Figura 1 Sala de aula Fonte: Microsoft Office

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1 ÂNGULOS CONTEÚDOS Ângulos Classificação de um ângulo Ângulos complementares e suplementares Ângulos adjacentes Bissetriz de um ângulo AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS A ideia de ângulo está presente nas mais diversas situações. Imagine, por exemplo, que em uma sala de aula, uma pessoa sentada mais próxima do centro dessa sala (ponto A) e outras duas sentadas nas extremidades (pontos B e C). Cada uma delas têm um campo de visão em relação a lousa. A B C Figura 1 Sala de aula Fonte: Microsoft Office Da forma como estão posicionadas, é possível dizer que o melhor campo de visão é o da pessoa que está mais ao centro, isso porque ela consegue visualizar melhor toda o 1

2 comprimento da lousa. Observe no esquema abaixo o suposto campo de visão de cada uma dessas pessoas. Observando as semirretas que indicam o campo de visão de cada uma dessas pessoas, notamos que eles têm diferentes aberturas, essa abertura podemos identificar como ângulo. Ângulo: Dada duas semirretas, que têm a mesma origem, chamamos de ângulo a reunião dessas duas semirretas. O Os ponteiros de um relógio, ao marcar as horas e minutos, vão ao longo do dia formando diversos ângulos. Observe o ângulo formado quando o relógio marca 12h10min, por exemplo Figura 2 Relógio Fonte: Fundação Bradesco 2

3 Identificando o ângulo O ângulo a seguir é identificado como ângulo semirretas Oa e Od são os lados do ângulo. A ÔD. O ponto O é o vértice do ângulo e as a d Vértice A medida de um ângulo é dada em relação a sua abertura. A unidade padrão utilizada para essa medida é o grau e utiliza-se o símbolo após o número. 1 1 (1 grau) corresponde a da circunferência Figura 3 Fonte: Microsoft Office 3

4 Para medir um ângulo utiliza-se o instrumento chamado transferidor. Observe-o: Figura 4 Transferidor Fonte: Fundação Bradesco Cada tracinho do instrumento representa um grau. Medir um ângulo, significa ver quantas vezes o valor unitário (grau) cabe em um ângulo. Veja no transferidor a seguir, alguns ângulos e suas medidas: C D B A AÔB AÔC AÔD O Figura 5 Medida de ângulo Fonte: Fundação Bradesco 4

5 Alguns ângulos são identificados com uma nomenclatura específica, são eles: reto, obtuso, agudo e raso. Ângulo reto: sua medida é igual a 90 Ângulo agudo: sua medida é menor que 90 Ângulo obtuso: sua medida é maior que 90 Ângulo raso: sua medida é igual a 180 Além dessas nomenclaturas, dados dois ângulos, esses podem ser classificados como suplementares e complementares. Os ângulos AÔB e BÔC são complementares. Dois ângulos são considerados complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90. Os ângulos EÔF e FÔG são suplementares. Dois ângulos são considerados suplementares quando a soma de suas medidas é igual a

6 Ângulos consecutivos Na figura observamos três ângulos, são eles: AÔB, BÔC e AÔC. Comparando-os, dois a dois temos: AÔB e BÔC são consecutivos. AÔB e AÔC são consecutivos. BÔC e AÔC são consecutivos. Dois ângulos são chamados de consecutivos quando possuem o mesmo vértice e tem um lado em comum. Em relação aos ângulos AÔB, BÔC e AÔC observa-se que: AÔB e BÔC tem em comum o vértice O e o lado OB. AÔB e AÔC tem em comum o vértice O e o lado OA. BÔC e AÔC tem em comum o vértice O e o lado OC. Ângulos Adjacentes Na figura observamos três ângulos, são eles: AÔB, BÔC e AÔC. Comparando-os temos: AÔB e BÔC adjacentes. Dois ângulos são chamados de adjacentes quando não possuem pontos internos em comum. 6

7 Bissetriz de um ângulo Dado o ângulo AÔC, ao traçar a semirreta OB com origem no ponto O, o ângulo foi dividido em dois ângulos adjacentes de mesma medida. A semirreta OB é identificada como bissetriz do ângulo AÔC. ATIVIDADES 1.Considere um relógio de ponteiros, se ele está dividido em 12 partes, quando o ponteiro das horas desloca-se da marcação de 2 horas para a marcação de 3 horas, qual foi ângulo percorrido por ele?

8 2.Às 6 horas da manhã Ana saiu para ir trabalhar, a moça retornou do trabalho e observou que o ponteiro das horas do relógio que fica em sua cozinha, já havia percorrido 300º. Que horas eram quando a moça retornou do trabalho? Leia as afirmativas e identifique como verdadeira (V) ou falsa (F). a) ( ) Se um ângulo mede 130, seu suplementar mede 50. b) ( ) Um ângulo de 35 é complementar a um ângulo de 55. c) ( ) Dado um ângulo de 120, ao traçar sua bissetriz, obtêm-se dois ângulos consecutivos sendo a medida de um deles igual a 100 e a medida do outro igual a 20. d) ( ) Um ângulo reto é maior que um ângulo obtuso. e) ( ) Dois ângulos retos formam um ângulo raso. 4. Se o ângulo AÔD é um ângulo raso e a semirreta OB a bissetriz do ângulo AÔC, qual é a medida do ângulo BÔC? C B 80 D O A 8

