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Oswaldo Álvares Lencastre
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1 Axiomas de Medição

2 O próximo passo é aprender a medir o comprimento de um segmento. Para este fim emprega-se diversos instrumentos de medição, dos quais a régua graduada é um dos mais conhecidos. Aprendemos com a experiência que para medir o comprimento de um segmento AB com uma régua graduada, basta colocar a régua graduada sobre o segmento AB; verificar a quais números correspondem o ponto A e o ponto B e então o módulo da diferença será o comprimento do segmento AB: Aprendemos também que se um ponto C está entre A e B, então o comprimento de AB é a soma dos comprimentos dos segmentos AC e CB.

3 Axiomas de Medição de Segmentos A maneira como procedemos para medir segmentos é regida pelos seguintes axiomas: Axioma de medição 1: A todo par de pontos A e B corresponde um número maior ou igual a zero. Este número é zero se e somente se A=B. O número real acima é chamado distância entre A e B.

4 Definição: o comprimento de um segmento de reta AB é dado pela distância de seus extremos. Vamos denotar o comprimento de AB por AB=d(A, B). Está implícito no enunciado do axioma, a escolha de uma unidade de medida que será fixada em nossa geometria.

5 Axioma da régua Axioma de medição 2: Os pontos de uma reta podem ser sempre colocados em correspondência biunívoca com os números reais, de modo que o módulo da diferença entre estes números meça a distância entre os pontos correspondentes.

6 Vamos pensar o conjunto de numeros reais arrumados sobre uma linha reta Pelo axioma da régua, por exemplo, na reta abaixo, P está associado ao 0, R ao 1,T a x 2 e Q a x 1.

7 Seja l uma reta. O que este axioma nos diz é que existe então uma função f: l R, talque: 1. f é injetiva 2. f é sobrejetiva 3. A, B l, d A, B = AB = f A f B. A função f é chamada um sistema de coordenadas para a reta l.

8 O sistema de coordenadas de uma reta não é único. De fato temos o seguinte resultado: Proposição. Se f: l R é um sistema de coordenadas para a reta l, então: 1. g: l R dada por g(p) = f(p) + c, para todo P pertencente a l também é um sistema de coordenadas para l, onde c é um número real. 2. h: l R dada por h P = f(p), para todo P pertencente a l também é um sistema de coordenadas para l.

9 Teorema. Seja l uma reta, e sejam P e Q quaisquer dois pontos de l. Então, l possui um sistema de coordenadas, no qual o coordenada de P é 0 e a coordenada Q é positiva. PROVA. Seja f um sistema qualquer de coordenadas para l. Seja a = f (P), e para cada ponto T de l, seja g (T) = f (T) a. Logo, g é um sistema de coordenadas para l, e g (P) = 0. Se g (Q) > 0, então g é a sistema que estávamos procurando. Se g (Q) < 0, seja h (T) = g (T) para cada T l. Então h satisfaz as condições do teorema.

10 Coordenadas de cada reta. Fixada uma correspondência, o número que corresponde a um ponto da reta é denominado coordenada daquele ponto. Portanto, se a e b são as coordenadas dos pontos A e B, respectivamente, então o comprimento do segmento AB, denotado por ABé igual a AB = a b.

11 Axioma de medição 3: Se A C B; então AC + CB = AB. É importante observar aqui que o axioma não diz que se AC + CB = AB então A C B. O que você acha? É verdadeira essa afirmação? O Axioma de Medição 2 diz apenas que existe uma bijeção entre os pontos de uma reta e os números reais, porém não fixa nenhuma restrição para a bijeção. O Axioma de Medição 3, garante que a bijeção não será arbitrária, ela tem que satisfazer a uma certa ordem. É isto que diz a próxima proposição.

12 Proposição. Se em uma semirreta S AB considerarmos um segmento AC com AC < AB, então A C B. Demonstração. Sabemos que, pelo Axioma de Ordem 2, só pode ocorrer uma das seguintes possibilidades: B A C A B C A C B

13 Vamos mostrar que não pode ocorrer a primeira nem a segunda possibilidade. Como A é a origem da semirreta S AB ; então não é verdade que B A C, caso contrário teríamos C não pertenceria a esta semirreta. Se A B C, então, pelo Axioma de Medição 3 teríamos AB+BC= AC, implicando que AB <AC, que é uma contradição com a hipótese AC < AB. Logo, só pode ocorrer A C B.

14 Teorema. Sejam A, B e C pontos distintos de uma reta cujas coordenadas são, respectivamente, a, b e c. Então A C B se e somente se o número c está entre a e b.

