Posições de Retas. Algumas definições sobre retas foram sistematizadas por Euclides, por volta de 300a.C.

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1 Posições de Retas Introdução: Conceitos Primitivos Algumas definições sobre retas foram sistematizadas por Euclides, por volta de 300a.C. A partir dessas definições estabeleceram-se os termos geométricos fundamentais e conceitos primitivos: PONTO RETA PLANO Ponto: Representado por uma marca feita com a ponta do lápis sobre o papel. É algo sem dimensão, sem massa, sem volume e é indicado por uma letra maiúscula do alfabeto. Reta: Representada por uma linha, é algo sem espessura, sem começo e sem fim. Indicada por uma letra minúscula do nosso alfabeto Plano: Representado por uma superfície plana, sem espessura e que se estende infinitamente em todas as direções. Representado por uma letra minúscula do alfabeto grego. Na Figura 1 podem-se observar esses três elementos. Figura 1 - Os pontos A, B, C e D representam os vértices do retângulo. - A reta r contém a diagonal do retângulo. 7

2 Na Figura 2 o plano α contém o triângulo M,N e P. Figura 2 Figura 3 Plano, reta e pontos no R 3 A partir da análise da Figura 3 conclui-se: - O plano β contém os vértices E, F, G e H e a face FEGH do cubo. - A reta s contém a aresta do cubo. - Os pontos E, F, G, H, I, J, K e L são os vértices do cubo. 8

3 Postulados Postulados, ao contrário das proposições, são afirmações verdadeiras sem necessidade de demonstração. Vejamos alguns postulados: 1. Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. Figura 4 - Reta e pontos Dessa forma, conclui-se que uma reta é formada a partir da união de infinitos pontos, alinhados em uma determinada direção. 2. Por um ponto passam infinitas retas. Figura 5 Na figura 5 tem-se o ponto A, passando por ele algumas retas. Por este único ponto podem-se passar infinitas retas. 3. Dois pontos distintos determinam uma reta. 9

4 Figura 6 APENAS uma reta passa por dois pontos distintos. 4. Em um plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos. Figura 7 Na Figura 7 pode-se observar o plano β e alguns pontos. Destaca-se que alguns desses pontos estão no plano e outros não. Os pontos que estão no plano são: Q; R; V; U; T e S. Os demais pontos, Z e W, estão fora do plano. 5. Toda reta que tem dois pontos distintos em um plano está inteiramente contida nesse plano. Figura 8 10

5 Como os pontos U e V estão no plano, e a reta r passa por estes pontos, pode-se afirmar que esta reta também está contida no plano. TIPOS DE RETAS Retas coplanares Considerando duas restas, r e s. Se existir um plano que contenha r e s, dizemos que essas retas são coplanares. Figura 9 Na figura 9 observa-se que as retas r e s pertencem ao plano coplanares., logo, são Retas Concorrentes As retas são concorrentes quando possuem um único ponto em comum. 11

6 Figura 10 Na figura 10, este ponto está destacado na cor vermelha. Retas paralelas São retas não tem nenhum ponto em comum, jamais se tocam. Conforme a Figura 11, as retas r, s, t e u são paralelas. Retas coincidentes Figura 11 Esse tipo de reta ocorre quando TODOS os pontos de uma reta coincidem com os pontos da outra. 12

7 Figura 12 Na figura 12 pode-se observar que a reta r sobrepõe a reta s. Se elas se sobrepõem, elas se coincidem. Retas Transversais Uma reta t é dita transversal quando concorre com r e s, ao mesmo tempo. Figura 13 Quatro desses oito ângulos estão situados na região de plano limitada pelas retas r e s e são chamados de ângulos internos. Os outros quatro são chamados de ângulos externos. 13

8 Na sequência tem se as representações gráficas dos ângulos. Ângulos Internos Figura 14 Na figura 14 observam-se os ângulos internos formados pela reta transversal. Ângulos Externos Figura 15 Considerando a relação entre esses ângulos, podemos nomeá-los da seguinte maneira: 14

9 Ângulos correspondentes: um deles é interno, o outro é externo, ambos estão do mesmo lado em relação à reta transversal t e com vértices diferentes. α e β Figura 16 Ângulos Alternos Internos: Ambos são internos, estão em lados opostos em relação à reta transversal t e com vértices diferentes. Figura 17 Ângulos Alternos Externos: Ambos são externos, estão em lados opostos em relação à reta transversal t e com vértices diferentes. 15

10 Figura 18 Ângulos Colaterais Internos: Ambos são internos, estão do mesmo lado em relação à reta t e com vértices diferentes. Figura 19 Ângulos Colaterais Externos: Ambos são externos, estão no mesmo lado, em relação à reta t e com vértices diferentes. 16

11 Figura 20 RETAS PARALELAS Retas paralelas são retas que JAMAIS se cruzam. Na Figura 20 tem-se dois ares de reta. Essas retas são paralelela? Interaja com o aplicativo e descubra! Figura 21 Para verificar o paralelismo de duas retas, podemos traçar uma transversal t às retas r e s e observarmos os ângulos formados. 17

12 Se os dois ângulos correspondentes são congruentes, então as duas retas cortadas pela transversal são paralelas e vice-versa. Figura 22 Usando a simbologia, podemos escrever: Se, então r // s A congruência entre dois ângulos correspondentes é uma condição suficiente para que as retas sejam paralelas. Logo, podemos afirmar que essa condição trata-se de um critério de paralelismo. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, Ayrton. Matemática: Fazendo a diferença. São Paulo: FTD, DANTE, L. R. Matemática. Vol. Único. São Paulo: Ática,

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