1Q1. Considere o ponto A = (1, 2, 3), a reta r : x+1

Transcrição

1 Com exceção da Questão 15, em todas as questões da prova considera-se fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E), onde E é uma base ortonormal positiva. 1Q1. Considere o ponto A = (1, 2, 3), a reta r : x+1 3 = z 2 e o plano π : x 2y + 3z = 0. Sabendo-se que s é uma reta que passa por A, é concorrente com r e é paralela ao plano π, pode-se afirmar que uma equação vetorial para s é: (a) s : X = (1, 2, 3) + λ(2, 5, 4), λ R (b) s : X = ( 7, 5, 1) + λ( 1, 1, 1), λ R (c) s : X = ( 1, 2, 3) + λ(4, 5, 2), λ R (d) s : X = (1, 2, 3) + λ(2, 1, 0), λ R (e) s : X = ( 7, 8, 1) + λ(4, 5, 2), λ R. 2 = y 1 1Q2. Sejam n 1, n 2 vetores não nulos normais aos planos π 1 e π 2, respectivamente. Seja r uma reta e u um vetor não nulo paralelo a r. Considere as seguintes três afirmações: (I) se a interseção de π 1 e π 2 é uma reta concorrente com r então os vetores n 1, n 2 e u são linearmente independentes. (II) Se π 1 π 2 r é uma reta então os vetores n 1, n 2 e u são linearmente dependentes. (III) Se os vetores n 1, n 2 e u são linearmente independentes então a interseção π 1 π 2 r possui um único ponto. Assinale a alternativa correta: (a) apenas a afirmação (II) é falsa (b) apenas as afirmações (II) e (III) são falsas (c) apenas a afirmação (I) é falsa (d) apenas a afirmação (III) é falsa (e) as afirmações (I), (II) e (III) são todas falsas. 1Q3. O simétrico do ponto P = ( 3, 2, 1) em relação ao plano: π : x y + z 6 = 0 é um ponto cuja soma das coordenadas é: (a) 20 3 (b) 50 3 (c) 4 3 (d) 10 3 (e) 7 3.

2 1Q4. Sejam a, b R e considere o sistema linear: x 2y + z 2w = a, x y + z w = b, 2x 5y + 2z 5w = 0, com incógnitas x, y, z e w. Pode-se afirmar que: (a) para quaisquer a, b R o sistema possui uma única solução (b) existem a, b R tais que o sistema possui uma única solução (c) para quaisquer a, b R o sistema possui infinitas soluções (d) existem a, b R tais que o sistema possui infinitas soluções (e) para quaisquer a, b R o sistema não possui solução. 1Q5. Considere as retas: x = 1 + λ, r : y = λ, z = λ, Os pontos de r que distam 3 da reta s são: { x + 1 = 0, λ R, s : y z = 0. (a) ( 1 + 3, 3, 3) e ( 1 3, 3, 3) (b) (3, 4, 4) e ( 4, 3, 3) (c) ( 1 + 3, 3, 3) e ( , 3 3, 3 3) (d) (2, 3, 3) e (3, 4, 4) (e) (2, 3, 3) e ( 4, 3, 3). 1Q6. O plano π passa pela origem do sistema de coordenadas e é paralelo às retas: r : x 1 = 2y + 1 = z 3, s : x + 2 = y + 1 = 2z + 2. A distância do ponto P = (2, 1, 3) ao plano π é: (a) 6 65 (b) 6 65 (c) 4 65 (d) 4 65 (e) Q7. A respeito das retas reversas: r : X = (0, 0, 0) + λ(1, 1, 2), λ R, s : X = (1, 5, 5) + µ( 1, 1, 1), µ R,

3 a afirmação falsa é: (a) uma equação geral do plano que contém a reta r e é paralelo à reta s é x y z = 0 (b) um vetor diretor da reta perpendicular a r e a s é (1, 1, 0) (c) a distância d(r, s) é 3 2 (d) a reta t : X = (1, 1, 2) + α( 1, 1, 1), α R é concorrente com r e é paralela a s (e) a projeção ortogonal da origem do sistema de coordenadas sobre a reta s é o ponto P = (4, 2, 2). 1Q8. Das alternativas abaixo, aquela que contém uma afirmação falsa é: (a) ( u v) w = u ( v w), para quaisquer u, v, w V 3 (b) [ u, v, w] = [ u, v, 2 u + 3 v + w], para quaisquer u, v, w V 3 (c) [ u, v, w] = [ u, w, v], para quaisquer u, v, w V 3 (d) dados u, v, w V 3, se [ u, v, w] > 0 então F = ( u, v, w) é uma base positiva de V 3 (e) [λ u, λ v, λ w] = λ[ u, v, w], para todos u, v, w V 3 e todo λ R. 1Q9. Considere as retas: r : x 1 2 = y = z + 2, s : (1, 3, 2) + λ(2, 1, 1), λ R. A única reta perpendicular a r e a s corta s no ponto: (a) (1, 3, 2) (b) (3, 4, 3) (c) ( 7 5, 16 5, 11 ) 5 (d) ( 2, 7 2, 2) 5 (e) ( 13 5, 19 5, 14 5 ). 1Q10. Sejam a, b R e considere o sistema linear: x 1 + x 2 + x 3 = 1, 2x 1 + ax 2 x 3 = 2a, 3x 1 + 2x 2 + bx 3 = 0, com incógnitas x 1, x 2 e x 3. Qual das alternativas contém as condições sobre a e b que tornam esse sistema impossível? (a) (2 a)(b + 3) + 1 = 0 e a 1 (b) (2 a)(3 b) 3 = 0 e a 4 (c) ab 3a 2b + 7 0

