GEOMETRIA ANALÍTICA CONTEÚDOS. Distância entre pontos Equação da reta Distância ponto reta Coeficientes Equação da circunferência.

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1 GEOMETRIA ANALÍTICA CONTEÚDOS Distância entre pontos Equação da reta Distância ponto reta Coeficientes Equação da circunferência. AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Neste capítulo, estudaremos a Geometria Analítica. Em síntese, podemos dizer que essa área da Matemática estuda a geometria por meio da utilização da álgebra. Começaremos pelo estudo da distância entre pontos. Distância entre pontos Vamos iniciar o estudo da geometria analítica pela observação dos pontos do plano cartesiano a seguir.

2 Observando esses pontos, podemos dizer que eles são colineares, isto é, pertencem a uma mesma reta. Além disso, o nosso conhecimento sobre plano cartesiano nos permite identificar que os pontos A, B e C têm respectivamente as seguintes coordenadas: (1,3); (4,5); (7,7). Em relação à distância entre esses pontos, é possível conhecê-la, sabendo que o ponto B é o ponto médio do segmento AC? Em um primeiro momento, talvez você pense que essa distância não poder ser conhecida, porém, para responder essa pergunta, vamos observar mais um ponto desse plano cartesiano. Veja que o novo ponto representado no plano tem coordenadas (7,3). Esse ponto D é colinear ao ponto A e colinear ao ponto C. Traçando um segmento de reta do ponto A até o ponto C, outro do ponto A até o ponto D e um terceiro do ponto C até o ponto D, temos um triângulo retângulo. Neste triângulo as medidas dos lados AD e CD são conhecidas, acompanhe:

3 Dado o triângulo retângulo e sendo conhecidas as medidas dos catetos, podemos determinar a medida da hipotenusa ao aplicar o teorema de Pitágoras. Assim, temos: d AC= 4² + 6² (d AC= distância de A até C) d AC= d AC= 5 d AC = 5 d AC = 7, ( aproximadamente) Considerando a distância de AC igual a 7,, sabemos que o segmento AB e BC medem cada um 3,61.

4 Generalizando, podemos fazer as seguintes relações no cálculo da distância entre dois pontos: Se o segmento for paralelo ao eixo das abscissas (eixo x), como no caso a seguir, pode-se conhecer a medida do segmento, ao realizar a seguinte subtração: d AD = x - x 1 Se o segmento for paralelo ao eixo das ordenadas (eixo y), como no caso a seguir, pode-se conhecer a medida do segmento, ao realizar a seguinte subtração: d AD = y - y 1

5 Se o segmento não for paralelo a nenhum dos eixos, como o segmento AC apresentado no plano a seguir, pode-se aplicar a seguinte relação: d AC = (x - x1)² (y - y1)² Equação da reta Lembra-se dos pontos A, B e C que estavam representados no primeiro plano cartesiano que vimos no início desse capítulo? Vamos visualizá-los novamente.

6 No início do capítulo falamos que esses três pontos pertencem a mesma reta, considerando que uma reta pode ser descrita pela equação ax + by = 0. Vejamos como descrever essa equação para a reta que contém os pontos A, B e C. Para tanto, vamos verificar qual é a relação entre os triângulos apresentados no plano a seguir. Dados os triângulos ACD e ABE, pode-se dizer que eles são semelhantes porque temos o ângulo A comum aos dois triângulos, e os ângulos B e C congruentes. Sendo os triângulos semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais, logo pode-se descrever a seguinte relação: AD DC AE BE

7 Dadas as coordenadas dos pontos A, B, C e E, temos: AD = x x 1 AE = x x 1 DC = y y 1 BE = y y 1 Considerando a proporcionalidade, temos: AD DC x - x1 y - y1 AE BE x - x1 y - y 1 Dada a proporcionalidade, pode-se determinar a equação da reta que passa por dois pontos dados (x 1,y 1) e (x, y ). Acompanhe um exemplo:

8 Dados os pontos D e E, vamos determinar a equação da reta que passa por esses pontos x - x1 y - y1. por meio da relação x - x1 y - y1 Sendo as coordenadas dos pontos D e E respectivamente (1,) e (3,5), vamos considerar as seguintes identificações: Identificaremos x e 1 y 1 como sendo as coordenadas (1,). Identificaremos x e y como sendo as coordenadas (3,5). Assim, temos: x y x - 1 y - 3.(y ) = 3.(x 1) y 4 = 3x 3 y 4 3x + 3 = 0 y 3x = 0 y 3x 1 = 0 Portanto, a equação da reta que passa pelos pontos D e E é igual a y 3x 1 = 0. Vamos utilizar o que acabamos de aprender para resolver uma situação-problema. O gráfico apresentado a seguir, traz informações sobre o lucro anual de uma empresa de acordo com seus anos de vida Lucro anual em milhões Anos