17 Definição. O ponto médio C de um segmento AB é um ponto deste segmento tal que AC=CB. Teorema. Um segmento tem exatamente um ponto médio.

20 Definição: Sejam AB e CD dois segmentos. Se AB=CD, dizemos que AB é congruente a CD e denotamos por AB CD. Observação: Uma relação ~ definida em um conjunto A, chama-se uma relação de equivalência, se as seguintes condições se verificam: (1) Reflexividade. a~a. (2) Simetria. Se a~b, então b~a. (3) Transitividade. Se a~b e b~c, então a~c.

21 Proposição: Para segmentos, a congruência é uma relação de equivalência. Ou seja, cada segmento é congruente a si mesmo, se AB CD, então CD AB; se AB CD e CD EF, então AB EF. Demonstração: Como as congruencia de segmentos se verifica com a igualdade de seus comprimentos, esta proposição segue diretamente da propriedade da igualdede entre números.

22 Proposição: Dado um segmento AB e uma semirreta S CD, existe exatamente um ponto E em S CD tal que AB CE. Demonstração: Pelo teorema de colocação da régua, seja f um sistema de coordenadas para a reta CD, de tal forma que f (C) = 0 e f (D) > O.

23 Na figura, indicamos que o número de CD é a coordenada do ponto D, e isso é correto, porque f (D) > O. Se E é um ponto de S CD, temos que CE AB se e somente se f (E) = AB como na figura. Assim CE AB se e somente se E = f 1 (AB). Existe exatamente um tal ponto f 1 (AB), e, portanto, é exatamente o ponto E.

24 A próxima proposição nos diz que, se os segmentos congruentes são colocados com pontos extremos comuns, os segmentos resultantes são congruentes.

25 Proposição: (adição de segmentos) Sejam A, B, C e A, B, C pontos tais que (1) A B C, (2) A B C, (3) AB A B e (4) BC B C. Então AC A C. A recíproca também é verdadeira: Proposição: (subtração de segmentos) Sejam A, B, C e A, B, C pontos tais que (1) A B C, (2) A B C, (3) AB A B e (4)AC A C. Então BC B C

26 Um pouco mais sobre a separação de planos... Proposição: Em um plano fixado, dada uma reta, e uma semirreta, que tem o seu ponto de extremidade na reta mas que não é semirreta da reta dada. Então todos os pontos da semirreta, exceto para o ponto final, estão no mesmo lado da reta.

27 PROVA. Seja L a linha e seja S AB ser o raio, com A L. Suponhamos que contém um ponto A B C tal que B e C estão em lados opostos de L. Então BC cruza L em algum momento, e este ponto deve ser A, porque BC está contido em S AB e S AB intersecta L apenas em A. Portanto C A B. Mas isto é impossível. Portanto, todos pontos da semirreta, diferente de A, estão no mesmo lado do L, ou seja, o lado que contém B.

28 Da mesma forma vale para os segmentos: Proposição. Seja L uma reta, seja A um ponto de L, e seja B um ponto que não está em L. Então, todos os pontos de AB {A} estão do mesmo lado de L. Prova: Como AB {A} está contido em S AB, o resultado segue da proposição anterior.

29 Definição: Um ângulo é a figura formada pela união de duas semirretas com origem comum. A origem comum é chamado de vértice do ângulo e as duas semirretas são chamadas laterais ou lados do ângulo.

31 Proposição: Cada lado de um triângulo encontra-se, com exceção de seus pontos finais, no interior do ângulo oposto a este lado.

32 Proposição: Se F está no interior de BAC, então S AF {F} situa-se no interior de BAC.

33 Proposição: Seja ABC um triângulo, e sejam F, D, G pontos de tal modo que B F C, A C D, e A F G. Então G está no interior de BCD.

34 Na figura abaixo, D é está no interior de BAC. É intuitivamente claro que AD deve cruzar BC, como a figura sugere. Mas não é óbvio que isto pode ser provado com base nos postulados que já incluimos na teoria até agora, e, de fato, a prova é difícil. Vamos precisar de alguns resultados preliminares.

35 Proposição: (Teorema do Z) Seja L uma reta e sejam A e F dois (diferentes) pontos de L. Se B e G são pontos sobre os lados opostos de L, então FB não intersecta S AG.

36 Proposição. Em FBG, seja A um ponto entre F e C, seja D um ponto tal que D e B estão no mesmo lado da FG. Então S AD cruza ou FB ou BG.

37 Teorema. (Teorema da barra atravessada ou crossbar) Se D for no interior de BAC, então S AD intercepta BC, em um ponto entre B e C.

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