Congruência e semelhança de triângulos

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1 Congruência e semelhança de triângulos Aula 13 Ricardo Ferreira Paraizor e-tec Brasil Matemática Instrumental

2 Meta Apresentar problemas aplicando semelhança de triângulos e o Teorema de Tales. Objetivos Ao concluir esta aula, você deverá ser capaz de: 1. aplicar o conceito de congruência de triângulos; 2. resolver problemas utilizando semelhança de triângulos; 3. resolver problemas utilizando o Teorema de Tales.

3 As estruturas triangulares dão sustentação aos materiais das construções em geral A geometria plana é muito importante para nosso dia-a-dia, pois ela se refere a figuras básicas presentes nos desenhos da planta de uma casa e nos projetos da construção de estradas e eletrodomésticos. Uma das figuras a que daremos mais atenção é o triângulo, que é um polígono muito utilizado, tanto como base para estudo de outras figuras geométricas como em nosso cotidiano. Por exemplo, a rigidez proporcionada pelos triângulos é utilizada na sustentação das estruturas em construções de modo geral. Por esses motivos, precisamos dedicar bastante nossos estudos a essa figura. Congruência de triângulos Aula 13 Congruência e semelhança de triângulos 317 Em primeiro lugar, você precisa ter a idéia de congruência. Então, vamos lá! Duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, ou seja, o mesmo tamanho. Veja o exemplo a seguir: Lize Rixt Fonte: Figura 13.1: As três pontas, em forma de triângulos, do telhado dessa casa são congruentes. No caso dos triângulos, existe a congruência entre os lados e os ângulos. Quando um triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF, escrevemos da seguinte forma:

4 ABC DEF 318 e-tec Brasil - Matemática Instrumental Dois triângulos são congruentes quando os lados e os ângulos de um deles têm respectivamente as mesmas medidas dos lados e dos ângulos do outro. Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer três elementos. Veja a seguir os casos de congruência. 1º Caso de congruência de triângulos Dois triângulos que têm os três lados respectivamente congruentes são triângulos congruentes (Lado - Lado - Lado: LLL) Exemplos: O ABC DEF Lê-se: O triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF (LLL). 2º Caso de congruência de triângulos ÂNGULOS ADJACENTES Ângulos vizinhos um do outro. No 2º caso, os ângulos iguais estão no lado congruente. Dois triângulos que têm um lado e os ÂNGULOS ADJACENTES a esse lado respectivamente congruentes são triângulos congruentes. (Ângulo - Lado - Ângulo: ALA) Exemplo: BCA Lê-se: Ângulo BCA FÊD Lê-se: Ângulo FÊD

5 Lado AC é igual ao lado DE BCA $ O FED $ 60 O CAB $ FDE $ 40 ABC DEF O triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF (ALA) 3º Caso de congruência de triângulos Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo compreendido por esses lados respectivamente congruentes são triângulos congruentes. (Lado - Ângulo - Lado: LAL) Exemplo: Aula 13 Congruência e semelhança de triângulos 319 Lado AC é igual ao lado RM = 7 Lado CB é igual ao lado RP = 5 ACB $ MRP $ 60 ABC MPR o O triângulo ABC é congruente ao triângulo MPR (LAL). Note que, neste caso, os ângulos iguais (60 ) ficam entre os lados iguais. 4º Caso de congruência de triângulos Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruente são triângulos congruentes. (Lado Ângulo adjacente Ângulo oposto: LAA O ) Exemplo: 7

6 320 Lado BC é igual ao lado PN = 7 e-tec Brasil - Matemática Instrumental ACB $ MNµ P 45 o (Este ângulo de 45 é adjacente ao lado BC e PN respectivamente) BAC µ NM µ P 65 o (Este ângulo de 65 é oposto ao lado BC e PN respectivamente) ABC MNP O triângulo ABC é congruente ao triângulo MNP (LAA O ) Você já sabe o que é congruência de triângulos e também conhece todos os casos de congruência. Vamos, então, fazer um exemplo. Veja: Um bloco de pedra tem a forma de um triângulo como no desenho abaixo. Calcular x, y e o comprimento de uma moldura para esse bloco. Sabendo-se que AB = x, AD= 1, BC = 0,5 e CD = 0,3y +0,1 Observação: A unidade de medida usada é o metro. Veja a solução: Perceba que o traço em AD e em DC indica que AD = DC, ou seja, o tamanho de AD é o mesmo de DC.

7 Como AD = DC 0,3y +0,1 = 1 Resolvendo a equação, temos: 0,3y = 1 0,1 0,3y = 0,9 0, 9 y = = 3 0, 3 Lado AD = DC ABC DBC por LAL (terceiro caso de congruência de triângulo) Como ABC é congruente ao triângulo DBC AB = BC. Então, x = 0,5. AC = 1 Para se calcular o comprimento da moldura do bloco, devemos calcular o perímetro desse triângulo, ou seja: AD + DC + AC = Portanto, x= 0,5; y = 3 e o comprimento da moldura: 3 metros. Ângulo ADB = BDC Lado DB (comum aos dois triângulos ABD e DBC) Aula 13 Congruência e semelhança de triângulos 321 Agora é com você! Chegou o momento de praticar um pouco para fixar os conceitos. Atividade 1 Atende ao Objetivo 1 Considere as afirmações: I. Se dois ângulos Â e B de um triângulo são congruentes aos ângulos C e D, respectivamente, de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes. II. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes. III. Dois triângulos que têm dois lados e um ângulo respectivamente congruentes são triângulos congruentes. IV. Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são triângulos congruentes. Assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas, a alternativa que apresenta a seqüência CORRETA é: a. VFFV b. VVFF c. VVVF d. FVFV e. FFVV

8 322 Semelhança de triângulos e-tec Brasil - Matemática Instrumental Ao estudar semelhança de triângulo, veremos a importância da matemática na vida prática. Por exemplo, se um dia formos construir uma ponte de madeira e precisarmos saber quanto de material precisaremos comprar para fazer essa ponte, podemos fazer os cálculos utilizando semelhança de triângulo, sem precisar atravessar o rio. Iwan Beijes Fonte: Figura 13.2: Usando a semelhança de triângulos é possível descobrir a que distância está o barco inimigo. Novamente, você precisa ter a idéia de semelhança. Veja que duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não têm necessariamente o mesmo tamanho. Se duas figuras S e T são semelhantes, denotamos: S ~ T. Observe:

9 Dois triângulos são semelhantes, se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados HOMÓLOGOS proporcionais. Se os homólogos são proporcionais, então a razão entre os lados homólogos é uma constante. (Reveja a Aula 7 sobre Regra de três simples). HOMÓLOGOS Elementos que, em figuras semelhantes, estão dispostos da mesma maneira. Aula 13 Congruência e semelhança de triângulos 323 Assim, a d = b e = c f O homólogo do lado b (do triângulo ABC) é o lado e (do triângulo DEF). Veja que os ângulos Â e C correspondem aos ângulos D$ e F$ respectivamente. Agora pense um pouco! Seguindo o raciocínio análogo ao anterior, responda: i. Qual é o lado homólogo do lado a (do triângulo ABC)? ii. Qual é o lado homólogo do lado c (do triângulo ABC)? Pensou? Agora veja a resposta: i. O homólogo do lado a (do triângulo ABC) é o lado d (do triângulo DEF). ii. O homólogo do lado c (do triângulo ABC) é o lado f (do triângulo DEF).

10 324 e-tec Brasil - Matemática Instrumental Atenção! CUIDADO: Não confunda congruência com semelhança de triângulos. Dois triângulos são congruentes quando são iguais. Dois triângulos são semelhantes quando têm os lados homólogos proporcionais. Os triângulos semelhantes podem ter lados com tamanhos diferentes. Vamos fazer mais um exemplo: Observe os dois triângulos semelhantes na figura a seguir. Você sabe dizer qual o valor de x? x A partir da semelhança, podemos determinar o valor de x. Identificando os lados homólogos e montando a proporção, temos: Resolvendo a proporção, temos: 3 4 = 6 x 24 3x = x = 24 x = x = 8 3

11 325 Saiba mais... Medindo através das sombras Conta a lenda que, quando o matemático e filósofo grego Tales (século VI a.c.) chegou ao Egito, os sacerdotes pediram-lhe que averiguasse a altura da pirâmide de Quéops, construída por volta de 2500 a.c., e considerada uma das grandes maravilhas do mundo antigo. Tales traçou uma linha no solo, marcando nela sua altura e esperou que sua sombra, projetada pelo sol, ficasse igual à sua altura; nesse momento, mediu a sombra projetada pela pirâmide. Andrea De Stefani Aula 13 Congruência e semelhança de triângulos Fonte: O matemático respondeu aos sacerdotes: Agora que minha sombra é igual à minha altura, o comprimento da sombra da pirâmide deve coincidir com o comprimento de sua altura. Esse é o conceito de semelhança e, com ele, podemos medir a altura de edifícios, árvores, postes telefônicos usando apenas a sombra que projetam no solo.