9 Considerando que nesse intervalo de tempo houve um crescimento linear, qual foi o lucro da empresa no 5º ano de existência? Para responder essa pergunta, podemos fazer as seguintes observações: Em leitura ao gráfico, é possível visualizar que no período representado o lucro está indicado por uma reta crescente. Fazendo a leitura dos dados por meio de um eixo de coordenadas cartesianas, visualizamos os pares ordenados (3,1) e (7,8). Com essas informações, uma maneira de saber qual foi o lucro no 5º ano de existência, é obter a equação da reta que passa pelos pontos (3,1) e (7,8). Como já vimos, a equação que descreve essa reta pode ser facilmente obtida por meio da seguinte relação: x - x1 x - x 1 y - y1 y - y 1 Assim temos: x y x y (y 1) =16.( x 3) 4y 48 = 16x 48 4y 48 16x + 48 = 0 4y 16x = 0 4y 16x +0 = 0 Portanto, a equação que determina a reta que passa pelos pontos (3,1) e (7,8) é igual a 4y -16x = 0 Isolando a variável y, temos: 4y = 16x y = 16x 4 y = 4x Sendo x representado pelos anos, devemos considerar x igual a 5 para que possamos conhecer qual foi o lucro no 5º ano de existência. y = 4.x y = 4.5 y = 0

10 Portanto, no 5º ano de existência, o lucro será de 0 milhões. Distância ponto reta Quando são dados em um plano cartesiano uma reta e um ponto que não pertence a essa reta, a distância entre o ponto e a reta pode ser calculada pela seguinte expressão: d = ax0 by0 c a² b² Dado o plano cartesiano a seguir, em que temos identificados a reta x + y 6 = 0 e o ponto A de coordenadas (7,4), vamos determinar a distância entre o ponto e a reta, a qual está identificada pelo segmento c. Conhecida as coordenadas do ponto e a equação da reta, temos: d = ax0 by0 c a² b²

11 d = (-6) ² 1² d = 14 4 (-6) 4 1 d = 1 5 d = d = 5,36,4 Portanto, a distância do ponto A até a reta x + y 6 = 0 é de aproximadamente 5,36 unidades de medida. Coeficiente angular Vimos anteriormente que uma reta pode ser descrita pela equação ax + by = 0, essa equação recebe o nome de equação geral da reta. Além dessa equação, pode-se representar uma reta por meio de sua equação reduzida, a qual é representa da seguinte forma: y = mx + n Na equação reduzida temos m como coeficiente angular da reta e n como coeficiente linear. O número m é a tangente do ângulo α que a reta faz com a horizontal. A medida do ângulo α é chamada de inclinação da reta. Portanto temos: m = tg α O número n é a ordenada do ponto em que temos ( 0,y), onde a reta intercepta o eixo das ordenadas ( eixo y).

12 Veja algumas características da relação entre m e a medida do ângulo α. Dados dois pontos quaisquer de um plano cartesiano, podemos obter o coeficiente angular da reta que passa por esses dois pontos, aplicando o seguinte cálculo: y m = x y x 1 1 Vejamos um exemplo: y m = x y x 1 1 m = m = m = 3-3

13 Dadas duas retas em um plano cartesiano, temos as seguintes relações: Sendo r // s, essas formam ângulos iguais com o eixo x. Portanto seus coeficientes angulares são iguais. α m r = m s As retas r e s são retas concorrentes quando apresentam coeficientes angulares diferentes. m r m s As retas r e s, não verticais, são perpendiculares entre si, portanto o produto de seus coeficientes angulares é igual a 1(menos 1). m r.m s = - 1

14 Equação da circunferência Observe o plano cartesiano apresentado a seguir. Ao observar o plano cartesiano, vemos que nele há uma circunferência c de medida de raio desconhecida. Porém, utilizando questões já discutidas nesse capítulo, podemos calcular a medida desse raio. Para tanto, basta apenas verificar que o raio r tem suas extremidades determinadas pelos pontos C e B, onde C representa o centro da circunferência. Sendo conhecidas as coordenadas desses pontos, pode-se determinar o comprimento do raio r ao calcular a distância entre os pontos C e B. Assim, devemos lembrar que para calcular a distância entre pontos, pode-se fazer uso da seguinte expressão: d CB = (x - xc )² (y - yc )² Sabemos que o ponto C tem as coordenadas (x c,y c) e o ponto B tem as coordenadas (x,y). Sendo CB igual a r, temos: r = (x - xc )² (y - yc )² Portanto, a medida do segmento CB, ou seja, a medida do raio r pode ser determinada pela expressão r² = (x 1 x c)² + (y 1 y c)². Essa expressão é identificada como equação da circunferência.

