Professores: Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho, Marcelo Almeida e Paulo Luiz

Transcrição

1 Professores: Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho, Marcelo Almeida e Paulo Luiz

2 AULA 01 O que é semelhança em geometria Em um primeiro nível de raciocínio, podemos dizer que duas ou mais figuras são semelhantes quando causam, no observador, a mesma sensação, no que se refere a sua forma.

3 As três figuras desse slide são semelhantes? Figura 1 Figura 2 Figura 3

4 O que é semelhança em geometria Da observação das imagens anteriores, podemos pensar (de maneira informal) que duas imagens são semelhantes quando podemos dizer que, em relação à outra, uma delas é Uma cópia Uma redução Uma ampliação Obviamente, sem deformações.

5 Def.: Semelhança de Triângulos Dois triângulos são ditos semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de tal sorte que 1) Vértices correspondentes sejam vértices de ângulos internos congruentes; e 2) A razão entre lados homólogos de um triângulo para o outro seja constante. Obs.1: homólogos = correspondentes Obs.2: É comum nos referirmos a essa constante como k e ela recebe o nome de razão de semelhança.

6 Exercício Fundamental 1.1 Na figura, tem-se ABC ~ A B C. Se o perímetro do ABC é de 64,8 cm e os lados A B, B C e A C têm medidas iguais a 10 cm, 14 cm e 12 cm, respectivamente, determine a) a razão de semelhança (k) do triângulo ABC para o triângulo A B C. b) a razão de semelhança (k ) do triângulo A B C para o triângulo ABC. c) a medida de cada um dos lados do ABC. d) a razão de AB para A B ; e a razão de B C para BC. 14

7 CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA CASO: LADO ÂNGULO LADO (L.A.L.) Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e se o ângulo entre estes lados for congruente ao correspondente do outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.

8 CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA CASO: LADO LADO LADO (L.L.L.) Se dois triângulos possuem os seus lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.

9 CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA CASO: ÂNGULO - ÂNGULO (A.A.) Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.

10 APLICAÇÕES NA MATEMÁTICA Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo determinado por ela é semelhante ao primeiro. A.A

11 Exercício Fundamental 1.2 Para medir a altura de um prédio, Ana fez o seguinte: amarrou um cabo no topo do prédio e depois fixou a outra ponta do cabo no solo, a 5 m de distância da base do prédio (esticado). Em seguida, a uma altura de 5 m a partir do solo, amarrou outro cabo, paralelo ao primeiro, porém fixouo no solo a 2 m de distância da base do prédio. Determine a altura do prédio.

12 Exercício Fundamental 1.3 (Acafe-SC-2001) Uma pessoa caminha sobre uma rampa inclinada (inclinação constante) de 3,5 m de altura. Após caminhar 12 m sobre ela, se encontra a 1,5m de altura em relação ao solo. Para atingir o ponto mais alto da rampa, quantos metros esta pessoa deve ainda caminhar?

13 TAREFA 1 SALA: PSA 3 e 9 CASA: PSA 1, 2, 4 a 7, 10, 12 e 13

14 Sugestão de roteiro de resolução para os exercícios 1) Nomeie os ângulos internos de um dos triângulos e, utilizando relações, conclua quais são os ângulos correspondentes no outro triângulo. 2) Anotar as medidas dos lados e dos ângulos na figura. Obs.: É comum que um dos triângulos apresente pelo menos um dos lados com medida igual a uma soma (ou subtração) de dois valores. 3) Montar a proporção com os lados homólogos e resolvê-la.

15 Professores: Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho, Paulo Luiz, Marcelo Almeida e Jorge Augusto

16 Um triângulo retângulo é qualquer triângulo que tem um ângulo reto,90.

17 Os lados do triângulo retângulo recebem nomes especiais: Hipotenusa : lado oposto ao ângulo reto Catetos: lados que formam o ângulo reto C a t e t o. Cateto

18 Usando o conhecimento sobre proporções e semelhança de triângulos podemos chegar a algumas relações métricas notáveis em qualquer triângulo retângulo.

19 Triângulo Retângulo A B C H m n a = m + n c b h A m c H B h C H n b h Os triângulos HBA, HAC e ABC são semelhantes (1). 2 c a m a c c m (2). 2 b a n a b b n Somando as equações (1) e (2) 2 2 ) ( c b n m a c b a

20 Triângulo Retângulo c A h b m h h n h 2 m. n B c m A H h n a = m + n h b C A área do triângulo ABC pode ser calculada por: a. h b. c 2 2 B m H H n a. h b. c C

21 Em bom português!! As relações métricas podem ser memorizadas como: 1) O quadrado do cateto é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa; b² = n. a ou c² = m. a 2) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções. h² = m. n 3) O produto da hipotenusa pela sua altura é igual ao produto dos catetos. a. h = b. c 4) O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. a² = b² + c²

22 Exercício Fundamental 1.1 Considere a figura, formada por dois triângulos retângulos justapostos. O valor de y é: y a) 8 b) 12 c) 13 d) 15 e) 18

23 Exercício Fundamental 1.2 Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a: a) 1,8m b) 1,9m c) 2,0m d) 2,1m e) 2,2m

24 TAREFA 2 PSA 17 a 24