TEOREMA DE PITÁGORAS: Semelhança de Triângulos

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1 1 ANAIS DOS TRABALHOS DE CONCLUSÃO DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA versão , p.? -? - UAB - UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UFSJ NEAD TEOREMA DE PITÁGORAS: Semelhança de Triângulos Maria Imaculada Teixeira Alves de Freitas¹ Francielle Rodrigues de Castro Coelho² Resumo: O Teorema de Pitágoras foi uma das maiores descobertas da Matemática, como o próprio nome deixa implícito foi demonstrado por Pitágoras por volta de 500 a.c.. 0 filósofo Bertrand Russel citou Pitágoras como um dos homens mais importantes de todos os tempos no plano intelectual, e um dos maiores e mais importantes filósofos de sua época. O Teorema de Pitágoras apesar de ter sido utilizado pelos babilônicos um milênio antes do nascimento de Pitágoras, recebeu este nome por ter sido ele o primeiro a demonstrá-lo utilizando-se de relações matemáticas, também revolucionou a matemática e a engenharia da época e atualmente o teorema é usado em muitas áreas do conhecimento principalmente como ferramenta para geometria, construção civil, área de transporte, aeronáutica, e muitas outras. Este Teorema apresenta uma relação existente no triângulo retângulo e foi por meio dele que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O Teorema de Pitágoras já foi objeto de inúmeras respostas para prová-lo o que o torna ainda mais valioso demonstrando sua complexidade. Neste trabalho, apresentaremos uma demonstração deste importante teorema: a demonstração por semelhança de triângulos, faremos a recíproca do teorema e em seguida, algumas aplicações.

2 2 Palavras chave: Teorema de Pitágoras, triângulo retângulo, hipotenusa, catetos, semelhança de triângulos. 1 Aluna do curso de Especialização em Matemática UFSJ. Polo presencial São João da Boa Vista imaculadatfreitas@hotmail.com 2 Professora da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia MG 1 - INTRODUÇÃO Considerado um dos mais notáveis teoremas da matemática, o Teorema de Pitágoras apresenta uma relação matemática entre os lados de qualquer triângulo retângulo, seu enunciado afirma que: Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.. Esse enunciado relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, mas a relação entre áreas também pode ser feita por esse teorema da seguinte maneira: Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.. Os enunciados para ambas as definições podem ser equacionados. Este teorema é muito importante no estudo da Geometria onde é utilizado como ferramenta no cálculo de áreas, perímetros, e volumes de objetos. Emprega-se também na Trigonometria, para cálculo de distâncias entre pontos no espaço, é de grande aplicabilidade para a construção de expressões matemática na Geometria

3 3 Analítica. Constituiu também uma importante ponte para compreensão de conceitos e definições de números irracionais que começaram a serem introduzidos na matemática através desse Teorema. Esse trabalho tem como objetivo compreender uma das inúmeras demonstrações que existem deste teorema, bem como seu contexto histórico, conceitos fundamentais, sua recíproca, generalização e aplicações. Falaremos no capítulo 2, um pouco da história de Pitágoras, suas contribuições e importância para a matemática e para a humanidade. No Capítulo 3, apresentaremos alguns requisitos importantes para o desenvolvimento do capítulo 4. Especificamente, definiremos alguns conceitos sobre condição de existência de um triângulo, alguns casos de semelhança e relação métrica no triângulo retângulo, essas definições serão importantes na demonstração do Teorema de Pitágoras que faremos no capítulo 4. Já no capítulo 4, apresentaremos a demonstração do teorema por semelhança de triângulos, a recíproca do Teorema de Pitágoras, implicando a condição para sua existência. Concluiremos o trabalho, com as aplicações do Teorema de Pitágoras, mais precisamente, utilizando-o, para determinarmos o valor da diagonal de um quadrado e o valor da altura de um triângulo equilátero. Para finalizar no capítulo 6 faremos as considerações finais. 2 - ABORDAGEM HISTÓRICA DO ASSUNTO Pitágoras, nasceu no ano de 570 a.c na ilha de Samos, foi um importante matemático e filósofo grego, uma de suas grandes descobertas foi o chamado Teorema de Pitágoras. O mais antigo exemplo registrado conhecido como Teorema de Pitágoras encontra-se em uma plaqueta de argila babilônica possivelmente datado do período de 1990 a.c. e 1600 a.c. e foi encontrada em Susa, no Irã atual. Qual seria a explicação disso se Pitágoras viveu um milênio depois dessa época?

4 4 De fato, Pitágoras nasceu por volta de 572 a.c., na Ilha de Samos, no mar Egeu. Samos era uma próspera cidade-estado grega, que tinha como objetivo governar com uma maior preocupação aumentar seu poder do que seu conhecimento justamente o que mais interessava ao jovem Pitágoras, que por isso se mudou para Ilha de Lesbos, onde estudou filosofia por dois anos. Segundo relatos históricos provavelmente Pitágoras buscou conhecimento com Tales em sua cidade em Mileto quando este já se encontrava idoso. Sendo orientado por Tales talvez, se mudou para o Egito, permanecendo lá por alguns anos. Emigrou-se mais tarde para a Crotona, no Sul da Itália, pois tendo voltado á Samos encontrou uma situação política contrária a seus projetos intelectuais. Em Crotona fundou uma escola (escola Pitagórica) com grande influência no desenvolvimento da filosofia e da Ciência, em especial da Matemática. Uma das particularidades da escola era a tradição oral: os ensinamentos eram passados verbalmente apenas, e tudo que se realizava na escola costumavam ser atribuídas ao fundador. Os membros da escola pitagórica acreditavam que o conhecimento é a maior das purificações. Iniciou-se uma organização da Matemática dando ênfase á Geometria por meio de teoremas e suas justificativas. Várias relações foram estudadas entre números e natureza por essa Irmandade, mas a mais importante é a relação que recebeu o nome de seu fundador, o Teorema de Pitágoras. Através desse Teorema obtemos uma equação que é verdadeira para todos os triângulos retângulos. Iremos fazer a demonstração do Teorema de Pitágoras no Capítulo 4. Esse Teorema já era usado pelos babilônicos antes, de um modo prático, mas ele é eternamente associado á Pitágoras, levando também o seu nome pelo fato de que foi Pitágoras o primeiro a utilizar uma demonstração matemática. Centenas de demonstrações diferentes desse importante teorema já foram feitas depois de Pitágoras. O livro The Pythagorean Proposition ( O teorema de Pitágoras ), de E. S. Loomis ( ), em edição de 1940, traz cerca de 370 dessas demonstrações. A influência de Pitágoras nos estudos futuros da Matemática foi imensa, e Pitágoras é considerado um dos grandes construtores da base dos conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos que temos atualmente. Deve-se á também á

5 5 Pitágoras o desenvolvimento da tábua de multiplicação, o sistema decimal e as proporções aritméticas. 3 - Preliminares Neste Capítulo apresentamos alguns requisitos importantes para o desenvolvimento do Capítulo 4. Especificamente vamos definir e apresentar alguns resultados sobre os elementos de um triângulo retângulo, semelhança de triângulos e faremos um estudo nas relações métricas existentes em um triângulo. Considere um triângulo ABC, retângulo em A, onde AH é perpendicular a BC, com H em BC, caracterizaremos os seguintes elementos: Fig. 1 Triângulo retângulo em A e seus elementos BC = a = hipotenusa, AC = b = cateto, AB = c = cateto, BH = m = projeção do cateto c sobre a hipotenusa,

