Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

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1 TEOREMA DE TALES Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos, observe a ilustração: Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a proporção: O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência: Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes. Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir: Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

2 Exemplo 1: Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir: Determinando o valor de x: Exemplo 2: Determine o valor de x na figura a seguir: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus três ângulos são congruentes (na mesma ordem) e seus lados homólogos são proporcionais.

3 O símbolo significa semelhante. Cada um dos lados homólogos está em um triângulo e ambos são opostos a ângulos congruentes. Razão de semelhança A razão entre dois lados homólogos ou entre dois triângulos semelhantes (k) é chamada de razão de semelhança. Exemplo: Por exemplo, os triângulos abaixo são semelhantes: Os ângulos são congruentes (iguais) e os lados homólogos são proporcionais. Note que A razão de semelhança será k = 2. Podemos dizer que o triângulo ABC é 2 vezes maior que DEF ou que DEF é duas vezes menor que ABC. Propriedades Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades: 1. Reflexiva: um triângulo é semelhante a ele mesmo. ABC ABC

4 ao ABC. 2. Simétrica: se ABC o é semelhante ao DEF, então o DEF é semelhante ABC ABC DEF ABC 3. Transitiva: se o ABC é semelhante ao DEF, e DEF é semelhante a outro JKL, então o ABC é semelhante ao JKL. Teorema fundamental Se houver uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e ela intercepta os outros dois lados em pontos distintos, dois triângulos serão formados e eles serão semelhantes. Casos de semelhança Para se verificar que dois triângulos são semelhantes, não é necessário conferir se todos os lados homólogos são proporcionais e que todos os ângulos são congruentes. Há alguns casos em que a detecção da semelhança é facilitada. Caso AA (Ângulo, Ângulo) Sejam dois triângulos ABC e DEF. Eles serão semelhantes se, e somente se, dois de seus ângulos forem congruentes.

5 Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado) Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem dois lados respectivamente proporcionais e se os ângulos formados por esses lados forem congruentes. Caso LLL (Lado, Lado, Lado) Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem os três lados respectivamente proporcionais. Congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes de a razão de semelhança for k = 1. Esses triângulos possuem os ângulos e os lados homólogos ambos congruentes.

6 Exemplo: As figuras abaixo nos mostram pares de triângulos semelhantes, dessa forma calcule os valores de e x e y: Observando os lados e os ângulos, os lados homólogos são: AB e DE, AC e DF, BC e EF. Assim, para encontrar y fazemos: Para encontrar x fazemos: