Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática parte I. Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR

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2 1. Conceitos Primitivos e Postulados L1. Noções 1. Conceitos primitivos: Conceitos de ponto, reta e plano são conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial; Temos um conhecimento intuitivo decorrentes da observação e experiência; Notação: Pontos: letras maiúscula do nosso alfabeto Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto Planos: letras minúsculas do alfabeto grego 2

3 1. Conceitos Primitivos e Postulados 1.2 Postulados (conceito) Afirmação usada em uma teoria como ponto de partida, não necessitando, portanto, de demonstração para estabelecer sua validade; Servem de base para o desenvolvimento de teorias; Axiomas possuem o mesmo significado. 1.3 Espaço: Conjunto de todos os pontos. Nesse conjunto, desenvolve-se a Geometria Espacial. 3

4 1. Conceitos Primitivos e Postulados 1.4 Proposições (propriedades) geométricas: São aceitas mediante demonstrações. As primeiras proposições, as proposições primitivas são aceitos sem demonstração; Postulado é uma proposição aceita como verdadeira e que relaciona conceitos primitivos; O estudo da geometria inicia com postulados que relacionam pontos, retas e planos. 4

5 1. Conceitos Primitivos e Postulados 1.5 Postulados: L3. Postulados da existência P1) Existe reta e numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. P2) Existe plano e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos. 5

6 1. Conceitos Primitivos e Postulados L4 Postulado da determinação P3) Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. P4) Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles. 6

7 1. Conceitos Primitivos e Postulados L5. Postulado da inclusão P5) Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então ela está contida no plano. 7

8 1. Conceitos Primitivos e Postulados 1.6 Definições: L6 Retas concorrentes Duas retas r e s são concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto em comum. L7 Retas paralelas Duas retas r e s são r e s são paralelas, se e somente se, elas são coincidentes ou elas são coplanares e não têm pontos em comum. 8

9 1. Conceitos Primitivos e Postulados Ex1.) Demonstre que em um plano existem infinitas retas. Seja um plano e dois pontos A e B no plano; Esses pontos determinam uma reta r que também está contida em ; Considere um terceiro ponto C em, mas fora da reta que passa por A e B; A e C determinam uma reta s também em ; B e C determinam uma reta t também em ; Repetindo esse processo para infinitos pontos temos infinitas retas. 9

10 1. Conceitos Primitivos e Postulados Ex2.) Quantas retas existem no espaço? Demonstre. Sejam dois pontos A e B no espaço; Esses pontos determinam uma reta r; Considere um terceiro ponto C do espaço fora da reta r; Os pontos A e C determinam uma reta s; Os pontos B e C determinam uma reta t; Sendo assim, repetindo esse processo para infinitos pontos construímos infinitas retas. (faça o desenho) 10

11 1. Conceitos Primitivos e Postulados Ex5.) Mostre que, três retas duas a duas concorrentes, não passando por um mesmo ponto, estão contidas no mesmo plano. Sejam r, s e t as retas tais que r s = {C}, r t = {B}, s t = {A} e A, B e C pontos não-colineares. Pelo postulado P4 (determinação), existe o plano = (A, B, C); Pelo postulado da inclusão, temos que (A B; A,B ) t Analogamente temos s e r 11

12 2. Determinação de planos 2.1 Modos de obtenção de planos Existem quatro modos de determinar um plano: 1. Através de três pontos não colineares; 2. Por uma reta e um ponto fora dela; 3. Por duas retas concorrentes; 4. Por duas retas paralelas distintas. O primeiro modo é um postulado e os demais são teoremas. 12

13 L9 Teorema 1: 2. Determinação de planos Se uma reta e um ponto são tais que o ponto não pertence à reta, então eles determinam um único plano que os contém. 13

14 2. Determinação de planos Teorema 1 (continuação): 14

15 2. Determinação de planos Teorema 1 (continuação da 1ª parte existência): 15

16 2. Determinação de planos Teorema 1 (continuação - 2ª parte unicidade): 16

17 2. Determinação de planos L10. Teorema 2: Se duas retas são concorrentes, elas determinam um único plano que as contém. 17

18 2. Determinação de planos Teorema 2 (continuação): 18

19 2. Determinação de planos Teorema 2 (continuação - 2ª parte unicidade): 19

20 2. Determinação de planos L11. Teorema 3: Se duas retas são paralelas entre si e distintas, então elas determinam um único plano que as contém. 20

21 2. Determinação de planos Teorema 3 (continuação - 2ª parte unicidade): 21

22 2. Determinação de planos Ex7) Quantos planos passam por uma reta? 22

23 2. Determinação de planos Ex10) Se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contém uma delas e um ponto da outra, contém a outra. Solução: Sejam: r e s retas, P um ponto de s e o plano (r, P); As retas r e s determinam um plano. Temos então que: ( = (r, s), P s) = (r, P) Se = contém s, então o plano contém a reta s. = 23

24 L12 Retas Reversas 3. Posições das retas Definição Duas retas r e s são chamadas de reversas se, e somente se, não existe plano que as contenha. 24

25 3. Posições das retas L13. Quadrilátero Reverso Definição Um quadrilátero é chamado reverso se, e somente se, não existe plano contendo seus quatros vértices. 25

26 3. Posições das retas L15. Posição Relativa de duas retas Dadas duas retas distintas r e s, ou elas são concorrentes, ou são paralelas ou são reversas. 26

27 4. Interseção de planos L16. Postulado da interseção Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então eles têm ao menos um outro ponto em comum. (α β, P α e P β) ( Q P Q, Q α e Q β) Esse postulado gera o teorema a seguir. L17. Teorema da interseção Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseção é dada por uma única reta que passa por esse ponto. (ver dem.) (α β, P α, P β) ( i α β = i e P i) 27

28 Geometria Espacial Introdução 4. Interseção de planos L18. Planos Secantes Definição: Dois planos distintos que se interceptam (se cortam) são chamados planos secantes (ou concorrentes). A reta comum é a interseção desses planos ( traço de um plano no outro). Observações: Para obter a interseção de dois planos distintos, basta obter dois pontos distintos comuns a esses planos; Para provar que três ou mais pontos no espaço são colineares (mesma linha), basta provar que eles pertencem a dois planos distintos. (ver exerc.) 28

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