FIGURAS SEMELHANTES CONTEÚDOS. Polígonos semelhantes Semelhança de triângulos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS. Observe as imagens a seguir.

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1 FIGURAS SEMELHANTES CONTEÚDOS Polígonos semelhantes Semelhança de triângulos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Observe as imagens a seguir. Figura 1 Balão I Fonte: Microsoft Office Figura 2 Balão II Fonte: Microsoft Office Se você fosse descrevê-las, talvez uma das primeiras coisas que iria mencionar é que elas são iguais, não é mesmo? Na verdade, essas figuras são identificadas como semelhantes, vejamos o que significa a semelhança. Olhando para as figuras observamos que elas apresentam o formato de um retângulo. Assim, se todas são retângulos, todos os ângulos são iguais a 90. A única diferença entre elas é que apresentam medidas de comprimento e altura diferentes. Veja que a figura 1, apresenta altura maior que a figura 2, e a mesma situação é válida entre seus comprimentos. Considere que as figuras apresentam as seguintes medidas: Figura 1: comprimento igual a 8 cm e altura igual a 4 cm. Figura 2: comprimento igual a 4 cm e altura igual a 2 cm.

2 Entre essas medidas observa-se que a razão entre seus comprimentos é igual a razão entre suas alturas. Isto é: Logo, temos a seguinte proporcionalidade: Por terem os ângulos correspondentes iguais e os lados correspondentes proporcionais, essas figuras são identificadas como semelhantes. Polígonos semelhantes Dados os quadriláteros ABCD e EFGH, pode-se dizer que eles são semelhantes se: Os ângulos correspondentes forem congruentes Os lados correspondentes forem proporcionais Vamos verificar a relação entre as medidas desses polígonos para identificar se há semelhança entre eles. Observe que: Os ângulos Ĥ e Bˆ, correspondentes, são congruentes. Os ângulos Ĉ e Ê, correspondentes, são congruentes. Os ângulos  e Ĝ, correspondentes, são congruentes. Os ângulos Dˆ e Fˆ, correspondentes, são congruentes.

3 Em relação aos lados temos: AB BC CD DA HG HE EF FG Logo: AB HG BC HE CD EF DA FG Sendo os ângulos correspondentes congruentes e os lados também correspondentes proporcionais, podemos afirmar que os dois polígonos são semelhantes. E que a razão de semelhança entre eles é igual a 2. Saiba mais Para representar a semelhança entre os quadriláteros pode-se utilizar o seguinte símbolo: quadrilátero ABCD quadrilátero EFGH semelhante A razão de semelhança Observe as duas imagens a seguir, veja que na figura 4, a qual é semelhante a figura 3, que sua medida de comprimento não é conhecida. No entanto, sabendo que as figuras são semelhantes, essa medida pode ser facilmente obtida, se conhecida a razão de semelhança. Acompanhe: 9 cm x 6 cm 4 cm Figura 3 Tower Bridge Fonte: Wikimedia Commons Figura 4 Tower Bridge Fonte: Wikimedia Commons

4 6 cm Relacionando as alturas das figuras temos: 1,5cm 4 cm Portanto, a razão de semelhança entre elas é igual a 1,5 cm. E, para saber o comprimento x da figura 4, pode-se aplicar o seguinte cálculo: 9 9 1,5 9 1,5.x x x = 6 x 1,5 Ou seja, o comprimento da figura 4 é igual a 6 cm. Relação entre os perímetros Vamos calcular os perímetros dos polígonos ABCD e EFGH. 4 cm 4 cm 2 cm 0,5 cm 1 cm 2 cm 50 2,5 cm 50 5 cm O perímetro do quadrilátero ABCD é: 4 cm + 4 cm + 1 cm + 5 cm = 14 cm O perímetro do quadrilátero EFGH é: 2 cm + 2 cm + 0,5 cm + 2,5 cm = 7 cm Perímetro ABCD 14 Calculando a razão entre esses perímetros temos: 2 Perímetro EFGH 7 Relacionando os perímetros com dois lados quaisquer correspondentes, temos a Perímetro ABCD AB proporcionalidade: Perímetro EFGH HG Ou seja, sendo dois polígonos semelhantes, os perímetros desses polígonos são proporcionais às medidas de dois lados correspondentes quaisquer.