15 Vejamos alguns exemplos de utilização da equação da circunferência. 1º - Dada a equação de centro C e raio r, vamos determinar a medida do raio. Sendo conhecidas as coordenadas do centro e do ponto B, temos: B (4,5) e C ( 3,4) r² = (x 1 x c)² + (y 1 y c)² r² = ( 4 3)² + ( 5 4)² r² = (1)² + (1)² r² = r² = r = r = 1,41 º - Dada a equação (x 9)² + ( y 5)² = 8, quais são as coordenadas do centro da circunferência representada por essa equação? Sabendo que temos a equação da circunferência descrita pela seguinte expressão: r² = (x 1 x c)² + (y 1 y c)² Desta forma, na equação dada, temos as coordenadas do centro representadas pelo par ordenado (9, 5). Dica Uma circunferência que tem o seu centro localizado na origem do eixo de coordenadas cartesianas tem sua equação representada pela expressão: x² + y² = r²

16 ATIVIDADES 1. Dado o segmento AB, determine o seu comprimento.. Observe o triângulo retângulo ABC apresentado no plano cartesiano a seguir: Em relação ao seu perímetro, podemos dizer que é igual a a) 1 b) 7 c) 8 d) 5 e) 64

17 3. (ENEM 016/1) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas. Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá a) diminuir em unidades. b) diminuir em 4 unidades. c) aumentar em unidades. d) aumentar em 4 unidades. e) aumentar em 8 unidades.

18 4. (ENEM 015) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de ônibus de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q. Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre a paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais. De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são a) (90 ; 0). b) (410 ; 0). c) (410 ; 0). d) (440 ; 0). e) (440 ; 0).

19 5. Observe a circunferência e determine as coordenadas do centro e a medida aproximada de seu diâmetro. y x INDICAÇÕES Para estudar um pouco mais sobre a Geometria Analítica, consulte os materiais indicados nos links a seguir. Geometria Analítica Disponível em: Laboratório virtual de Matemática Geometria Analítica Disponível em:

20 REFERÊNCIAS INEP.ENEM 015. Prova Amarela. Disponível em:< PLICACAO_DIA_0_05_AMARELO.pdf >. Acesso em: 1 nov h. INFOENEM 016. Prova Amarela. Disponível em:< 05_AMARELO.pdf>. Acesso em: 8 nov h. SMOLE, Kátia Stocco. DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio. V 3. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 010. p GABARITO 1. Sendo as coordenadas de A (,5) e as coordenadas de B (,), comprimento do segmento AB é igual a 3. d AB = 5 d AB = 3.Alternativa A. Para determinar o perímetro do triângulo ABC, é necessário determinar a medida de cada lado. Assim, temos: d AB = 5 d AB = 3 d CB = 5 1 d CB = 4 d CA = (x - x1 )² (y - y1 )² d CA = (5-1) (5 - ) d CA = (4) (3) d CA = 16 9 d CA = 5 d CA = 5

21 Se os lados do triângulo medem 5, 4 e 3, seu perímetro é igual a 1 unidades de medida. 3.Alternativa C Se haverá alteração do projétil B, em leitura ao gráfico observa-se que a inclinação da reta que o representa será alterada, logo, teremos uma diferença entre os coeficientes angulares, assim, devemos calcular o coeficiente angular da reta que representa o projétil B antes de realizada a alteração e o coeficiente angular, considerando o momento em que os projéteis irão se interceptar, no ponto de coordenadas (4,16). Para calcular o coeficiente angular antes da alteração da trajetória do projétil B, vamos considerar os pontos (0,0) e (4,8). y m = x y x 1 1 m = m = Para calcular o coeficiente angular após a alteração da trajetória do projétil B, vamos considerar os pontos (0,0) e (4,16). m = m = Portanto, para que os projéteis se interceptem no ponto máximo da trajetória realizada pelo projétil A, B deverá aumentar o seu coeficiente angular em unidades. 4. Alternativa E. Para saber quais são as coordenadas do novo ponto, devemos primeiramente calcular a distância entre os pontos P e Q. Acompanhe o desenho: 30-0= = 50

22 De acordo com os dados, a distância de P até Q é igual a 80 unidades de medida. Se o novo ponto T deve ficar em uma localização que seja equidistante desses dois pontos. 80 Assim, temos: T Portanto, o ponto T terá coordenadas ( , 0), isto é, (440, 0) 5. Dada a equação C, temos como coordenadas do centro ( 8,3). Para calcular a medida de seu diâmetro, devemos considerar a seguinte equação: r² = (x 1 x c)² + (y 1 y c)² Assim, temos: r² = (6 8)² + (5-3)² r² = (6 8)² + (5-3)² r² = (-)² + ( )² r² = r² = 8 r 8 r =,83 Sendo r aproximadamente,83, o diâmetro terá comprimento aproximado de 5,66.