Espaço. Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff

Transcrição

1 Espaço Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff

2 Paralelismo no Espaço Axiomas: Por três pontos não colunares passa um único plano. Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a interseção entre eles é uma reta. Qualquer que seja o plano, existem infinitos pontos nesse plano e infinitos pontos fora dele. Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então essa reta está contida no plano.

3 Proposição 1: Por duas retas concorrentes passa um único plano. Demonstração.

4 Paralelismo entre retas Quando uma coleção de retas, de pontos, de retas e pontos, etc. está contida em um mesmo plano, dizemos que os objetos da coleção são coplanares. Definição: Duas retas são chamadas paralelas se elas não se intersectam e se existem um plano que as contém. r e s são paralelas. É possível mostrar que existe somente um plano que contém duas retas paralelas.

5 Proposição 2: Considere uma reta r e um ponto P não pertencente a r. Existe um único plano que contém r e P.

6 Paralelismo entre retas Considere uma reta r e um ponto P não pertencente à reta r. Chame de o plano que contém r e P. O quinto postulado de Euclides, que enunciamos no plano, garante que existe uma única reta s que está contida em passando por P que não intersecta r. As retas r e s, por definição são paralelas. Mostramos então que existe uma reta passando por P paralela a r quando esses objetos estão no espaço.

7 Paralelismo entre retas Será que existe no espaço outra reta com essa propriedade? Sabemos que no plano, uma tal reta não existe, pois o quinto postulado garante a unicidade de tal reta no plano. Vamos considerar uma reta u paralela a r passando por P. Por definição de retas paralelas, existe um plano que contém r e u. Logo, contém r e P. Como só existe um plano que contém r e P, e contém r e P, segue que = e portanto, u está contida em. Mas a única reta paralela a r passando por P dentro do plano é a reta s e, portanto, u=s. Provamos o seguinte:

8 Proposição 3: Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela à reta dada.

9 Paralelismo entre retas Proposição: Se duas retas distintas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si. Definição: Duas retas são reversas se não existe nenhum plano que contenha as duas.

10 Paralelismo entre retas e planos Definição: Dizemos que uma reta e um plano são paralelos se eles não têm nenhum ponto em comum. Nesse caso dizemos também que a reta é paralela ao plano, e que o plano é paralelo à reta. Suponhamos que uma reta r seja paralela a um plano, e tomemos um ponto A qualquer de. Vamos chamar de o plano que contém r e A. Seja s a interseção dos planos e.

11 As retas r e s não se intersectam, pois r e não se intersectam. Como r e s estão contidas em, segue que r e s são paralelas. Assim, provamos que:

12 Proposição 4: Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a uma reta contida nesse plano.

13 Proposição 5: Se uma reta não está contida em um plano e é paralela a uma reta desse plano, então ela é paralela ao plano.

14 Proposição 6: Se uma reta r é paralela a dois planos secantes e, então é paralela à reta de interseção entre e.

15 Paralelismo entre planos Definição: Dois planos são chamados paralelos se eles não se intersectam. Notação: usaremos o símbolo // para indicar paralelismo entre retas, entre reta e plano, e entre planos no espaço. Definição: Dois planos são secantes quando eles se intersectam em uma reta.

16 Proposição 7: Se um plano é paralelo a duas retas concorrentes de outro plano, então esses planos são paralelos.

17 Proposição 8: Por um ponto fora de um plano passa um único plano paralelo ao plano dado.

18 Proposição 9: Se uma reta corta um de dois planos paralelos, então também corta o outro.

19 Proposição 10: Se uma reta corta uma de duas retas paralelas, então também corta a outra.

20 Proposição 11: Se r e s são retas reversas, existem planos paralelos e tais que r está contida em e s está contida em.

21 Proposição 12: Os segmentos de retas paralelas localizados entre planos paralelos são congruentes.

22 Proposição 13: Sejam e planos paralelos e r uma reta que os corta. Seja P=A1A2 An um polígono convexo contido em, e sejam A1,A2,,An os pontos em que as retas paralelas a r passando, respectivamente, pelos pontos A1,A2,,An cortam. Então P'= A1 A2 An é congruente a P=A1A2 An.

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24 Proposição 14: Sejam e planos paralelos e r uma reta que os corta. Seja um círculo contido em. Por cada ponto A de passe uma reta paralela a r, e seja A o ponto em que essa reta corta. Chamemos de ' o conjunto de todos os pontos determinados dessa forma. Tem-se que ' é um círculo de mesmo raio que.

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26 Exercícios?