5 Razão de semelhança entre áreas Observe os quadriláteros ABCD, EFGH e suas respectivas medidas de área. 2 4 Esses quadriláteros são semelhantes. Vejamos qual é a razão de semelhança entre as áreas desses polígonos: Área ABCD 4 Área EFGH Entre os lados correspondentes, a razão de semelhança é igual a. 2 Observando a relação entre as razões, conclui-se que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os segmentos. 1 Razão entre os segmentos correspondestes: 2 1 Razão entre as áreas: 4 Triângulos semelhantes Observe os triângulos ABC e DEF, em relação aos seus ângulos, podemos dizer que: Bˆ Ê Ĉ Fˆ Â Dˆ 6 cm 4,5 cm 3 cm 2,25 cm 3 cm 6 cm

6 Em relação aos lados correspondentes, temos as seguintes razões: BC 3 EF BA ED CA FD 2,25 4,5 1 2 Sendo os ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais, pode-se dizer que esses triângulos são semelhantes. Saiba mais O símbolo utilizado para relacionar os ângulos indica que eles são congruentes. Bˆ Ê Símbolo utilizado para indicar congruência Casos de semelhança entre triângulos Vimos que dois triângulos são identificados como semelhantes se apresentarem ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. No entanto, relacionar dois triângulos identificando a semelhança entre eles, pode também ser realizado baseando-se em algumas condições mínimas, vejamos: 1º Observe os triângulos ABC e DEF. Nele temos: Bˆ Ê e Ĉ Fˆ

7 Sendo os ângulos indicados congruentes, pode-se afirmar que os triângulos são semelhantes. Neste caso a semelhança é identificada como AA (ângulo ângulo). Em relação a esse caso de semelhança, pode-se descrever: Se dois triângulos apresentam dois ângulos respectivamente congruentes, esses triângulos são semelhantes. 2º Observe os triângulos ABC e DEF. Nele temos: Bˆ Ê Se BC BA identifica-se esses triângulos como semelhantes. EF ED Esse segundo caso de semelhança é identificado como LAL( lado ângulo lado) Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre esses lados são congruentes, esses triângulos são semelhantes. 3º- Observe os triângulos ABC e DEF. Se BC BA CA identifica-se esses triângulos como semelhantes. EF ED FD

8 Esse terceiro caso de semelhança é identificado como LLL ( lado lado lado) Se dois triângulos apresentam os lados correspondentes proporcionais, esses triângulos são identificados como semelhantes. ATIVIDADES 1. Dado os triângulos GHI e JKL, conhecendo as medidas de dois de seus lados, e sabendo que os ângulos Ĥ e Ĵ são congruentes, identifique qual é o caso de semelhança entre eles e determine a razão de semelhança. 3 cm 1,5 cm 4 cm 2cm 2. Se dois quadrados são semelhantes e a medida do lado do maior deles é igual a 10 cm, sabendo que a razão de semelhança entre esses polígonos é igual a 2 1, qual é a medida do lado do menor?

9 3. Uma fotografia que apresenta o tamanho 10 cm x 15 cm, será ampliada e a razão de semelhança entre as figuras será igual a 3. Após a ampliação, qual será a maior medida da nova fotografia? 4.(ENEM -2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros. 5. Observe nos mapas que entre os estados de São Paulo, Bahia e Rio de Janeiro, foram traçadas linhas que formam um triângulo. O mapa 2 é uma redução do mapa 1, e os polígonos traçados em cada desses mapas são semelhantes, sendo a razão de semelhança entre o mapa 1 e o mapa 2 igual a 2. Se o mapa 1 foi construído na escala 1: , qual é a distância real, em quilômetros, entre certo ponto do estado de São Paulo (Ponto A) e uma determinada cidade (ponto B) no estado da Bahia B A x 10 cm Figura 5 Brasil, Mapa 1 Fonte: Microsoft Office Figura 6 Brasil, Mapa 2 Fonte: Microsoft Office

