um quadrado de área igual a 8cm. A distância de cada face desta pirâmide ao centro de sua base, em cm, é igual a: Prof. Paulo Cesar Costa 15 b) (FUVEST-SP) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a: 5/9 b) /9 1/ /9 e) 1/9 6. (ENEM) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por blocos de mesma altura - troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior -, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. 7 5 e). (ITA) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 10m. A que distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original? m b) m 5m 6m e) 8m Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? 156 cm b) 189 cm 19 cm 16 cm e) 50 cm. (ITA) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 60π cm, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 5 cm, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm, 18 7 b) e) (ITA) Um tetraedro regular tem área total igual a 6 cm. Então sua altura, em cm, é igual a: b) e). Um triedro tri-retângulo de vértice O é seccionado por um plano α, de modo que a interseção obtida é um triângulo equilátero ABC de lado 6cm. A distância, em cm, do vértice O do triedro ao plano α é igual a: b) 6 e) 8. (UFES) Um reservatório de água tem a forma de uma pirâmide regular de base quadrada. O vértice do reservatório está apoiado no solo, e seu eixo está posicionado perpendicularmente ao solo. Com o reservatório vazio, abre-se um torneira que despeja água no reservatório com uma vazão constante. Após 10 minutos, o nível da água, medido a partir do vértice, atinge ¼ da altura do reservatório. O tempo que ainda falta para encher completamente o reservatório é de: 6 horas e 10 minutos. b) 8 horas e 15 minutos. 8 horas e 0 minutos. 10 horas e 0 minutos. e) 10 horas e 0 minutos.

4 9. (ITA) Um tronco de pirâmide regular tem por bases triângulos equiláteros, cujos lados medem, respectivamente, cm e cm. Se a aresta lateral do tronco mede cm, então o valor de sua altura h, em cm, é tal que: 7 < h < 8 b) 6 < h < 7. (UFRJ) O sólido representado na figura é formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular cuja base coincide com a face superior do cubo. O vértice O do cubo é a origem do sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxyz. Os vértices P, R e O' pertencem respectivamente aos semi-eixos positivos Ox, Oy e Oz. O vértice S tem coordenadas (,,8). < h < 1< h < e) < h < 0. (UNIFOR) Uma pirâmide regular tem 6 cm de altura e a aresta da base mede 8cm. Se os ângulos internos da base e de todas as faces laterais dessa pirâmide somam 1.800º, o seu volume, em centímetros cúbicos, é: 576 b) e) (UFMG) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixa cúbicas, cujo lado mede a. Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de de base quadrada, cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma, a/. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que, com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, enche-se um total de: 6 moldes. b) 8 moldes. moldes. moldes.. (UFSM) Um técnico agrícola utiliza um pluviômetro na forma de pirâmide quadrangular, para verificar o índice pluviométrico de uma certa região. A água, depois de recolhida, é colocada num cubo de 10cm de aresta. Se, na pirâmide, a água atinge uma altura de 8cm e forma uma pequena pirâmide de 10cm de apótema lateral, então a altura atingida pela água no cubo é de, cm b),8 cm,8 cm, cm e) 6,7 cm Considere o plano z = k que divide o sólido em duas partes de volumes iguais. Determine o valor de k. 5. (UNIRIO) Um engenheiro está construindo um obelisco de forma piramidal regular, onde cada aresta da base quadrangular mede m e cada aresta lateral mede 6m. A inclinação entre cada face lateral e a base do obelisco é um ângulo α tal que: 60 < α < 90 b) 5 < α < 60 0 < α < 5 15 < α < 0 e) 0 < α < (UFC) Em um tetraedro regular VABC, seja M o ponto médio da aresta BC; seja α o ângulo cujo vértice é M e cujos lados são os segmentos da reta MA e MV. Então cos α é igual a: 1/ b) 1/ / 5/6 e) 7/8 7. (UNESP) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura..(ufes) Seja VABC uma pirâmide de vértice V e base ABC. O plano que passa pelo ponto C, pelo ponto médio M da aresta VA e pelo ponto médio N da aresta VB, divide-a em duas de vértice C, uma de base triangular e volume V 1 e outra de base quadrangular e volume V. A razão V 1 /V é 1/8 b) 1/ 1/ /8 e) 1/ Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá m e que a altura da pirâmide será de m, o volume de concreto (em m ) necessário para a construção da pirâmide será 6. b) e).