12 326 e-tec Brasil - Matemática Instrumental Na seqüência, tem duas atividades para você praticar. Faça as atividades com atenção e se for necessário volte ao início desta seção para reforçar o estudo. Atividade 2 Atende ao Objetivo 2 Um edifício projeta uma sombra de 30m, ao mesmo tempo que um poste de 12m projeta uma sombra de 4m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício e o poste são perpendiculares ao solo?

13 327 Atividade 3 Atende ao Objetivo 2 Se você pretende construir uma ponte AB, para atravessar uma lagoa com as medidas da figura a seguir, sabendo-se que será usada uma tábua retangular de 1 metro de largura, a área total de tábua necessária para se fazer essa ponte será de: Ricardo Ferreira Paraizo Aula 13 Congruência e semelhança de triângulos A Dados: AC = 20 m AD = 6 m AE = 5m DE //BC a. 10 m² b. 24 m² c. 30 m² d. 45 m² e. 50 m²

14 328 Teorema de Tales e-tec Brasil - Matemática Instrumental Você ficará surpreso com tantas aplicações diferentes para este teorema: Desde o cálculo da altura de prédios, distâncias de navios ou aviões até o modo certo de aumentar o almoço de domingo! Você vai ver que tudo isso trata de proporcionalidade de números (ou regra de três). Observe, na figura a seguir, uma vassoura caída sobre uma escada. Veja que o cabo da vassoura forma ângulos iguais com todos os degraus. Isso só acontece porque os degraus são todos horizontais, ou seja, paralelos. Observe que, quando retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos formados numa das retas paralelas são correspondentes e iguais aos ângulos da outra. E quando as retas paralelas são cortadas por duas retas transversais? Sabe o que acontece?

15 Essas retas paralelas e transversais geram segmentos proporcionais. Quando um feixe de retas (um conjunto de três ou mais retas) paralelas é cortado por duas transversais, se os segmentos numa das retas forem iguais ( AB os segmentos na outra reta também serão ( A B = B C = 1,5). Ou seja: 1 1 1, 5 = x = 1, 5 x = BC = 1), então Mas, e quando os segmentos da primeira reta não forem iguais? Como mostra a figura a seguir, onde AB = 1 e BD = 2. Aula 13 Congruência e semelhança de triângulos 329 Dizemos que estes quatro números são proporcionais, ou seja, 1 está para 2, assim como 1,5 está para x =?. Montamos, assim, a proporção: 1 2 1, 5 = x = 3 x E concluímos que B C = 3.

16 330 e-tec Brasil - Matemática Instrumental Atenção! Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais segmentos de retas proporcionais. x y = z t = p q Veja um exemplo do dia-a-dia onde podemos aplicar o teorema de Tales. Tereza quer saber qual entre dois crediários é o mais vantajoso. Na Loja MARQUITO MÓVEIS um armário custa R$ 410,00 à vista. Já na Loja MÓVEIS GRAJAÚ, o mesmo armário sai por duas parcelas: a primeira de R$ 200,00 e a segunda, no próximo mês, de R$ 231,00. Considerando que a inflação prevista é de 5% no próximo mês, qual dos dois crediários sai mais em conta para a Tereza? Para resolver esse problema, vamos analisar as informações num gráfico. Veja: De acordo com a inflação, os valores em reais para o próximo mês ficarão 5% mais caros. Montando a proporção, temos: x = 231

17 Logo, para achar o valor x, basta fazer o produto dos meios (x e 105) pelos extremos (100 e 231). Assim, 105x = e, então, x = 220. Isso significa que, em valores de hoje, os R$231,00 que a Tereza pagaria no próximo mês equivalem a R$220,00. Dessa forma, a loja MÓVEIS GRAJAÚ estaria cobrando R$200,00 + R$220,00 = R$420,00 pelo armário, enquanto a loja MARQUITO MÓVEIS cobra R$410,00 que é, portanto, a melhor opção de compra. Agora, é a sua vez de colocar a mão na massa. Faça a próxima atividade para verificar seu aprendizado e depois leia o resumo da aula. Atividade 4 Atende ao Objetivo 3 Aula 13 Congruência e semelhança de triângulos 331 A figura a seguir mostra um mapa com três estradas paralelas (r//s//t) que são cortadas por duas vias transversais. Determine a distância x entre os cruzamentos dessas vias e estradas indicadas no mapa (em km).