10 6. No projeto de um empreendimento imobiliário, estão informadas as localizações de um poste de iluminação que ficará na via onde transitará os carros, e de um coqueiro artificial, de 3 metros de altura. Veja a imagem a seguir, que representa um esboço de uma parte do projeto. O ponto A, será o local onde ficará a portaria. Como o projeto ainda não foi finalizado, algumas alterações ainda podem ser realizadas, por exemplo, a distância entre a portaria e o coqueiro ainda não foi definida. A única informação precisa é que a distância entre o coqueiro e o poste terá 6 metros a mais do que a distância entre a portaria e o coqueiro. Além disso, segundo informações do projeto, deseja-se que entre o poste e o coqueiro sejam reservadas algumas vagas para visitantes, cada uma com 3 metros de largura. Se o poste tem 9 metros de altura, considerando as medidas informadas, quantas vagas para visitantes poderão ser construídas? INDICAÇÕES Estude um pouco mais sobre as figuras semelhantes consultando os vídeos disponibilizados nos links a seguir: Introdução à semelhança de triângulos. Disponível em:

11 Resolução de problemas com triângulos semelhantes. Disponível em: Polígonos semelhantes Disponível em: REFERÊNCIAS GIOVANNI, José Ruy. GIOVANNI, José Ruy Júnior. BENEDICTO, Castrucci. A conquista da Matemática. São Paulo: FTD, p IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. 10ª ed. São Paulo: Atual, INEP.ENEM Prova azul. Disponível em:< Acesso em: 17 maio h. INEP.ENEM Prova amarela. Disponível em:< m_amarelo.pdf >. Acesso em: 07 jun h. MICROSOFT Office for Windows Version 7. [S.l.]: Microsoft Corporation, CD- ROM. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos: Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v 1. Matemática: caderno do estudante. Disponível em: < no>. Acesso em: 18 jan h. WIKIMEDIA COMMONS, Tower Bridge Disponível em:< Acesso em: 07 jun h15min.

12 GABARITO 1. Sendo os ângulos Ĥ e Ĵ congruentes e os lados compreendidos entre esses ângulos proporcionais, o caso de semelhança é o LAL ( lado ângulo lado). Para determinar a razão de semelhança verificamos a relação entre os lado GH e KJ. GH 3 2 KJ 1,5 A razão de semelhança entre qualquer lado do triângulo GHI e JKL, é igual a Sendo as figuras semelhantes, tem-se a seguinte relação: comprimento comprimento do do quadrado menor 1 compriment o do quadrado menor 0,5 quadrado maior 2 10 Comprimento do quadrado menor = 10.0,5 Comprimento do quadrado menor = 5 cm 3. Sendo a razão de semelhança igual a 3, a medida do maior lado da nova fotografia será igual a 45 cm. x 3 x 15.3 x Para determinar a distância que o paciente deve caminhar para atingir o ponto mais alto, vamos utilizar um desenho para auxiliar na interpretação do problema colocado. 2,2 m 0,8 m x 3,2 m

13 Interpretando o exercício, temos dois triângulos semelhantes, assim, suas medidas podem ser relacionadas da seguinte maneira: 7,04 0,8 2,2 x 0,8.x = 2,2.3,2 0,8.x = 7,04 x = 8, 8 0,8 3,2 Se o comprimento total da rampa é igual a 8,8 m e o paciente já caminhou 3,2 m restam ainda 5,6 m. 5. Conhecida a escala utilizada no mapa 1, para saber qual é a distância real, é necessário conhecer a distância, no mapa 1, entre os dois estados. Para tanto, deve-se considerar que esses triângulos são semelhantes e que a medida correspondente a distância entre os dois estados, é informada no mapa 2. Assim temos: medida no mapa 1 medida no mapa medida no mapa 2 10 medida no mapa medida no mapa 1 20cm Se no mapa 1 a distância entre os pontos A e B é de 20 cm, para saber a distância real, basta utilizar a escala dada x = x = cm x Para transformar essa medida em quilômetros, devemos dividir os cm por A distância entre os pontos A e B é igual a km.

14 6. Observando a imagem apresentada, conclui-se que temos dois triângulos semelhantes ( pelo critério AA). Sendo conhecida as alturas do poste e do coqueiro, sabe-se que a razão de semelhança entre eles é igual a 3. Como a distância entre a portaria e o coqueiro não é informada, podemos identificá-la como x. Logo, a distância entre o coqueiro e o poste será de x + 6. Assim temos: 9 x x x = 2.x x 2.x = 6 x = 6 3 x Se x é igual a 6, a distância entre o coqueiro e o poste será igual a 12 m. Se cada vaga deverá ter uma largura de 3 m, nesse projeto será possível construir 4 vagas.