5 8. (FUVEST) A figura adiante representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos equiláteros de lado a e que E é o ponto médio do segmento AB. Se a medida do ângulo VÊC é 60, então o volume da pirâmide é: b) e) Prof. Paulo Cesar Costa ( l ) / ( l ) / 8 ( l ) / 1 ( l ) / 16 ( l ) / 18. (UFES) O comprimento do lado da base de uma pirâmide regular de base quadrada é igual ao raio de um cilindro circular reto. A interseção da pirâmide com o plano passando pelo seu vértice e por uma diagonal de sua base tem a mesma área que a interseção do cilindro com um plano passando pelo seu eixo. A razão Vc/Vp entre os volumes Vc do cilindro e Vp da pirâmide é b) 8 e) 9. (UFES) Um grupo de esotéricos deseja construir um reservatório de água na forma de uma pirâmide de base quadrada. Se o lado da base deve ser /5 da altura e o reservatório deve ter capacidade para 70m, qual deverá ser a medida aproximada do lado da base? 8,7 m b) 1,0 m 1,9 m 15,0 m e) 16,0 m.(unesp) A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura H. 0. (FUVEST) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é: 90 b) e) 10 Sabendo-se que H=cm, AB=6cm, BC=cm e a altura h=ae=6cm, determine: o volume da pirâmide EA'B'C'D'; b) o volume do tronco de pirâmide. 1. (FUVEST) A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na figura tem volume. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC, então o volume da pirâmide de base AMCD e vértice V é:. (CESGRANRIO) O volume da pirâmide de base quadrada, cujas oito arestas tem o mesmo comprimento a, é: a a b) 6 a 1 b) 1,5,5 e) e) a a 8

6 5. (UNESP) Queremos seccionar uma pirâmide quadrangular reta por um plano paralelo à base de modo a obter um outra com 1/ do volume da maior. Se a altura da menor é h e da maior H, temos que h é igual a: 50. (UFSCAR) Uma pirâmide de base quadrada com área superficial total igual a 8m tem a aresta da base medindo m. O volume do tronco de pirâmide de altura m é: H H b) H( ) H H e) 9 8 b) 7 19 m m m 10 m e) 9 m 6. (PUC) Um projetor está a uma distância de metros de uma parede. A que distância da parede deve ser colocado o projetor, para que a área de um quadro projetado aumente 50%? 6 m b) m m,5 m e) m 51. (MAPOFEI) Uma pirâmide de base quadrada é cortada por um plano paralelo à base. Se a área dessa seção plana é um terço da área da base, calcular a relação entre os volumes das. 7. (ITA) Consideremos uma pirâmide regular cuja base quadrada tem área que mede 6 cm. Numa seção paralela à base que dista 0mm desta inscreve-se um círculo. Se a área do círculo mede π cm, então a altura desta pirâmide mede: 1cm b) cm cm 6cm e) 60cm 5. (MAPOFEI) Secciona-se uma pirâmide regular de altura h por um plano paralelo à base, a uma distância x do vértice. Pede-se x de modo que as áreas laterais da pirâmide de altura x e do tronco de pirâmide de altura h x sejam iguais. 8. (ITA) Cortando-se uma pirâmide regular de altura h, com plano paralelo à base, resulta uma segunda pirâmide. Se a razão entre as áreas das superfícies laterais das for r, a que distância do vértice deve passar o plano? h r b) h r r h r h e) n.d.a. 9. (UNESP) É dada uma pirâmide de altura H, H = 9cm, e volume V, V = 108cm. Um plano paralelo à base dessa pirâmide corta-a determinando um tronco de pirâmide de altura h, h = cm. O volume do tronco de pirâmide resultante é: 6cm b) 8cm 5cm 7cm e) 76cm GABARITO 01. C 1. C. A. C. B 0. B 1. E. B. 8/ 5. C 0. B 1. B 5. D 5. A 6. A 0. E 15. D 6. B 6. A 7. D 05. A 16. D 7. A 7. D 8. B 06. B 18. A 8. D 8. D 9. E 08. E 19. A 9. A 9. B 50. A 09. B 0. C 0. A 0. A 51. / E 1. B 1. C 1. B 5. h / 11. A. C. C. D 5 a h ( - h) /cm ; b) 10/cm 1 16