Colégio Santa Dorotéia

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1 Colégio Santa Dorotéia Área de Matemática Disciplina: Matemática Série: 2 a - Ensino Médio Professor: Elias Bittar Atividades para Estudos Autônomos Data: 11 / 5 / 2016 Caro(a) aluno(a), Aluno(a): N o : Turma: O momento de revisão deve ser visto como oportunidade de reconstruir conhecimentos necessários à continuação do processo de aprendizagem. Naturalmente a realização dessas atividades exigirá de você um envolvimento maior e mais comprometimento com o ato de aprender. Muitas vezes, a retomada de alguma informação que não esteja bem apreendida poderá ajudá-lo(a) a seguir com maior facilidade. ESTRATÉGIAS DE ESTUDO: Você deve estudar cada conteúdo proposto no roteiro e fazer os exercícios anexos. Refaça os exercícios que foram propostos ao longo da etapa, listas de exercícios e atividades do seu caderno consultando-os sempre que for necessário. Refaça as questões propostas nos módulos. Escolha um lugar sossegado em sua casa para que nada interrompa os seus estudos. Leve a sério esse horário de estudo para que este aprendizado seja bem aproveitado. Identifique os exercícios em que teve maior dificuldade para uma revisão posterior. Reveja o seu caderno de anotações, atividades, etc. Se você estiver mesmo empenhado em aprender, não encontrará barreiras. Depois, conte conosco. Anote suas dúvidas e traga-as para uma análise em classe. NÃO TENHA RECEIO DE PERGUNTAR! Se você encarar esta tarefa como um desafio, com certeza, será vitorioso. PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO PARA RECUPERAÇÃO DA 1ª ETAPA DE 2016: Uma avaliação individual com 6 questões abertas, no valor de 30 pontos. Sucesso! Elias Bittar CONTEÚDO DA AVALIAÇÃO: Geometria plana: o Áreas de figuras planas; o Triângulos retângulos; o Semelhança de triângulos. Sólidos geométricos: o Prismas; o Pirâmides; o Cilindros. O professor irá disponibilizar uma aula para esclarecer dúvidas na semana de 30 de maio a 6 de junho. 1) (ITA) Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D são, respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. As medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem uma progressão aritmética cuja soma é 12 cm. Sabe-se que o volume da pirâmide ABCF é igual a 10 cm 3. CALCULE: a) as medidas das arestas do paralelepípedo. (3, 4, 5) b) o volume e a área total do paralelepípedo. (V = 60 cm 3 ; A T = 94 cm 2 ) Colégio Santa Dorotéia - BH 1

2 2) (Faculdade Albert Einstein) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo tal que BC = 6 cm e M é ponto médio do lado AB. Se os semicírculos no interior do retângulo são dois a dois tangentes entre si, nos pontos M, P e R, então CALCULE a área de ABCD, em centímetros quadrados. (36 cm 2 ) 3) (Acafe) Na figura, AM = 8 cm, BM = 10 cm, BC = 54 cm AH = 45/2 cm e MN // BC. Em relação (aproximada) entre a área do trapézio BCMN e a área do triângulo AMN é correto afirmar que: (a) a) a área do trapézio é o quádruplo da área do triângulo. b) diferem entre si em 360 cm 2. c) o trapézio é 200% maior que o triângulo. d) a razão entre as áreas é 13/5. 4) (UFES) Seja ABC um triângulo retângulo de área 24 cm 2, com ângulo reto no vértice A e lado AB medindo 8 cm. Sejam D e E pontos de BC. CALCULE as medidas de a) BC; (10 cm) b) AH, sendo H o pé da altura de ABC relativa ao vértice A; (4,8 cm) c) AD, se a área do triângulo ABD for 12 cm 2 ; (5 cm) d) AE se a medida de BE for 4 cm. ((12 )/5 cm) 5) (UFCE) Na figura abaixo, as bases do trapézio isósceles ABCD medem 10 cm e 30 cm e a medida do ângulo BÂD é 60º. Além disso, AE = EB. a) DETERMINE a altura do trapézio ABCD. (10 cm) b) ENCONTRE a medida DE. (5 cm) c) CALCULE a medida da área do triângulo DCE. (50 cm 2 ) 2 Colégio Santa Dorotéia - BH

3 6) (UFMG) Na figura a seguir, o triângulo ABC tem área igual a 126. Os pontos P e Q dividem o segmento AB em três partes iguais, assim como os pontos M e N dividem o segmento BC em três partes iguais. Com base nessas informações, a) DETERMINE a área do triângulo QBN. (14 u.a.) b) DETERMINE a área do triângulo sombreado PQM. (28 u.a.) 7) (Unesp) Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21 dm, com alta velocidade inicial e passa rente à rede, a uma altura de 9 dm. Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de 120 dm da rede, a que distância da mesma, em metros, ela atingirá o outro lado da quadra? (9 m) 8) (IFPE - Adaptada) Na residência de Laércio, há uma caixa d água vazia com capacidade de 5 metros cúbicos. Ele vai encher a caixa trazendo água de um poço próximo, em uma lata cuja base é um quadrado de lado 40 cm e cuja altura é 50 cm. Qual é o número mínimo de vezes que Laércio precisará ir ao poço até encher integralmente a caixa d água? (63 latas) 9) (PUC-RS-Adaptada) Um paralelepípedo possui dimensões 3 cm, 8 cm e 9 cm. CALCULE a medida, em centímetros, da aresta de um cubo que possui volume igual ao do paralelepípedo. (6 cm) 10) (UERJ) Um cubo de aresta EF medindo 8 dm contém água e está apoiado sobre um plano α de modo que apenas a aresta EF esteja contida nesse plano. A figura a seguir representa o cubo com a água. Considere que a superfície livre do líquido no interior do cubo seja um retângulo ABCD com área igual a 32 5 dm 2. DETERMINE o volume total, em dm 3, de água contida nesse cubo. (128 dm 3 ) Colégio Santa Dorotéia - BH 3

4 11) (PUC-RJ) De uma folha de papelão de lados de medidas 23 e 14 foram retirados, dos quatro cantos, quadrados de lado de medida 3 para construir uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas. a) DETERMINE o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. (74 u.c.) b) DETERMINE a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. (286 u.a.) c) DETERMINE o volume da caixa formada. (408 u.v.) 12) (Unicamp 2005) A figura a seguir apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm. a) CALCULE o volume do prisma. (375 cm 3 ) b) ENCONTRE a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A'. (50 cm) 13) (Unicamp) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura adiante. Dados: AB = 6 m AC = 1,5 m CD = 4 m. 4 Colégio Santa Dorotéia - BH

5 a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa? (1,2 m) b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da caixa, quantos litros de água podem ser armazenados na caixa? (1 468,8L) 14) (UFPR) Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide? cm 15) (UPF-Adaptada) Nesta figura estão representados dois poliedros de Platão: o cubo ABCDEFGH e o octaedro MNOPQR. Cada aresta do cubo mede 6 cm e os vértices do octaedro são os pontos centrais das faces do cubo. CALCULE a área lateral e o volume do octaedro. 2 3 ( 36 3 cm e 36 cm ) 16) (AMAN-Adaptada) Na figura ao lado, está representado um sólido geométrico de 9 faces, obtido a partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas desse sólido têm medida l, CALCULE as medidas da altura (distância do ponto V à face ABCD) e da área total desse sólido h = l e At = 2 l 2 ( 3 + 5) Colégio Santa Dorotéia - BH 5

