Exercícios de Aplicação do Teorema de Pitágoras

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1 Exercícios de Aplicação do Teorema de Pitágoras Prof. a : Patrícia Caldana 1. Um terreno triangular tem frentes de 12 m e 16 m em duas ruas que formam um ângulo de 90. Quanto mede o terceiro lado desse terreno? 2. O portão de entrada de uma casa tem 4m de comprimento e 3m de altura. Que comprimento teria uma trave de madeira que se estendesse do ponto A até o ponto C? 3. Quantos metros de fio são necessários para "puxar luz" de um poste de 6 m de altura até a caixa de luz que está ao lado da casa e a 8 m da base do poste? 4. A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. Qual é o comprimento da escada?

2 5. Pedro e João estão brincando de gangorra, como indica a figura. Qual é o comprimento da gangorra? 6. Qual é a distância percorrida pela bolinha? 7. A que altura a escada está do solo? 8. A distância entre os muros laterais de um lote retangular é exatamente 12 metros. Sabendo que uma diagonal desse lote mede 20 metros, qual é a medida do portão até o muro do fundo?

3 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS A Semelhança de Triângulos é um conceito usado na disciplina de Matemática, que nos permite calcular, através da proporcionalidade, distâncias inacessíveis ao ser humano. Dizemos, em nosso cotidiano, que duas pessoas ou dois objetos são semelhantes quando estes são parecidos. Na matemática, este conceito é bem mais especifico, designando apenas figuras que tenham a mesma forma, podendo ter o mesmo tamanho. Ampliar ou reduzir uma figura são métodos de se obter outra figura semelhante à primeira, pois apenas mudamos seu tamanho e não sua forma. Nas figuras abaixo, b e c são ampliações de a ou a e b são reduções de c. Dizemos que dois triângulos são semelhantes quando existe uma proporcionalidade entre eles, ou seja, quando os ângulos e lados do primeiro triângulo estão em correspondência com os ângulos e lados do segundo triângulo. Quando semelhantes, os ângulos dos triângulos serão iguais e os lados do primeiro triângulo serão proporcionais aos lados do segundo. Apesar desse conceito, não é preciso que se conheça todos os lados e ângulos dos triângulos para que tenhamos a semelhança assegurada. Para isso usamos os critérios de semelhança de triângulos identificados pelas siglas: AA, LAL, LLL. Caso AA - Ângulo Ângulo "Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes."

4 Caso LAL - Lado Ângulo Lado "Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e se o ângulo entre estes lados for congruente ao correspondente do outro triângulo, então os triângulos são semelhantes." Caso LLL - Lado Lado Lado "Se dois triângulos possuem os seus lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes." Mas, como determinamos matematicamente se um triângulo é semelhante ou não a outro? Vejamos um desenho para que possamos compreender melhor: Antes, temos que determinar a correspondência dos vértices de cada triângulo, pois assim determinaremos a correspondência dos lados e dos ângulos entre estes dois triângulos. Os vértices A, B, C correspondem, respectivamente, aos vértices A, B, C. Sendo assim, montaremos as razões de proporcionalidade entre os lados correspondentes.

5 Uma das condições é que todos os lados correspondentes possuam uma proporcionalidade, que chamaremos neste caso de k. Ressaltando que essa razão foi construída pela divisão de cada lado correspondente: veja que o lado A B do segundo triângulo corresponde ao lado AB do primeiro triângulo. Por este fato, a divisão foi feita entre eles, e de mesmo modo com os outros lados. Entretanto, apenas a condição de proporcionalidade dos lados não é suficiente para afirmarmos a semelhança entre os dois triângulos. Necessitamos que seus ângulos correspondentes sejam iguais. Sendo assim, indicaremos a semelhança destes triângulos desta forma: Exemplo: Verifique se os triângulos a seguir são proporcionais. Ao verificarmos a congruência dos ângulos, teremos que: Temos agora que verificar a proporcionalidade dos lados. Note que todos os lados possuem a mesma razão de proporcionalidade (1/2). Sendo assim, podemos afirmar que: Saiba mais:

6 Exercícios de Aplicação de Semelhança de Triângulos 1. Em determinada hora do dia, uma pessoa de 1,80m1,80m de altura faz uma sombra de 1,50m1,50m. Neste mesmo momento, um prédio próximo à pessoa faz uma sombra de 20m20m. Determine a altura do prédio. Solução: Esta situação forma dois triângulos semelhantes, como vistos abaixo: Portanto basta fazer a proporção: 2. Considere que o ponto O represente os olhos de um observador, a uma altura de 1,47 m1,47 m do solo. Este observador consegue ver o ponto A no topo de uma árvore no centro de uma poça de água (ponto C), como mostra a imagem abaixo. A distância entre o observador e o centro da poça é de 2,10 m2,10 m e a distância do pé da árvore até este ponto é de 4 m4 m. Determine a altura da árvore.

7 3. Utilize as condições de semelhança de triângulos para encontrar os valores de x e y: Primeiro passo para resolução: escolher 2 pares de lados para comparar. Segundo passo, monte a equação de proporcionalidade e resolva. Escolhendo o cateto esquerdo e a base do triangulo, teremos a seguinte relação matemática: Agora, fazemos uma multiplicação cruzada dos valores: 3. x e 5. 6 e teremos: 3 x = 30 x = = 10 Sabendo que x = 10, podemos continuar nossos cálculos para descobrir quanto vale y. Seguindo o mesmo procedimento anterior, obtemos: y = 24 x = = 8

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9 4. Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 5. Uma estaca tem 150 cm e projeta uma sua sombra 2,20 m ao mesmo tempo em que um poste projeta uma sombra de 490 cm. Qual é a altura aproximada do poste em metros? 6. Devido a uma pedra no meio do caminho, se tornou difícil medir diretamente a distância de A até B. Usando seus conhecimentos de semelhança entre triângulos, calcule a distância de A até B.

10 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Um triângulo é uma figura geométrica plana, constituída por três lados e três ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade de medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0º e 180º, de modo que, em qualquer triângulo, a soma dessas medidas é 180º. Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que são relações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar a medida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos. No triângulo retângulo ABC, consideremos, por exemplo, o ângulo que tem vértice em B, cuja medida x, em graus, é um número real que está no intervalo. Entre os lados do triângulo podemos estabelecer as seguintes razões: Seno Seno de x é a razão (divisão) entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o Seno de x por Sen x, temos: e. Cosseno Cosseno de x é a razão (divisão) entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o Cosseno de x por Cos x, temos:.

11 Tangente Tangente de x é a razão (divisão) entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo. Indicando a Tangente de x por Tg x, temos: Observação : De acordo com a definição, é fácil verificar que para todo x variando no intervalo ]0,90[, temos que: Resumo Abaixo segue a tabela com os valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos mais utilizados nos problemas matemáticos.

12 Saiba mais: Prof. a : Patrícia Caldana