MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira

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2 MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira MÓDULO 1 Fundamentos de Geometria Euclidiana Plana e Ângulos

3 SUMÁRIO 1. Fundamentos 1.1. Postulados principais 1.2. Determinação do plano 1.3. Posições relativas entre retas 1.4. Perpendicularidade 2. Ângulos 2.1. Bissetriz de um ângulo 2.2. Ângulos opostos pelo vértice 2.3. Ângulos consecutivos 2.4. Ângulos adjacentes 2.5. Ângulo raso 2.6. Ângulo suplementar adjacente 2.7. Ângulo reto 2.8. Ângulo agudo e ângulo obtuso 2.9. Unidades de medidas angulares Ângulos complementares Ângulos suplementares Ângulos replementares 3. Ângulos no relógio

4 1. FUNDAMENTOS CONCEITOS PRIMITIVOS: ponto, reta e plano. POSTULADOS PRINCIPAIS: Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta. Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles. Por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma, e apenas uma, reta paralela à primeira. (Euclides)

5 1.1. Posições relativas entre retas Retas Coplanares a) Concorrentes: um ponto de interseção b) Paralelas Coincidentes: infinitos pontos de interseção r s c) Paralelas Distintas: não há pontos de interseção

6 Retas Não Coplanares Retas Reversas: não há pontos de interseção r s

7 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS concorrentes INTERSEÇÃO 1 ponto coplanares paralelas coincidentes distintas toda a reta vazia não coplanares reversas vazia

8 1.4. Perpendicularidade Retas Perpendiculares adjacentes suplementares congruentes. são retas concorrentes que formam ângulos

9 A projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta é o ponto de interseção da reta com a perpendicular a ela passando pelo ponto dado. Na figura acima, o ponto é a projeção ortogonal do ponto sobre a reta.

10 A projeção ortogonal de um segmento de reta não perpendicular a uma reta sobre ela, é o segmento determinado sobre a reta pelas projeções dos extremos do segmento original. Na figura acima, o segmento sobre a reta r. A'B' é a projeção ortogonal do segmento de reta AB

11 2. ÂNGULOS Ângulo é a reunião de duas semirretas de mesma origem. Notações: ˆ ; ; ;. AOB OA OB Ô O ponto O é o vértice do ângulo e as semirretas OA e são os lados do ângulo. Um ângulo determina dois setores angulares, um convexo e outro côncavo, exceto no caso de semirretas opostas. OB

12 2.1. Bissetriz de um ângulo A bissetriz de um ângulo é uma semirreta que o divide em dois ângulos congruentes. A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos lados de um ângulo.

13 2.2. Ângulos opostos pelo vértice AOC ˆ BOD ˆ Dois ângulos são opostos pelo vértice (o.p.v.) se, e somente se, os lados de um deles são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro. Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice.

14 2.3. Ângulos consecutivos Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, possuem um lado em comum. AOB ˆ e AOC ˆ são ângulos consecutivos OA é o lado comum AOB ˆ e BOC ˆ são ângulos consecutivos OB é o lado comum

15 2.4. Ângulos adjacentes Dois ângulos são adjacentes se, e somente se, são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Os ângulos AOB ˆ e BOC ˆ, que possuem lado comum OB, são ângulos adjacentes.

16 2.6. Ângulo suplementar adjacente ˆ Dado o ângulo AOB, o ângulo suplementar adjacente de AOB é o ângulo determinado pelas semirretas OB e OC, semirreta oposta à semirreta OA, ou seja, determinado por um dos lados do ângulo e pela semirreta oposta ao outro lado. ˆ A medida do ângulo suplementar adjacente de é

17 2.7. Ângulo reto Ângulo reto é aquele que é igual a seu suplementar adjacente. Assim, = 180º = 90º. A medida de um ângulo reto é 90º.

18 2.8. Ângulo agudo e ângulo obtuso Ângulo agudo é aquele que é menor que um ângulo reto e ângulo obtuso é aquele que é maior que um ângulo reto. AOB ˆ é um ângulo agudo < 90º COD ˆ é um ângulo obtuso < 90º

19 2.9. Unidades de medidas angulares A. SISTEMA SEXAGESIMAL GRAU ( º ) 1 1 ângulo reto 1 ângulo reto ângulo raso ângulo de uma volta 360 Submúltiplos do grau Minuto: 1 1' ' 60 Segundo: 1 1'' 1' 1' 60'' '' 60

20 B. SISTEMA DECIMAL GRADO ( gr ) 1 1 gr ângulo reto 1 ângulo reto 100 gr ângulo raso 200 gr 1 ângulo de uma volta 400 gr

21 C. SISTEMA CIRCULAR OU RADIOMÉTRICO RADIANOS ( rad ) O ângulo de 1 radiano (1 rad) é o ângulo central em uma circunferência de raio R que determina um arco de comprimento R sobre essa circunferência. O sistema circular ou radiométrico adota como unidade de medida 1 radiano (1 rad). 1 1 rad ângulo de uma volta 2π 1 ângulo de uma volta 2π rad 1 ângulo raso π rad π 1 ângulo reto rad 2

22 D. RELAÇÕES ENTRE AS UNIDADES gr rad

23 2.10. Ângulos complementares Ângulos complementares são ângulos cujas medidas somam um ângulo reto (90º). + = 90º e são complementares Complemento de x = 90º - x

24 2.11. Ângulos suplementares Ângulos suplementares são ângulos cujas medidas somam um ângulo raso (180 ). + = 180º e são suplementares Suplemento de x = 180º - x

25 2.12. Ângulos replementares Ângulos replementares são ângulos cujas medidas somam um ângulo de uma volta (360 ). + = 360º e são replementares Replemento de x = 360º - x

26 3. ÂNGULOS NO RELÓGIO Vamos analisar o problema de identificar o ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio às H horas e M minutos. Figura 1 Figura 2 O ângulo entre as marcações de horas é 360 de minutos é e o ângulo entre as marcações

27 Figura 1 Figura 2 A velocidade angular do ponteiro das horas é min 0,5 min e a velocidade 360 angular do ponteiro dos minutos é. 60 min 6 min

28 Às H horas em ponto, o ângulo entre os ponteiros do relógio é AOB ˆ 30 H. Entre H horas em ponto e H horas e M minutos, passaram-se M minutos. Nesse período, o ponteiro das horas deslocou-se BOD ˆ 0,5 min Mmin 0,5 M e o ponteiro dos minutos deslocou-se AOC ˆ 6 min Mmin 6 M. Assim, há duas possibilidades para o ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos: 1. Se o ponteiro dos minutos não ultrapassou o ponteiro das horas (Figura 1), temos: θ COD ˆ AOB ˆ BOD ˆ AOC ˆ 30 H 0,5 M 6 M 30 H 5,5 M 2. Se o ponteiro dos minutos ultrapassou o ponteiro das horas (Figura 2), temos: θ COD ˆ AOC ˆ AOB ˆ BOD ˆ 6 M 30 H 0,5 M 5,5 M 30 H

29 O ângulo entre os ponteiros de um relógio às H horas e M minutos é θ 60 H 11 M 2

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