Exercícios de Aprofundamento Mat Geometria Espacial I

Transcrição

1 1. (Fuvest 015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE cm, AD 4cm e AB 5cm. A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a 4 do volume da pirâmide SEFGH é a) cm b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 10 cm. (Unesp 015) Quando os meteorologistas dizem que a precipitação da chuva foi de 1mm, significa que houve uma precipitação suficiente para que a coluna de água contida em um recipiente que não se afunila como, por exemplo, um paralelepípedo reto-retângulo, subisse 1mm. Essa precipitação, se ocorrida sobre uma área de 1m, corresponde a 1 litro de água. O esquema representa o sistema de captação de água da chuva que cai perpendicularmente à superfície retangular plana e horizontal da laje de uma casa, com medidas 8m por 10 m. Nesse sistema, o tanque usado para armazenar apenas a água captada da laje tem a forma de paralelepípedo reto-retângulo, com medidas internas indicadas na figura. Estando o tanque de armazenamento inicialmente vazio, uma precipitação de 10 mm no local onde se encontra a laje da casa preencherá a) 40% da capacidade total do tanque. b) 60% da capacidade total do tanque. Página 1 de 17

2 c) 0% da capacidade total do tanque. d) 10% da capacidade total do tanque. e) 80% da capacidade total do tanque.. (Fuvest 015) No cubo ABCDEFGH, representado na figura abaixo, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa por E. Denote por θ o ângulo BMH e por x a medida do segmento AM. a) Exprima cos θ em função de x. b) Para que valores de x o ângulo θ é obtuso? c) Mostre que, se x 4, então θ mede menos do que (Unesp 015) Um bloco maciço com a forma de paralelepípedo reto-retângulo tem dimensões 8 m, 1 m e 10 m. Em duas de suas faces, indicadas por A e B na figura, foram marcados retângulos, de m por m, centralizados com as faces do bloco e com lados paralelos às arestas do bloco. Esses retângulos foram utilizados como referência para perfurar totalmente o bloco, desde as faces A e B até as respectivas faces opostas a elas no bloco. Calcule o volume e a área total do novo sólido, que resultou após a perfuração do bloco. 5. (Ita 014) Uma pirâmide de altura h 1cm e volume V 50 cm tem como base um polígono convexo de n lados. A partir de um dos vértices do polígono traçam-se n diagonais que o decompõem em n triângulos cujas áreas S, i i 1,,..., n, constituem uma progressão aritmética na qual S cm e S6 cm. Então n é igual a Página de 17

3 a). b) 4. c) 6. d) 8. e). 6. (Insper 014) Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular, com uma tampa no formato de pirâmide regular, como mostrado na figura. As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm. A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são revestidas com um adesivo especial, sendo necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de fabricação do produto. A área da parte revestida, em cm, é igual a a) 7( ). b) 6(6 5). c) 108( 5). d) 7(8 7). e) 54(4 7). 7. (Espcex (Aman) 014) Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é. Aumentando-se a aresta da base em cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 108 cm. O volume do prisma original é a) 18 cm. b) c) d) e) 6 cm. 18 cm. 6 cm. 40 cm. 8. (Enem 014) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 115cm. A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Página de 17

4 O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é a) 5. b). c) 4. d) 45. e) (Insper 014) Em um sistema de coordenadas cartesianas no espaço, os pontos A(,, 5), B(5,, 5), C(5, 4, 5) e D(, 4, 5) são os vértices da base de uma pirâmide regular de volume 8. O vértice V dessa pirâmide, que tem as três coordenadas positivas, está localizado no ponto a) (,1, 5). b) (,, ). c) (,, 6). d) (4,, 7). e) (4,,11). 10. (Ita 01) Das afirmações: I. Duas retas coplanares são concorrentes; II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas; III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma das retas; IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo, é (são) verdadeira(s) apenas a) III. b) I e III. c) II e III. d) III e IV. e) I e II e IV. 11. (Espcex (Aman) 01) Considere as seguintes afirmações: I. Se uma reta r é perpendicular a um plano α, então todas as retas de α são perpendiculares ou ortogonais a r; II. Se a medida da projeção ortogonal de um segmento AB sobre um plano α é a metade da medida do segmento AB, então a reta AB faz com α um ângulo de 60 ; III. Dados dois planos paralelos α e β, se um terceiro plano γ intercepta α e β, as interseções entre esses planos serão retas reversas; IV. Se α e β são dois planos secantes, todas as retas de α também interceptam β. Estão corretas as afirmações a) apenas I e II Página 4 de 17

5 b) apenas II e III c) I, II e III d) I, II e IV e) II, III e IV 1. (Fgv 01) A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1: 500, ou seja, 1cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade. Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito? 1. (Unicamp 01) Numa piscina em formato de paralelepípedo, as medidas das arestas estão em progressão geométrica de razão q > 1. a) Determine o quociente entre o perímetro da face de maior área e o perímetro da face de menor área. b) Calcule o volume dessa piscina, considerando q = e a área total do paralelepípedo igual a 5 m. 14. (Epcar (Afa) 01) Uma pirâmide regular ABCV, de base triangular ABC, é tal, que sua aresta lateral AV mede cm. Sendo a) 0 b) 7 6 c) d) 5 cm a altura de tal pirâmide, a distância, em cm, de A à face BCV é igual a 15. (Ita 01) Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente, 10, 17 e 5 cm. O volume, em cm, do sólido VABC é a). b) 4. c) 17. d) 6. e) (Fuvest 01) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB, AD e AE 4. Página 5 de 17

6 a) Qual é a área do triângulo ABD? b) Qual é o volume do tetraedro ABDE? c) Qual é a área do triângulo BDE? d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ? TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: A figura abaixo representa uma peça de vidro recortada de um retângulo de dimensões 1 cm por 5 cm. O lado menor do triângulo extraído mede 5 cm. 17. (Insper 01) Quatro peças dessas foram coladas a uma base quadrada de lado 1 cm para formar um recipiente, juntando-se sempre lados de mesmas dimensões de cada dois trapézios adjacentes. A figura abaixo mostra a tampa desse recipiente, que será feita de um vidro escurecido de um dos lados. A área de cada um dos triângulos que forma essa tampa, em cm, é a) b) c) Página 6 de 17

7 d) e) Página 7 de 17

8 Gabarito: Resposta da questão 1: [E] Sabendo que ABCDEFGH é paralelepípedo reto, temos EF AB e EH AD. Portanto, segue que o resultado pedido é dado por [SABCD] [ABCDHEFG] [SEFGH] SA AE (AE SA) Resposta da questão : [C] SA 9 4 ( SA) SA 10cm. O volume de água captado corresponde a litros. Portanto, como a capacidade do tanque de armazenamento é igual a 1 4 m 4000 litros, segue-se que o resultado é % Resposta da questão : a) EM x 1 No ΔMAB: BM x 1 No ΔEMH: HM x 1 1 x x HB (diagonal do cubo) Aplicando agora, o teorema dos cossenos no Δ MHO, temos: x x x 1 x x x 1cosθ x x x 1 x x x 1cosθ cosθ x x x x x 1 Página 8 de 17

9 b) Como x x e x 1 são positivos para todo x real, concluímos que θ será obtuso se, e somente se: x x 0 0 x 1. Portanto, x / 0 x 1. c) x 4 cosθ cos Como cosθ cos45 θ 45. Resposta da questão 4: O volume V do sólido restante será dado pelo volume do sólido inicial V (r). V V(i) V( r) V V V V 840 m Para calcular a área total, iremos considerar algumas etapas: Área das faces externas paralelas à face A: Área das faces internas paralelas à face A: Área das faces externas paralelas à face B: Área das faces internas paralelas à face B: Área das faces externas paralelas à face C: Área das faces internas paralelas à face C: Portanto, a área total será dada por: A (8 10 ) 148m 1 A 4 (4 ) 48m A (1 8 ) 180m 4 A m A m 5 A (10 5) 80m 6 V (i) e o sólido retirado Página 9 de 17

10 A A A A A A A m Resposta da questão 5: [C] Se a altura da pirâmide mede 1cm e seu volume n n 1 50 S 1 Si 150cm. i i1 i1 Além disso, temos S6 S r r 1 r cm. Logo, 1 S S1 r S1 1 S1 cm. Por conseguinte, o valor de n é n n 1 1 n Si [ S 1 (n ) r] 150 (n ) i1 (n 1) (n ) 600 n n n 6. 50cm, então a área da base é tal que Resposta da questão 6: [E] Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto médio da aresta AB. Página 10 de 17

11 Desse modo, como AB 6cm, vem AB 6 OM OM cm. tg0 Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo OVM, encontramos VM OV OM VM 6 ( ) VM 7 cm. Portanto, o resultado pedido é dado por AB VM 6 AB 6 (6 7) 54(4 7)cm. Resposta da questão 7: [B] Volume do prisma 1: Volume do prisma : 6 a h 4 6 (a ) h 4 Aumento do volume: V V1 6 (a 1) h 108 (I) a h a (II) h Substituindo (II) em (I), temos: 6 (a 1) a (a a) 108 a a 6 Resolvendo a equação do segundo grau, temos a = ( não convém) ou a =. a cm h cm, portanto, o volume do prisma 1 será dado por: Página 11 de 17

