PET-FÍSICA TRIGONOMETRIA NATÁLIA ALVES MACHADO TATIANA DE MIRANDA SOUZA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ

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1 PET-FÍSICA TRIGONOMETRIA Aula 5 NATÁLIA ALVES MACHADO TATIANA DE MIRANDA SOUZA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ

2 AGRADECIMENTOS Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação e do Programa de Educação Tutorial PET, do MEC - Ministério da Educação Brasil. 2

3 DOS AUTORES Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria, realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial Física/UFRRJ, e não tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos. O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes. Uma boa leitura! 3

4 SUMÁRIO 1. Introdução Ângulos e unidades de medida O comprimento de um arco Conversão Grau Radiano Arcos côngruos Classificação dos triângulos Círculo Trigonométrico Razões trigonométricas dos ângulos notáveis Lei dos cossenos e dos senos Representação gráfica das funções trigonométricas Exercícios de fixação Referências Respostas dos exercícios de fixação

5 1. Introdução Para compreendermos qual objeto de estudo da trigonometria é fundamental que possamos perceber o significado da palavra, que se dá pela junção de dois termos, onde trigono significa triângulo e metria representa medidas. Sendo assim a trigonometria é a parte da matemática responsável por estudar a relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. 2. Ângulos e unidades de medida Denominamos ângulo ( ) a região do plano limitada por duas semirretas, denominadas de lados do ângulo, de mesma origem e denominado de vértice do ângulo. A medida de ângulo pode ser dada em graus ( ) ou em radianos (rad), onde (SILVA & BARRETO FILHO, 2005): Grau ( ) é o arco unitário igual a da circunferência; Radiano (rad) é um arco unitário, cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que contém o arco. Figura 1: Representação do ângulo ( ) formado por duas semirretas 3. O comprimento de um arco Dada uma circunferência de centro, raio (r) e dois pontos p e q pertencentes à circunferência de comprimento (C), temos que a distância entre os pontos ( S) é um arco de circunferência (IEZZI, 2013). Figura 2: Representação dos pontos numa circunferência de raio r. Para esse arco temos as seguintes relações importantes: Comprimento da circunferência (C) C = 2 r (1) 5

6 Comprimento do arco ( S) S = r (2) É fácil perceber pela relação do arco que este é proporcional à medida do ângulo central, tal que quanto maior o ângulo, maior o comprimento do arco e quanto menor o ângulo menor o comprimento do arco. 4. Conversão Grau Radiano Em muitas situações se faz necessário à representação de um ângulo expresso em radianos para graus e vice versa, sendo possível realizar essa adequação por meio de uma relação de regra de três simples. Se pudermos relacionar os ângulos da seguinte forma (IEZZI, 2013): (3) Então teremos: (4) Onde rad é o ângulo medido em rad e graus é o ângulo medido em graus. 5. Arcos côngruos Dizemos que dois ou mais arcos são côngruos se as suas extremidades (p e q) são coincidentes, tal que o resto da divisão entre o ângulo analisado e 2 (ou 360 ) indicará a qual o ângulo equivalente do dividendo. Exemplo 1 - Considere o ângulo medido igual a 840, determine o seu menor arco côngruo. Solução: Para determinarmos o menor arco basta realizar a divisão por 360, tal que: Logo 840 possui o mesmo valor de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante do ângulo de 120 e localizado no segundo quadrante. 6

7 6. Classificação dos triângulos Os triângulos são figuras geométricas fechada compostas por três lados e três ângulos, sendo classificados de acordo com as medidas de cada um deles. Dessa forma, temos a seguintes formas (IEZZI, 2013): Classificação quanto aos lados Equilátero Figura composta por três lados iguais. Figura 3: Representação do triângulo equilátero, onde a = b = c. Isósceles Figura com dois lados iguais e um diferente. Figura 4: Representação do triângulo isósceles, onde a = b c. Escaleno Figura com três lados diferentes. Figura 5: Representação do triângulo escaleno, onde a b c. 7

