AVALIAÇÃO BIMESTRAL I

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1 Nome: Nº Curso: Mecânica Integrado Disciplina: Matemática I 1 Ano Prof. Leonardo Data: / /016 INSTRUÇÕES: AVALIAÇÃO BIMESTRAL I Não é permitido o uso de calculadora ou de celular, caso contrário a sua prova será anulada. As questões 01 e 0 não necessitam de justificativas e/ou cálculos. A avaliação vale no total 4,0 pontos onde cada questão vale 0,5 pontos. As questões não serão aceitas por tentativa e/ou chutes muito menos rasuras (questões objetivas). A avaliação possui duração máxima de 1h30min. Não serão aceitos questionamentos sobre a prova caso esteja feita a lápis grafite. QUESTÕES OBJETIVAS PARTE I (1,0 PONTO) 01) A trigonometria estuda as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. Em um triângulo retângulo, cat. adjacente sabemos que senθ, cosθ e tgθ. Considere o triângulo abaixo e as cat.adjacente proposições I, II e III. I. o ΔABC é retângulo e escaleno. II. sena = 0,6. III. senc + tgc = 7 0 Assinale a alternativa correta. a) Apenas a proposição I é verdadeira. b) Apenas as proposições II e III são verdadeiras. c) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. d) Apenas a proposição II é verdadeira. e) Todas as proposições são verdadeiras. Comentários I Note que o triângulo ABC é retângulo B e é escaleno pois possui os três lados diferentes. (Verdadeira) II O sena é 8 10 = 0, 8 pois senθ. (Falsa) III O senc é 6 = 3 e a tgc é 6 = 3, então = 1+15 = 7. (Verdadeira) Alternativa C IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 1

2 0) Classifique as afirmações em V (Verdadeiro) ou F (Falso) sobre as razões trigonométricas no triângulo retângulo. (V) Em um triângulo retângulo, um dos ângulos agudos é de 60,então em relação a esse ângulo a é o dobro do cateto adjacente. (Pois o cos60 é 1, ou seja, a é o dobro do cateto adjacente) (F) Os ângulos agudos do triângulo retângulo são iguais. (Os ângulo agudos são complementares) (V) As tangentes dos ângulos agudos de um triângulo retângulo são inversas.(observe no triângulo retângulo da questão objetiva acima ou analise com os ângulo de 30 e 60 ). (F) Um triângulo retângulo de catetos 6 e 8,possui 10. Então, um triângulo retângulo de catetos 6 e 8, possui 10. ( A mede 14 pois elevando os catetos ao quadrado e somando temos = 14, como foi usado o T.de Pitágoras tiramos a raiz quadrada de 14) (V) Um triângulo retângulo pode ser também um triângulo escaleno. ( Explicação no item I da Questão Objetiva acima) QUESTÕES OBJETIVAS PARTE II (1,0 ponto) 01) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A e B. O comandante, quando o navio está no ponto A, observa um farol num ponto C e calcula o ângulo A C B = 30. Sabendo-se que o ângulo A B C é reto e que a distância entre os pontos A e B é de 6 milhas, pergunta-se de quantas milhas é a distância entre o farol e o ponto B. a) 6 3 milhas b) 18 3 milhas c) 3 milhas d) 3 3 milhas e) 5 3 milhas Considere o triângulo retângulo em B C B 6milhas A Como o ângulo ACB = 30 então o ângulo CAB = 60. Aplicando a tangente de 60 para encontrarmos a distância entre o farol e o ponto B (BC = x), temos: tgθ tg60 = x cat.adjacente 3 = x 6 6 Portanto, a distância entre o farol e o ponto B é de 6 3 milhas. x = 6 3 milhas IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade

3 0) Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa. No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem m de comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme ilustrado na figura a seguir. De acordo com essas informações, é correto afirmar que o comprimento (L) da rampa é de: a) m b) m c) 3 m d) 4 m e) 5 m Observe a figura abaixo: Como o ângulo é de 45, os catetos são iguais (Triângulo Retângulo e Isósceles). T.de Pitágoras x x sen 30 o = x Razões Trigonométricas L. L Portanto o comprimento (L) da rampa é de m. QUESTÕES DISCURSIVAS (,0 PONTOS) 01) O passeio em teleférico é uma opção turística em várias cidades do mundo. O teleférico mais alto e o segundo mais longo do mundo fica na cidade de Mérida, Venezuela, unindo a cidade ao Pico Espejo, cujo topo está a uma altura de metros acima do nível do mar. O teleférico sai da estação de Barinitas, a metros acima do nível do mar, na cidade de Mérida e, depois de se deslocar 1,5 km, atinge o topo do Pico Espejo. Considere que o cabo do teleférico seja completamente esticado e que θ seja o ângulo, com vértice na estação de Barinitas, formado pelo cabo do teleférico e a horizontal, conforme as figuras. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 3

4 Nessas condições, qual é o valor aproximado do ângulo θ? Utilize a tabela abaixo. MEDIDA DO ÂNGULO SENO COSSENO TANGENTE 11 0,191 0,98 0, ,59 0,966 0, ,309 0,951 0,35 0,375 0,97 0, ,43 0,906 0,467 Considere a figura abaixo Perceba que o 1,5km = 1500m será a e o 3188m é o cateto oposto em relação a θ. Assim, aplicando o seno no triângulo retângulo, temos: senθ senθ = , Portanto, o ângulo θ é de 15. 0) Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está na margem oposta, ele identificou dois pontos B e C, na margem na qual se encontra, tais que os ângulos ABC ˆ e ACB ˆ medem 135 e 30, respectivamente. O topógrafo, então, mediu a distância entre B e C, obtendo 0 metros. Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio. Dado: 3 1,7. Considere a figura abaixo. Como ABC 135, segue que ABH 180 ABC 45 e, portanto, o triângulo ABH é retângulo isósceles. Logo, AH HB. Do triângulo AHC, obtemos AH AH tg ACB tg30 HB BC AH 0 3 AH 3 AH AH 3 3 AH 10( 3 1) AH 7 m. Portanto, a largura do rio é de aproximadamente 7m. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 4

5 03) Demonstre que o sen60 = 3 Considere o triângulo abaixo usando o triângulo equilátero. A altura h pode ser escrita em função dos lados l, da seguinte forma: l = h + ( l ) Assim, h = l l 4 h = 3l 4 h = l 3 sen60 = h l 3 l = l = l 3. 1 l = 3 04) Um navio, que possui 0 m de altura sobre a água, passa por um canal e, em certo momento, o capitão da embarcação avista uma ponte plana sobre o canal, a qual ele desconhece as dimensões e tem de decidir se o navio pode passar sob a ponte. Para isso, ele inicia uma série de cálculos e medições. A primeira constatação que ele faz é a de que, a uma certa distância, d, da projeção da base da ponte, a inclinação do segmento que une a parte retilínea inferior da ponte e o ponto mais avançado do navio, que está a 4 m de altura sobre a água, é de 7. Percorridos 10 m em linha reta em direção à ponte, ele volta a medir a inclinação, obtendo um ângulo de 10, e verifica que a distância entre a parte retilínea inferior da ponte e o ponto mais avançado do navio é de 100 m, como ilustra a figura a seguir. Diante do exposto, admitindo que a superfície do rio é plana, determine a altura da ponte e conclua se esta é suficiente para que o navio passe sob ela. Dados: tg(7 ) 0,1 e cos(10 ) 0,98 Tem-se que d 10 d 10 cos10 0, d 00 m. Daí, h tg7 h 0,1 00 d h 4 m. Portanto, como 4 16, segue-se que a altura da ponte é suficiente para que o navio passe sob ela. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 5