Prof. Márcio Nascimento. 15 de fevereiro de 2017

Transcrição

1 Introdução - s Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática Básica II de fevereiro de / 33

2 Sumário 1 Cronograma da Disciplina / 33

3 Sumário 1 Cronograma da Disciplina / 33

4 Disciplina: Matemática Básica II - Trigonometria (60h) Fluxo: 2012 Pré-Requisitos: Matemática Básica I Relações e Funções Ementa: Trigonometria no triângulo. Trigonometria na Circunferência. Funções Trigonométricas. Funções trigonométricas inversas. Identidades Trigonométricas. Trigonometria num triângulo qualquer. Equações trigonométricas. Coordenadas Polares. Produção de vídeos didáticos com aplicações da trigonometria. 4 / 33

5 Aulas: Fevereiro: 14, 21 Março: 07, 14, 21, 28 Abril: 04, 11, 18, 25 Maio: 02, 09, 16, 23, 30 Junho: 06, 13, 20 Avaliações: AP01 (18/04) AP02 (06/06) Entrega dos vídeos AP03 (13/06) AF (20/06) Média: (AP01+AP02+AP03)/3 OBS: Textos/Vídeos para estudo complementar! 5 / 33

6 Sumário 1 Cronograma da Disciplina / 33

7 A palavra trigonometria tem origem na Grécia: τ ριγϖνoµετ ρια τ ριγϖνo (Triângulo) + µετ ρηση (medida); A Ciência dos Triângulos ; Surgiu devido as necessidades da Astronomia, Navegação e Cartografia; Vocábulo criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus ( ). 7 / 33

8 Hiparco de Nicéia: Considerado o Pai da Trigonometria, viveu em torno de 120 a.c. Construiu tabelas de cordas (predecessoras das tabelas de senos). Organizou a confecção de um catálogo de estrelas e um calendário de equinócios. 8 / 33

9 Sumário 1 Cronograma da Disciplina / 33

10 : palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto). É a figura formada por duas semi-retas de mesma origem. Notação: AÔB ou BÔA ou, ainda, AOB OA e OB: lados do ângulo. 10 / 33

11 Geralmente são usadas letras gregas ou letras de forma para representar um ângulo: α = AÔB = AOB = Ô = O 11 / 33

12 Alguns ângulos recebem nomes especiais: raso: Quando as semirretas têm a mesma direção mas sentido oposto. nulo: Quando as semirretas têm a mesma direção e sentido. 12 / 33

13 reto: Quando as semirretas são perpendiculares. 13 / 33

14 agudo: Quando o ângulo formado é menor que um ângulo reto. 14 / 33

15 obtuso: Quando o ângulo formado é menor que um ângulo raso e maior que um ângulo reto. 15 / 33

16 s Complementares: ângulos que quando justapostos formam um ângulo reto. 16 / 33

17 s Suplementares: ângulos que quando justapostos formam um ângulo raso. 17 / 33

18 s Adjacentes: Quando dois ângulos têm o mesmo vértice e uma das semirretas é um lado comum. BAC e CAD são adjacentes. 18 / 33

19 Medida de um ângulo Quando falamos em medida de um ângulo nos referimos à abertura entre as semirretas. Por exemplo, na figura abaixo, BAD é maior do que DEF. 19 / 33

20 Uma vez que podemos comparar, faz sentido falar em álgebra de ângulos, isto é, podemos somar e subtrair: Por exemplo, na figura abaixo, BAC + CAD = BAD, x y = CAD Da mesma forma, faz sentido multiplicar (ou dividir) um ângulo por um número real: 2( BAC), 1 3 ( CAD), / 33

21 Se a partir do vértice de um ângulo traçamos uma semirreta, interior ao ângulo, então estamos dividindo este ângulo. Quando tal reta divide o ângulo em duas partes iguais, tal reta é chamada bissetriz do ângulo. 21 / 33

22 Sumário 1 Cronograma da Disciplina / 33

23 Imagine várias semirretas partindo de um mesmo ponto, como mostra a figura ao lado. Considere que o ângulo determinado por quaisquer duas semirretas consecutivas é sempre o mesmo. Se tivermos 360 semirretas, teremos 360 ângulos iguais. Cada um deles será chamado grau. Notação: 1 0. Aparentemente, os Babilônios foram os primeiros a usar essa subdivisão. 23 / 33

24 Exemplo: De um mesmo ponto, partem 120 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida, em graus, de cada ângulo? Resposta: / 33

25 A fração de 1/60 de um grau é 1 0 chamada minuto. Notação: 60 = 1 E a fração de 1/60 de um minuto, é chamada segundo. Notação 1 60 = 1 25 / 33

26 Exemplo: Considere um círculo de raio R. De seu centro O, partem 175 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida em graus de cada ângulo? Aproxidamente 2, 06 0 Qual a medida em minutos de cada ângulo? Aproximadamente 123, 43 Qual a medida em segundos de cada ângulo? Aproximadamente 7405, / 33

27 Observação: Em vez da notação decimal, algumas vezes é interessante usar graus, minutos e segundos na mesma representação 2, 5 0 = , 5 0 = (0, 5).60 = , 12 0 = , 12 0 = (0, 12).60 = , 2 = , 2 = , 2(60 ) = / 33

28 Exemplo: Dados os ângulos A = 124, e B = 75, 765 0, Converta A e B para a notação grau/minuto/segundo A = e B = Expresse A + B, A B na notação grau/minuto/segundo A + B = 200, = e A B = 48, = / 33

29 Exemplo: Dados os ângulos A = e B = , determine: A + B A B A 2 + B 3 Aproximadamente / 33

30 Exemplo: Dados os ângulos A = e B = , Converta A e B para a notação decimal A é aproximadamente 42, 46 0 e B é aproximadamente 27, 54 0 Expresse A + B, A B na notação decimal A + B = 69, 99 0 e A B = 14, / 33

31 Exemplo: Um relógio marca 2 : 25. Qual o menor ângulo entre os ponteiros de horas e minutos? Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maior percorre e o menor, Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre 6 0 e o menor 0, 5 0. Daí, às 2:25, o ponteiro maior terá percorrido (a partir do 12) = e o menor (a partir do 2), 25 0, 5 0 = 12, 5 0. Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, o menor ângulo seria de = 90 0, mas como o ponteiro menor se movimentou 12, 5 0, segue que o ângulo procurado é de 77, / 33

32 Exemplo: Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio às: 15:35 102, : : :33 178, / 33

33 Origem das palavras Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau. Minuto: primeiras menores partes - partes minutae primae Segundo: segundas menores partes - partes minutae secundae 33 / 33