18 332 e-tec Brasil - Matemática Instrumental Resumindo... Reconhecer se um triângulo é congruente ao outro é muito simples, pois basta verificar se são iguais. Mas quando o assunto for semelhança de triângulo é importante dedicar bastante atenção ao mesmo, pois você verá muita aplicação em algumas disciplinas técnicas do seu curso. Casos de congruência de triângulos: 1º Caso de congruência de triângulos: Lado - Lado Lado: LLL 2º Caso de congruência de triângulos: Ângulo Lado - Ângulo: ALA 3º Caso de congruência de triângulos: Lado Ângulo Lado : LAL 4º Caso de congruência de triângulos: Lado Ângulo adjacente Ângulo oposto : LAA O Semelhança de triângulos: Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não têm necessariamente o mesmo tamanho. Se duas figuras S e T são semelhantes, denotamos: S ~ T. Dois triângulos são semelhantes, se e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Se os homólogos são proporcionais, então a razão entre os lados homólogos é uma constante. Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais, segmentos de retas proporcionais. x y = z t = p q

19 Informação sobre a próxima aula 333 Na próxima aula, vamos para o espaço. É isso mesmo, estou falando da geometria espacial. Até lá! Respostas das Atividades Atividade 1 A afirmação I é FALSA, pois os casos de congruências são: LAL ALA LLL LAAo. Dois triângulos com 3 ângulos iguais são semelhantes, mas podem não ser congruentes. A afirmativa II é VERDADEIRA, pois as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes. Veja: Aula 13 Congruência e semelhança de triângulos Podemos ver que o ABD é congruente ao ABC (3º caso de congruência de triângulos LAL). Se os triângulos são congruentes, os lados de um têm as mesmas dimensões do outro. Assim sendo, a diagonal BD é igual à diagonal AC. A afirmativa III é FALSA, o certo é: Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo compreendido por esses lados respectivamente congruentes são triângulos congruentes LAL. A afirmativa IV é VERDADEIRA, veja o 4º caso de congruência LAAo. Portanto, a resposta é a alternativa d. Atividade 2 Para resolver este problema, vamos esboçar os triângulos semelhantes no desenho a seguir.

20 334 Como podemos ver, o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF, pois Â = F e-tec Brasil - Matemática Instrumental = 90 e, como os raios solares se propagam em linha reta e são paralelos, BC é paralela a DE, isto quer dizer que B = E, conseqüentemente C = D. Os lados homólogos são proporcionais: x 30 = 4x = 360 x = 90m 12 4 Logo, a altura do edifício é 90 metros. Atividade 3 Vamos separar o ABC e ADE Os triângulos ABC e ADE são semelhantes, pois B $ D $, C $ E $ e µ A A $ Então, os lados homólogos são proporcionais: x 20 = 6 5 5x = x = = 4. 6 = 24m 5 Área do retângulo b.h = 24.1 = 24 m²

21 Assim, a área total de tábua necessária para se fazer essa ponte será de 24 m² 335 (letra b) Atividade 4 Podemos desmembrar a figura assim: Aula 13 Congruência e semelhança de triângulos Aplicando o Teorema de Tales, teremos: x 3 x 2 = x x + 2 A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição (x - 3)(x + 2) = x(x - 2) Multiplica cada um dos termos de uma expressão por todos os termos da outra expressão. Aplicando a propriedade distributiva, temos: x² + 2x -3x 6 = x² - 2x Vamos passar tudo para o 1º membro (não podemos nos esquecer de trocar o sinal dos termos ao passá-los do 2º membro para o 1º membro) x² + 2x -3x 6 x² +2x = 0 x 6 = 0 x = 6 Logo, a distância x é igual a seis 6 (letra c).

22 336 Referências bibliográficas e-tec Brasil - Matemática Instrumental DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamento de Matemática Elementar. Geometria Plana v ed. São Paulo: Atual, Referências complementares GIOVANNI, José Ruy. et al. A Conquista da Matemática: 8ª série. São Paulo: FTD, IEZZI Gelson. et al. Matemática e Realidade: 8. série. 5. ed. São Paulo. Atual, MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática, idéias e desafios: 8ª série. São Paulo: Saraiva, 2006.