12 6 a h 6 V1 6cm 4 4 Resposta da questão 8: [E] De acordo com a figura, tem-se que a altura da caixa mede 4cm. Além disso, a largura mede cm. Daí, o comprimento x, em centímetros, deve ser tal que 0 x x 49. Portanto, o maior valor possível para x, em centímetros, é 49. Resposta da questão 9: [E] Observando que as cotas dos pontos A, B, C e D são iguais, podemos concluir que o quadrilátero ABCD está contido no plano z 5. Logo, se O é o centro de ABCD, tem-se que VO é paralelo ao eixo z. Além disso, é fácil ver que ABCD é um quadrado de lado. Desse modo, sabendo que o volume de VABCD é igual a 8, obtemos 1 8 VO VO 6. Portanto, como O,, (4,, 5), segue-se que V (4,, 5 6) (4,,11) ou V (4,, 5 6) (4,, 1). Porém, sabendo que V tem as três coordenadas positivas, só pode ser V (4,, 11). Resposta da questão 10: [D] I. Falsa. Duas retas paralelas e coplanares não são concorrentes. II. Falsa. Duas retas paralelas paralelas não têm ponto comum e não são reversas. III. Verdadeira. Considere a figura. Sejam r e s duas retas reversas. Página 1 de 17

13 Tomando um ponto A da reta r, existe uma única perpendicular comum a r e s que intersecta a reta s no ponto B, de tal modo que B r ' e r r '. Analogamente, obtemos a reta s' s. Portanto, os planos (r, s') e (r ', s) são os únicos planos paralelos, cada um contendo uma das retas. IV. Verdadeira. Considere o quadrilátero reverso da figura, com ABD e BCD. Como PQ é base média do triângulo ABD e MN é base média do triângulo BCD, segue que PQ BD e MN BD. Logo, PQ MN.Similarmente, concluímos que MQ NP e, portanto, segue-se o resultado. Resposta da questão 11: [A] I. Correta. Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo reto com todas as retas do plano. Além disso, se duas retas formam um ângulo reto, então elas são perpendiculares ou ortogonais. II. Correta. Considere a figura. Seja MN a projeção ortogonal de AB sobre α. Sabendo que AB MN AQ e que QAB é agudo, do triângulo retângulo AQB, obtemos AB AQ cosqab cosqab AB AB 1 cosqab 1 QAB arccos QAB 60, Página 1 de 17

14 Portanto, como QAB e NPB são ângulos correspondentes, segue que NPB 60, ou seja, a reta AB faz com α um ângulo de 60. III. Incorreta. Se α e β são planos paralelos e γ é um plano que intersecta α e β, então as interseções entre esses planos são retas paralelas. IV. Incorreta. Seja r a reta determinada pela interseção dos planos α e β. Se s é uma reta de α, tal que s r e s r, então s não intersecta β. Resposta da questão 1: O depósito pode ser dividido em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 0,9cm cm 7,cm; e um prisma triangular reto de altura 7,cm, com uma das arestas da base medindo cm e altura relativa 0,6cm. Logo, a capacidade do depósito da maquete é dada por 0,6 0,9 7, 7, 5,9cm. 6 Portanto, como a escala adotada é 1: 500 e 1cm 10 m, segue que a medida real da capacidade do depósito é 5, m. Resposta da questão 1: a) Perímetro do quadrado de maior área: P 1 Perímetro do quadrado de menor área: P P1 x.q.x.q x.q(q 1) q P x.x.q x(1 q) b) Se q =, as dimensões do paralelepípedo são: x, x e 4x, e sua área total será dada por:. x.x x.4x x.4x 5 8x 5 x 9 x Portanto, as dimensões do paralelepípedo são, 6 e 1, e seu volume V será dado por: Página 14 de 17

15 V =.6.1 = 156 m. Resposta da questão 14: [A] No triângulo VOM: No triângulo VOM: R 5 R 4 R e a = 1 m 5 1 m 6 O triângulo AMV é isósceles de base VM (AM = AV = ) Logo, d d 9 d 4 Resposta da questão 15: [A] x y 10 ( 1 ) x z 17 ( ) z y 5 ( ) Fazendo (1) + () (), temos: x x 1, y e z 4 Portanto, o volume do sólido será dado por: Página 15 de 17

16 1 z.y 4..1 V x cm 6 Resposta da questão 16: Logo, a área do triângulo BDE será dada por: a) A /. b) V 1/ c) 61 AQ 4 AQ Resposta da questão 17: [B] Considere a figura, que representa um dos triângulos que constitui a tampa. Página 16 de 17

17 De acordo com as informações, temos que PR PQ 1cm correspondem à medida da hipotenusa do triângulo retângulo extraído da peça retangular. Além disso, QR 1 cm corresponde à medida da diagonal da base quadrada do recipiente. Se M é o pé da perpendicular baixada de P sobre QR, então MR MQ 6 cm. Logo, pelo Teorema de Pitágoras, vem PM PR MR PM 1 (6 ) PM PM 97 cm. Portanto, a área pedida é dada por cm. Página 17 de 17