9 5. (FUVEST/PASUSP ) Segundo norma do Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial (INMETRO), os ônibus urbanos devem ter os encostos dos bancos fazendo um ângulo α com o assento horizontal compreendido entre 105 e 115. Indique, entre os bancos abaixo, aquele que esteja em conformidade com essa norma. 9

10 6. (ENEM ) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4. Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135 graus no sentido horário com a rota Brasília Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus. 10

11 7. Sendo o ângulo BÔC suplementar do ângulo α, interno ao triângulo. Se o triângulo dado é um triângulo equilátero, apresentando todos os seus ângulos medidas iguais, qual é a medida de cada um deles? 120 α LEITURA COMPLEMENTAR O grau é a unidade de medida mais utilizada para medir ângulos. Porém quando se fala em medida angular de arco, é comum utilizar o radiano. Medida em radianos: Seja POQ um ângulo com centro O, como na figura abaixo: 11

12 Se a circunferência tem raio r e o ângulo intercepta um arco de medida s, então o quociente s/r será a medida do ângulo em radianos e dizemos que o ângulo mede s/r rad. Exemplo: Encontre a medida em radianos do ângulo reto QOP Solução: Desenhe uma circunferência de raio r e centro O. Encontre a medida em radianos do ângulo reto QOP. A circunferência de raio r mede 2 r. O ângulo reto corresponde à 1/4 da circunferência. Portanto o comprimento do ângulo reto s é dado por: e a medida em radianos por: 12

13 Transformação entre graus e radianos Simplesmente, usamos a proporção abaixo: Medida em graus 180 Medida em radianos π Usando a expressão acima, temos a relação: Medida em graus Medida em radianos /6 45 /4 60 /3 90 / / / / / / Disponível em: < Acesso em: 18 maio h25min. INDICAÇÃO Para estudar um pouco mais sobre os ângulos, faça a audição do podcast disponível na Biblioteca Digital do Portal EJA. Você poderá acessá-lo no seguinte endereço: DispForm.aspx?ID=6&Source=http%3A%2F%2Fwww%2Eeja%2Eeducacao%2Eorg%2Eb r%2fbibliotecadigital%2fcienciasnatureza1%2fpodcasts%2fpaginas%2fpodcastem%2 Easpx>. No mesmo endereço eletrônico existe uma atividade relacionada ao podcast, não deixe de realizá-la. 13

14 REFERÊNCIAS FUVEST. PASUSP Disponível em: < Acesso em: 17 maio h11min. IEZZI, Gelson. MACHADO, Antonio. básicos. 1ª ed. São Paulo: Atual, p DOCE, Osvaldo. Geometria Plana: Conceitos INEP.ENEM Prova azul. Disponível em:< Acesso em: 17 maio h. MICROSOFT Office for Windows Version 7. [S.l.]: Microsoft Corporation, CD- ROM. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos: Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v 1. Matemática: caderno do estudante. Disponível em: < no>. Acesso em: 18 maio h. UFMG. Trigonometria: revisão. Disponível em:< Acesso em: 18 maio h25min. GABARITO 1.Se a circunferência está dividida em 12 partes, o ângulo percorrido pelo ponteiro das horas durante 1 hora, é de 30. Acompanhe: Se o espaço entre cada uma das divisões do relógio representa o deslocamento de um ângulo de 30, ao deslocar das 6 horas percorrendo um ângulo de 300 o ponteiro está marcando 4h. Acompanhe: 14

15 Se já se passaram 10h, ele retornou para casa às 4h da tarde. 3. Leia as afirmativas e identifique como verdadeira (V) ou falsa (F). a) ( V ) Se um ângulo mede 130, seu suplementar mede 50. b) ( V ) Um ângulo de 35 é complementar a um ângulo de 55. c) ( F ) Dado um ângulo de 120, ao traçar sua bissetriz, obtêm-se dois ângulos consecutivos sendo a medida de um deles igual a 100 e a medida do outro igual a 20. d) ( F ) Um ângulo reto é maior que um ângulo obtuso. e) ( V ) Dois ângulos retos formam um ângulo raso. 4. Sendo AÔD um ângulo raso, a soma do ângulo AÔC com o ângulo CÔD é igual a 180. Se CÔD mede 80º, AÔC mede 100. Sabe-se que a bissetriz de um ângulo divide esse ângulo em dois ângulos congruentes, logo BÔC mede Alternativa correta é a letra c. O ângulo α deve ser: 105 < α< 115 Considerando α igual a 115, temos: = 65 Considerando α igual a 105, temos: = 75 Portanto, o suplementar de α deverá apresentar medida maior que 65 e menor que A alternativa correta é a letra B. O primeiro avião que Carlos pegou, seguiu a direção que forma um ângulo de 135 graus no sentido horário com a rota de Brasília, assim temos: 15

16 Direção aproximada seguida por AIII Direção aproximada seguida por AII 7. Sendo o ângulo BÔC suplementar ao ângulo α, conclui-se que o ângulo α apresenta medida igual a 60.Acompanhe: α = 180 α = α = 60 Se todos os ângulos desse triângulo são congruentes, cada um deles têm