4 (d) (2 a)(b + 3) 0 e ab 3a 0 (e) a 1 e b = 2a. 1Q11. Se π, π são planos distintos paralelos ao plano x + 2y + z 1 = 0 que distam 6 2 do ponto P = (1, 0, 1) então equações gerais para π e π são: (a) x + 2y + z + 1 = 0 e x + 2y + z 5 = 0 (b) x + 2y + z 2 = 0 e 2x + 4y + 2z + 1 = 0 (c) 3x + 6y + 3z 2 = 0 e x + 2y + z + 1 = 0 (d) 2x + 4y + 2z + 1 = 0 e x + 2y + z 5 = 0 (e) 2x + 4y + 2z 1 = 0 e x + 2y + z + 1 = 0. 1Q12. Seja π um plano que contém a reta: x = 1, r : y = λ, λ R, z = λ, e que dista 1 do ponto C = (0, 1, 0). Pode-se afirmar que uma equação geral para π é: (a) π : x y + z + 1 = 0 ou π : x + 1 = 0 (b) π : y z = 0 ou π : x 2y + 2z + 1 = 0 (c) π : x 1 = 0 ou π : x + 2y 2z + 1 = 0 (d) π : x + 1 = 0 ou π : x + 2y 2z + 1 = 0 (e) π : x + 1 = 0 ou π : x 2y + 2z + 1 = 0. 1Q13. Considere os planos: π 1 : x 3y + 2z = 2, π 2 : 2x + y + z = 1, e a reta r = π 1 π 2. O valor de m R para o qual a reta r é concorrente com a reta s : X = (1, 1, 2) + λ( 1, 2, m), λ R é: (a) 1 3 (b) 2 (c) 3 (d) 1 (e) Q14. Seja ABCD um tetraedro cujo volume é igual a 12. Se M, N são pontos tais que 2 BM = BD e 3 DN = DC então o volume do tetraedro ABMN é igual a: (a) 6

5 (b) 2 (c) 8 (d) 3 (e) 4. 1Q15. Considere um cubo ABCDEF GH como na figura abaixo: H G E F D C A B e sejam Σ = (H, E), Σ = (D, E ) sistemas de coordenadas, onde: E = ( ) F C, AC, BF, E = ( ) EF, AD, GC. Se um ponto P tem coordenadas (3, 1, 2) no sistema Σ então suas coordenadas no sistema Σ são: (a) ( 1, 2, 0) (b) ( 1, 2, 0) (c) (1, 2, 0) (d) (1, 2, 0) (e) (0, 1, 2). 1Q16. A medida em radianos do ângulo entre os vetores u e v é π 3 e o vetor w é ortogonal a u e a v. Sabendo-se que u = 2, v = 1 e w = 3 e que ( u, v, w) é uma base negativa de V 3, pode-se concluir que [ u, v, w] é igual a: (a) 3 3 (b) 6 (c) 3 (d) 3 (e) Q17. Sejam u, v V 3 vetores linearmente independentes e m R. Considere os planos de equações: π 1 : X = (3, 1, 2) + λ( u + v) + µ( u v), π 2 : X = (1, 2, 1) + λ( u + m v) + µ(m u v).

6 Pode-se afirmar que: (a) se m = 1 então π 1 = π 2 (b) para todo m R não nulo, os planos π 1 e π 2 são distintos (c) para todo m R, existe um plano π 3 que é paralelo a π 1 e a π 2 (d) para todo m R, a interseção de π 1 e π 2 é uma reta (e) apenas para m = 1 tem-se que os planos π 1 e π 2 são distintos. 1Q18. Considere as retas: { x z = 3, r : 2x + y = 1, Pode-se afirmar que: s : x 2 = y 5 = z. (a) r s = {(0, 5, 0)} (b) r e s são reversas (c) r = s (d) r s = {(3, 7, 0)} (e) r e s são paralelas distintas. 1Q19. Sabe-se que A = (2, 1, 2) é um vértice de um quadrado que possui uma diagonal contida na reta r : x 1 = y 1 2 = z 1. Pode-se afirmar que outro vértice desse quadrado é: (a) ( 2 3, 7 3, 2 3) (b) ( 4 3, 5 3, 4 3) (c) ( 4 3, 5 3, 4 3) (d) ( 2 3, 1 3, 2 3) (e) ( 2 3, 2 3, 2 3). 1Q20. Seja v = (2, 2, 1) V 3 e considere o plano π : x + y + 2z = 5. Se p é um vetor paralelo a π, q é um vetor ortogonal a π e v = p + q, então p é igual a: (a) p = (3, 1, 2) (b) p = (0, 2, 1) (c) p = (1, 1, 1) (d) p = (2, 0, 1) (e) p = (1, 1, 0).