6 17) (Unesp) Há anos, o Imperador Quéops do Egito mandou construir uma pirâmide regular que seria usada como seu túmulo. As características e dimensões aproximadas dessa pirâmide hoje, são: 1ª) sua base é um quadrado com 220 metros de lado; 2ª) sua altura é de 140 metros. Suponha que, para construir parte da pirâmide equivalente a 1, m 3, o número médio de operários utilizados como mão de obra gastava em média 60 dias. Dados que 2,2 2 1,4 = 6,78 e 2,26 1,88 = 1,2 e mantidas estas médias, determine, aproximadamente, o tempo necessário para a construção de toda pirâmide, medido em anos de 360 dias. (20 anos) 18) (UFPE-Modificada) Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual à metade da área lateral. Se a altura da pirâmide mede 6 cm, CALCULE o volume da pirâmide, em cm 3. Dado: use a aproximação: 1,73. (V = 83,04 cm 3 ) 19) (UFPE-Modificada) Os vértices de um tetraedro são um dos vértices de um cubo de aresta 30 cm e os três vértices ligados a ele por uma aresta do cubo, como ilustrado na figura abaixo. Se V é o volume do tetraedro, em cm 3, DETERMINE o valor de V. (V = cm 3 ) 20) Numa pirâmide hexagonal regular, a aresta da base mede 2 cm. Sabendo-se que a área lateral dessa pirâmide é de 30 cm 2, CALCULE o volume e a área total dessa pirâmide. (V = 2 cm 3 ; A T = 6(5 + ) m 2 ) 21) (Imed-Adaptada) Um reservatório de água tem o formato de um cilindro reto de volume igual a 54π m 3. Supondo que esse cilindro está inscrito em um cubo de aresta igual ao dobro do raio, CALCULE o volume desse cubo, em m 3. (216 m 3 ) 6 Colégio Santa Dorotéia - BH

7 22) (UEM) Um produtor de grãos armazena sua produção em um silo na forma de um cilindro reto de base circular com 3 metros de altura e 1 metro de raio. Para otimizar os custos de armazenamento, o produtor quer saber como alterar as medidas do silo para melhorar a relação entre a capacidade de armazenamento (volume do silo) e a quantidade de material utilizado na sua fabricação (área lateral do silo, incluindo as áreas da base e da tampa). Considerando essa situação, ASSINALE o que for correto sobre as ações do produtor. 01) Se ele dobrar o raio e diminuir a altura pela metade, terá um silo com o mesmo volume e com a mesma área lateral. 02) Se ele dobrar apenas o raio, o novo silo terá o dobro do volume. 04) Se ele dobrar apenas a altura, o novo silo terá o dobro do volume. 08) Se ele diminuir o raio e a altura pela metade, então, proporcionalmente ao silo original, o volume irá diminuir mais do que a área lateral. 16) É impossível alterar o volume do silo original sem alterar a área lateral. (04, 08) 23) (UFPR) Um reservatório possui internamente o formato de um cilindro com 3,4 m de diâmetro e 10 m de comprimento, conforme indica a figura. a) Qual o volume total que esse reservatório comporta? (28,9π m 3 ) b) Num certo momento, a altura do líquido no interior do reservatório é de 2,5 m, como indica a figura. Qual a área da superfície do líquido exposta ao ar dentro do reservatório? (30 m 2 ) 24) (UFG) Observe a charge a seguir: Colégio Santa Dorotéia - BH 7

8 Considerando-se que as toras de madeira no caminhão são cilindros circulares retos e idênticos, com 10 m de comprimento e que a altura da carga é de 2,7 m acima do nível da carroceria do caminhão, então a carga do caminhão corresponde a um volume de madeira de, aproximadamente, X m 3. CALCULE o valor de X. Dados: 3 1,7 e π 3,1 (X = 46,5 m 3 ) 25) (UFPB-Adaptada) Uma fábrica produz embalagens metálicas fechadas, em formato de um prisma reto, medindo 20 cm de altura, cuja base é um quadrado de lado 10 cm. Para diminuir o desperdício de material, técnicos da fábrica avaliaram que, se as embalagens fossem produzidas em formato de um cilindro fechado, com a mesma altura e volume da embalagem em formato de prisma, haveria uma economia de material usado. Com base nessa avaliação, CALCULE, em porcentagem, a economia da fábrica com o material utilizado ao fazer as embalagens em formato de cilindro. Use: π = 1,77 (9,2%) 8 Colégio Santa Dorotéia - BH