6 6 CH = n= projeção do cateto b sobre a hipotenusa, AH = h = altura relativa à hipotenusa. 3.1 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Definição: Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais. Figura 2 Triângulos semelhantes Traduzindo a definição em símbolos: ABC DEF m( < ABC) =m(< DEF) = Â,[ Ê ] e [ ] = K onde; ABC indica o triângulo ABC

7 7 sinal de semelhança m (<ABC) medida do ângulo com vértice em A Â = ângulo A sinal de congruência K razão de semelhança Observação: A relação de semelhança de triângulos satisfaz as seguintes propriedades para todo Δ ABC, Δ DEF e Δ XYZ. (a) Reflexiva: Todo triângulo é semelhante a si mesmo. (b) Simétrica: Se um triângulo é semelhante a um outro, este é semelhante ao primeiro. (c) Transitiva: Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro. Existem alguns critérios a respeito de semelhança de Triângulos. Eles estão listados á seguir: 1º Critério: Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes. 2º Critério: Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos do outro triângulo e os ângulos determinados por estes lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes. 3º Critério: Se dois triângulos tem os lados homólogos proporcionais então eles são semelhantes.

8 8 Teorema Fundamental: Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. Observação: A demonstração do Teorema Fundamental é feita a partir do Teorema de Tales, que por sua vez pode ser demonstrado a partir dos critérios de semelhança definidos abaixo. Relações métricas Nessa parte, faremos um estudo nas relaçõesmétricas existentes em um triângulo.esse estudo será importante para os próximos capítulos. Figura 3 - triângulo retângulo Figura 4 Semelhança de triângulos e suas relações métricas Usando a semelhança de triângulos podemos estabelecer algumas relações: ΔABC ~ ΔHBA bc = ah ( 4 ) c 2 = am ( 2 ) ch = bm ( 6 )

9 9 ΔABC ~ ΔHAC b 2 = na ( 1 ) bc = ah ( 4 ) bh = cn ( 5 ) ΔHBA ~ ΔHAC bh = cn ( 5 ) ch = bm ( 6 ) h 2 = mn ( 3 ) Resumindo, em um triângulo retângulo, temos as seguintes relações métricas: ( 1 ) b 2 = a. n ( 2 ) c 2 = a. m ( 3 ) h 2 = m. n ( 4 ) b = a. h ( 5 ) b. h = c. n ( 6 ) c. h = b. m 4- Demonstração do Teorema de Pitágoras com o uso de critérios de semelhança Neste capítulo faremos a demonstração do Teorema de Pitágoras usando os conceitos do capítulo 3. Teorema de Pitágoras: Sejam a, b e c a hipotenusa e os dois catetos de um triângulo retângulo. Então, a² = b² + c².

10 10 Demonstração: Em um triângulo retângulo, valem as relações métricas: Figura 5- Triângulo retângulo em A ( 1 ) b² = an, ( 2 ) c² = am. Somando-as, membro a membro, teremos: b² + c² = am+ na b² + c² = a(m + n), Mas, m + n = a, e então, b²+ c² = a². Agora, faremos a recíproca do Teorema de Pitágoras. Mais especificamente, mostraremos que, se em um triângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos, então este triângulo é retângulo.

11 11 Teorema: Sendo a, b e c, números reais positivos, os lados de um triângulo com a² = b² + c², então o triângulo será retângulo. que: Demonstração: Consideremos um triângulo ABC de lados a, b, e c de forma Figura 6 Triângulo retângulo- Recíproca do Teorema AB = c, BC = a e CA = b. Vamos analisar os seguintes casos: 1º caso: quando A < 90º. Vamos imaginar que b c. Assim, o ponto D, projeção de C sobre AB, ficará no interior do lado AB. Sejam AD = x e CD = h. Figura 7 recíproca do Teorema A < 90º.