8 Classificação quanto aos ângulos Retângulo Figura que possui um ângulo reto, onde os lados desse triângulo são chamados de hipotenusa e catetos. Esse tipo de triângulo fornece algumas identidades importantes para o estudo de diversas áreas. Figura 6: Representação do triângulo retângulo. O comprimento da hipotenusa e dos catetos, oposto e adjacente aos ângulos considerados, se relacionam pelo Teorema de Pitágoras descrito pela expressão: Esse tipo de triângulo possui um conjunto de relações, denominadas razões trigonométricas, onde para cada ângulo podem ser obtidas as razões conhecidas como: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. No caso do ângulo alfa ( ) elas são escritas da seguinte maneira (SILVA & BARRETO FILHO, 2005): (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 8

9 tal que essas relações podem ser escritas de forma equivalente para o ângulo beta ( ). Acutângulo Figura que possui os três ângulos agudos, isto é, os ângulos possuem medida é menor que 90 ; Figura 7: Representação do triângulo acutângulo, < 90, < 90 e < 90. Obtusângulo Figura que possui um ângulo obtuso, isto é, um dos ângulos é maior que Círculo Trigonométrico Figura 8: Representação do triângulo obtusângulo, onde > 90. Caracteriza-se por ser uma circunferência construída em um sistema de coordenadas cartesianas, onde os eixos de x e y acabam dividindo o círculo em quatro partes iguais (ALEJANDRO ey al, 1997). Figura 9: Representação do círculo trigonométrico. 9

10 Cada uma dessas partes é chamada de quadrantes e que fornecem as funções, seno, cosseno e tangentes sinais característicos, para certo ângulo considerado, no caso da figura 9 o ângulo alfa, que são os seguintes (ALEJANDRO ey al, 1997): 1 Quadrante 2 Quadrante 3 Quadrante 4 Quadrante Seno Cosseno Tangente Razões trigonométricas dos ângulos notáveis São chamados de ângulos notáveis os ângulos que mais aparecem frequentemente em diversas operações algébricas, que são 30, 45 e 60. Tal que: sen cos tan 1 9. Lei dos cossenos e dos senos A lei dos cossenos é uma generalização do Teorema de Pitágoras, com a qual se relaciona os lados do triângulo e um dos seus ângulos, no caso de não exista um ângulo reto (ALEJANDRO ey al, 1997). Figura 10: Representação de um triângulo qualquer. No caso da lei dos senos, esta estabelece a relação entra a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a ele. (12) (13) 10

11 10. Representação gráfica das funções trigonométricas Algumas funções trigonométricas têm representações gráficas bem descritas e são fundamentais o seu conhecimento para a resolução e compreensão de muitos fenômenos existentes na natureza. Confira algumas delas (SHIGUEKIYO, 2008): Função Seno Função Cosseno Função Tangente Função Secante 11

12 Função Cossecante Função Cotangente 11. Exercícios de fixação 1. (Cefet PR) A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na Avenida Teófilo Silva a m do citado cruzamento. Portanto, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a Rua Tenório Quadros? 2. (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer metros, qual a altura atingida pelo avião? 12

13 3. (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de: A) 6 3 m B) 12 m C) 13,6 m D) 9 3 m E) 18 m. 4. (UNEMAT 2009) A figura mostra, em planta, o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto C, a 100 metros de B, mediu-se o ângulo = 45º e, do ponto A, mediu-se o ângulo = 30º. O comprimento da ponte AB é: A) B) C) D) 2 E) 200 m 5. (UNESP 2007) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 30 m. Use a aproximação sen 3º = 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a rampa é: A) 2,5 B) 7,5 C) 10 D) 15 E) (UEMG 2011) Observe a tirinha abaixo: Supondo que o triângulo demonstrativo da rampa seja retângulo, de altura igual a 2 metros, e que essa rampa forme um ângulo de 60 com o solo, a distância percorrida pelo carrinho até o ponto mais alto da rampa foi de: A) B) C) D) 1 m 13

14 12. Referências ALEJANDRO, R. A. et al. Help! Sistema de consulta interativa Matemática. São Paulo: Klick Editora, IEZZI, G. Fundamentos da matemática elementar: Trigonometria. 9º ed. São Paulo: Atual, SHIGUEKIYO, C. T. Enciclopédia do estudante: matemática I. São Paulo: Moderna, SILVA, C. X.; BARRETO FILHO, B. Matemática Aula por aula. 2 ed. São Paulo: FTD, Resposta dos exercícios de fixação 1. 2,3 km m