Matemática. Resolução das atividades complementares. M2 Trigonometria nos triângulos

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1 Resolução das atividades complementares Matemática M Trigonometria nos triângulos p. 4 ipotenusa de um triângulo retângulo mede 0 cm e o ângulo ˆ mede 60. Qual é a medida dos catetos? 5 cm; 5 cm y 60 o 0 cm 0 o sen ˆ 5 sen sen ˆ y y 5 sen y 5 5 cm 0 0 Os catetos medem 5 cm e 5 cm. cm Um avião se aproima de um aeroporto, em lina reta. o atingir um ponto, o piloto é avisado de que deve alterar sua rota para aterrissar em um outro aeroporto,, distante 60 km de. Um mapa indica que a reta que liga a é perpendicular à trajetória que o avião percorria, e o piloto verifica que deve fazer um giro de 60 com o avião. Qual distância o avião deverá percorrer para cegar a? 40 km.e.: é a distância que o avião deverá percorrer para cegar a. 60 sen Portanto, a distânc ia é 40 km.

2 Um prédio foi construído de forma que sua porta de entrada está,0 m acima do nível da calçada. O arquiteto projetou uma rampa que ligará a calçada à porta de entrada do prédio e terá uma inclinação de 0 com a orizontal. Qual é o comprimento dessa rampa?,40 m Fazendo o comprimento da rampa, vem:,0,0 sen ,40 O comprimento da rampa é,40 m. 4 Um barco navega em um rio, segundo uma lina reta PQ, distante 0 m de uma das margens. o atingir um ponto, o piloto faz um giro de 0 para a direita do movimento do barco e se dirige, em lina reta, para um ponto da margem. alcule a distância que separa de. 40 m 0 o 60 o 0 m Q P O triângulo é retângulo; portanto: 0 sen Logo, a distância entre e é 40 m.

3 5 Um omem viaja de ônibus em uma estrada com um longo treco MN em lina reta ao lado de um campo. o passar por um ponto, ele avista uma casa, de modo que o ângulo ÂN mede 60. pós percorrer 600 m, ele está em um ponto E e vê a casa de forma que ÊN mede 5. alcule a distância que a casa está da estrada. (Se necessário, use 5, 4 e 5, 7.) 80, m ÊN é um ângulo eterno do triângulo; portanto, o ângulo interno mede 45. Seja a distância entre a casa e a estrada. Os triângulos D e DE são retângulos, então: no triângulo D, temos tg , e y no triângulo DE, temos tg y 5 5 y (I) Das duas equações, obtemos o sistema: y ( II) Isolando y em (II), temos: y Substituindo y em (I) e considerando 5,7, vem: 5 (600 ) 5 08,7, , m M 5 o 60 o 45o y D 600 y E N 6 Uma torre de transmissão de energia elétrica está localizada em um terreno plano. Uma pessoa em um ponto X a avista sob um ângulo de 60. o se afastar, segundo uma lina reta que liga a torre ao ponto X, essa pessoa percebe que, após percorrer 0 m, avista a torre segundo um ângulo de 0. Qual é a altura da torre? 0 m 60 o 0 o a X 0 m Y Os triângulos X e Y são retângulos em. No triângulo X, temos tg a, e no t riângulo Y, temos tg a 0 a 5 ( I) om as duas equações, obtemos o sistema: ( a 0) 5 ( II) Substituindo (I) em (II), temos:? m

4 7 Em um triângulo retângulo, de ipotenusa, prolonga-se o cateto até um ponto D tal que está entre e D e med ( D ˆ ) 5 0. alcule a medida de D, sabendo que o ângulo  do triângulo mede 0 e o 0 o y D O triângulo é retângulo, então: y tg y O triângulo D também é retângulo, portanto: tg ( 50 ) y 50 Logo, D Uma praça tem forma triangular e é delimitada pelas ruas cre, Pará e mazonas. Deseja-se abrir uma passagem para ciclistas ligando a rua mazonas à rua Pará, perpendicularmente à rua mazonas. Qual deverá ser a largura dessa passagem para que a abertura d (ver figura) na rua Pará tena no mínimo m? (Se necessário, use 5, 7.) no mínimo,7 m Seja E //. 0 o 0 o E m D No triângulo DE, ˆ 5 0, E ˆ 5 90 e E 5, então: cos ,7 m Ou seja, a largura mínima é,7 m.

5 p Os lados de um triângulo medem 6 cm, 8 cm e cm. alcule o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo. 4 o maior lado opõe-se o maior ângulo; portanto, Â é o maior ângulo. 6 cm cm 8 cm plicando a lei dos cossenos, temos: 5 6 8? 6? 8? cos cos cos alcule o cosseno do maior ângulo de um triângulo de lados cm, 5 cm e 8 cm. o maior lado opõe-se o maior ângulo; portanto, Â é o maior ângulo. cm 5 cm 8 8 cm plicando a lei dos cossenos, temos: 8 5 5?? 5? cos cos cos cos 5 45 cos Os lados menores de um paralelogramo medem cm e sua diagonal menor mede cm. Determine a medida dos lados maiores, sabendo que o menor ângulo desse paralelogramo mede cm cm cm cm 60 o D plicando a lei dos cossenos no triângulo D, temos: ( ) 5??? cos ? ( 4)? ( ) (não convém) e 5 4 Portanto, a medida dos lados maiores é 4 cm.

6 Em um tem-se 5 4 cm, 5 cm e o ângulo  medindo 0. O seno do ângulo ˆ vale: a) c) e) 4 b) d) 4 0 o cm 4 cm Pela lei dos senos, temos: 4 4 sen sen 0 5 sen 5 sen 5 área de um paralelogramo D é 0 alcule a medida de D. 0 m m. O lado mede 6 m e forma com D um ângulo de 0. 6 m 0 o D área do paralelogramo 5 0 m Os triângulos D e D são congruentes pelo caso LLL; logo, a área do triângulo D 55 6 sen S 5?? 0 6?? m Logo, D 5 0 m. m.

7 4 figura mostra os pontos e, um em cada margem de um rio, que deverão ser ligados por uma ponte. Para determinar o comprimento da ponte, um engeneiro marcou um ponto, na mesma margem de, e mediu os ângulos ˆ e ˆ, obtendo 64º e 50º, respectivamente. Mediu também a distância, obtendo 4 m. Determine qual é a medida de, usando as seguintes aproimações: sen 50º 5 0,77; sen 64º 5 0,90; e sen ,9.,85 m m soma dos ângulos internos de um triângulo é 80 ; portanto, Pela lei dos senos, temos: 4 sen ,9 5 sen 50 0,77 5,85 Portanto, D mede,85 m. 5 Na figura, 5 cm, 5 cm e med ( ˆ ) alcule a área do. cm cm 45 cm S 5?? sen 45 S 5 área do é cm. 4? 5

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