12 12 Sejam AD = x, CD = h e DB = c x. Analisando o triângulo ADC, retângulo em D, temos a seguinte relação: b²= h² + x², h²= b² x². (i) Analisando o triângulo BDC, retângulo em D, temos a seguinte relação: a² = h²+ (c x) ², (ii) Substituindo (i) em (ii), obtemos a² = b² - x² + c² 2cx + x². a² = b²+ c² 2cx. Observando a última igualdade, temos que a² < b² + c², que contradiz a condição inicial. 2º caso: quando A > 90º. Sobre a reta AB, tomemos o ponto D projeção de C, e neste caso o ponto D ficará fora do lado AB.

13 13 Figura 8 Recíproca do Teorema A > 90º. Como no caso anterior, sejam AD = x e CD = h. Analisando o triângulo ADC, retângulo em D, temos: b² = h² + x², h² = b² x² (iii) Analisando o triângulo DCB, retângulo em D, temos: a²= h²+ (c + x)² (iv) Substituindo (iii) em (iv), obtemos: a² = b² x²+ x² + c² + 2cx, a² = b² + c² + 2cx. inicial. Podemos concluir então que: a²> b² + c², novamente contradizendo a condição Resumindo, para qualquer triângulo ABC, de lados a, b e c tem-se que 1. Se A = 90º então a² = b² + c². 2. Se A < 90º então a²< b²+ c². 3. Se A > 90º então a²>b² + c².

14 14 Deste modo, se um triângulo de lados a, b, e tal que a²= b² + c² então esse triangulo é retângulo no vértice A, assumindo assim a condição inicial. 5 - Aplicações do Teorema de Pitágoras É possível, por exemplo, relacionar a medida da diagonal com a medida do lado de um quadrado ou, então, relacionar a medida da altura com a do lado de um triângulo equilátero. Veremos a seguir algumas situações que podem ser resolvidas com o auxílio do Teorema de Pitágoras. 5.1 Diagonal do Quadrado Seja ABCD é um quadrado cujo lado mede L. Vamos calcular a diagonal d do quadrado em função do lado L. O problema pode também ser formulado assim: dado o lado L, calcule a diagonal d. Figura 9 A diagonal de um quadrado Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: d² = l²+ l² d² = 2 l² d = l

15 Altura de um Triângulo Equilátero Consideremos o triângulo equilátero abaixo. Figura 10 Triângulo equilátero A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes, sendo L o lado e h a altura. Vamos calcular a altura h do triângulo em função de L. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo acima, temos: h² + ( l/2 )² = l² Assim, h² = l² - l²/4 = 3 l² / 4

16 CONCLUSÃO O Teorema de Pitágoras é o mais célebre dos teoremas da matemática, revolucionou a engenharia e a matemática na época. Atualmente, milhares de cálculos de engenharia civil, como cálculo de telhados em forma de declives, descobrir o comprimento de que escada usar para determinada obra, entre muitos outros são feitos através dessa descoberta. Essa foi, sem dúvida, uma das maiores descobertas da humanidade. 7 - REFERÊNCIAS LIMA, E. L. Meu professor de matemática e outras histórias. Rio de Janeiro, WAGNER, E. Teorema de Pitágoras e áreas SBM, DOLCE, o. e Pompeo, J.N. Fundamentos de Matemática Elementar 9. São Paulo: Atual Editora, 1980 IEZZI, Gelson Matemática e realidade: 9º ano / Gelson Iezzi, Osvaldo Doce, Antonio Machado - 6 ª ed. - São Paulo : Atual, DANTE, Luíz Roberto Tudo é Matemática/ Luíz Roberto Dante. São Paulo: ática, Sistema de Ensino Poliedro ensino Fundamental II matemática 9º ano Pitágoras coleção MATEMÁTICA Ensino fundamental livro 1 9º ano CASTELNUOVO, Emma. Geometria Intuitiva. Editorial Labor S. A. Madri, Enciclopédia Mirador Internacional - Enciclopédia Britânica do Brasil. Publicações Ltda. São Paulo / Rio de Janeiro IMENES & LELLIS. Matemática 7ª série. Editora Scipione

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