LISTA EXTRA DE EXERCÍCIOS MAT /I

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Renato Aleixo Espírito Santo
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1 LISTA EXTRA DE EXERCÍCIOS MAT 008/I. Dados os vetores v = (0,, 3), v = (-, 0, 4) e v 3 = (, -, 0), efetuar as operações indicadas: (a) v 3-4v R.: (4,-,-6) (b) v -3v +v 3 R.: (3,0,-6). Determine: (a) x, y e z de modo que x(, 0, ) + y(,, ) +z(0,, -) = (4, 8, ) R: x = -7/3 y = 9/3 z = -4/3 (b) x, y e z de modo que x(0, 0, ) + y(, 0, 0) +z(0,, 0) = (4, 8, ) R.: x = y = 4 z = 8 3. Dados os vetores u = (, a, -a-), v = (a, a-,) e w = (a, -, ) determine a de modo que u. v = (u + v ). w R : a = 4. Verificar se são unitários os seguintes vetores : u = (,, ) e v = (,, ) Determinar o valor de n para que o vetor v = (n,, 4 ) seja unitário. R : n = ou n = 6. Seja v = (m+7,m+, ). Calcular m para que v = 38 R : m = -4 ou m = - 7. Seja o triângulo de vértices A(-, -, 4), B(-4, -, 0) e c(3, -, ). Determinar o ângulo interno ao vértice B. R : B^ = π 4 8. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 0 cm. Calcular o produto escalar dos vetores AB e AC. R : AB. AC = 0 9. Os lados de um triângulo ABC (reto em A) medem, e 3. Calcular AB. AC + BA. BC +CA.CB R : Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(,, 3), B(, 0, -) e C(-,, ). ^ 0 ^ 6 ^ R : A = arccos B = arccos C = arccos Sabendo que o ângulo entre os vetores u = (,, -) e v = (, -, m+) é 60 0, determine m. R.: m = -4. Dados os vetores u = (,,a ), v = (a+, -, ) e w = (a, 8, a), determine o valor de a para que o vetor u + v seja ortogonal ao vetor w - u. R.: a = 3 ou a = Determinar o vetor v sabendo que v =, v é ortogonal ao eixo 0z, v. w = 6 e w = (0,, 3) 4. Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor v = (, -, ) R.: Tem infinitas soluções, por exemplo, u = R.: (4,3,0) ou (-4,3,0),,

2 . Mostre que se u e v são vetores tais que u + v é ortogonal a u - v então u = v 6. Mostre que se u é ortogonal a v e w então u é também ortogonal a v + w 7. Calcular a norma dos vetores u + v e u - v sabendo que u = 4, v = 3 e o ângulo entre u e v é 60 o R.: u + v = 37 u - v = 3 8. Dados os pontos A(, -, 3) e B(3,, ), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? R.: (9, 7, ) 9. A figura. representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeiro (v) ou falso (f) cada uma das seguintes afirmações: a) DH = BF b) AB = HG c) AB CG d) AF BC e) AC = HF f) AG = DF figura. g) BG // ED h) AB, BC e CG são coplanares i) AB, FG e EG são coplanares k) AC, DB e FG são coplanares l) AB, BG e CF são coplanares m) EG é paralelo ao plano ABC n) AE é ortogonal ao plano ABC o) ABé ortogonal ao plano BCG p) DC é paralelo ao plano HEF Definição: que... Dizemos 0. Com base na figura., determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: a) AB + CG d) EG BC g) AB + AD+ AE b) BC + DE e) CG + EH h) EG + DA+ FH c) BF + EH f) EF FB R.: a) AF c) AH e) AH g) AG b) AE d) AB f) AF h) AD. Dados dois vetores u e v não paralelos, construir no mesmo gráfico os vetores u v, v u e u v. u + v,

3 3. Dados três pontos A, B e C não colineares como na figura abaixo, representar o vetor x nos casos: a) x = BA+ CB b) x = CA+ BA c) x = 3AB BC d) x = / AB CB 3. No triângulo ABC (figura abaixo), seja dos vetores: AB = a e AC = b. Construir representante de cada um a + b a) a b b) a + b c) b a d) e) a b 3 f) a b 4. Na figura abaixo estão representados os vetores coplanares u, v e w. Indicar na própria figura os vetores: a) a v e b w tal que u = a v + b w b) α u e β w tal que v = α u + β w. Sejam os vetores u = (,-3, ) e v = (-,, 4) em 3. (a) Escreva w = (7,-, ) como combinação linear de u e v. (b) O vetor (,-,4) pode ser escrito como combinação linear de u e v? Por que? (c) Para que valor de k é w = (-8,4, k) uma combinação linear de u e v? R.: k = (d) Encontre condições sobre a, b, e c de modo que (a, b, c) seja uma combinação linear de u e v. R.: a = x y b = 3x + y c = x + 4y 6. Sejam os vetores u = (-,, ), v = (,, 0) e w = (-,-, 0). Expressar cada um dos vetores v = (-8, 4, ), v =(0,, 3) e v 3 = ( 0, 0, 0) como combinação linear de u, v, e w. R.: v = u + /3 v + 6/3 w v = 3u - /3 v - 0/3 w v 3 = 0u + 0 u + 0w 7. Localizar os pontos abaixo num sistema de Coordenadas Cartesianas Retangulares: (a) (,3,4) (d) (0,0,-) (b) (-3,.-4) (e) (0,-,0) (c) (,,0) (f) (,-,) 8. Fazer o esboço de cada vetor abaixo com seus pontos iniciais sobre a origem. (a) V = (-,-3) (b) V = (,0,)

4 (c) V 3 = (,3,4) 4 9. Determinar as componentes do vetor cujo ponto inicial seja P e o ponto terminal Q. (a) P(6,,8), Q(8,-7,-3) (b) P(0,0,0), Q(-8,7,4) 30. Determinar um vetor cujo ponto inicial seja P(,-,4) e que tenha a mesma direção que v = (7,6,-3). Represente-os graficamente. R.: Tem infinitas soluções, por exemplo, u =.(9,,). 3. Determinar um vetor, com sentido oposto a v = (-,4,-), tendo ponto terminal em Q=(,0,-7). Represente-os graficamente. R.: Tem infinitas soluções, por exemplo, u =.(0,4,-8). 3. Sejam u = (,-3,), v = (,,0) e w = (,,-4). Determinar: (a) u + v (d) w w (b) u + v (c) w w (e) ( u v). w R.: ( a) 3 ( b) 4 + ( c),, ( d) ( e) Explicar por que cada expressão seguinte não faz sentido. (a) u. (v. w) (b) (u. v) + w (c) u. v (d) α. (u + v) 34. Verificar as identidades abaixo: (i) u + v + u - v = u + v (ii) u. v = ¼ u + v ¼ u - v 3. Determinar o vetor projeção de u = (,3,4) sobre v = (,,0) R.: Sejam os pontos A(,3,-), B(-,0,-) e C(3,,3). Pede-se: a) Mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC R.: 33 c) Determinar o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A d) Encontre a área do triângulo ABC R.: Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u = (,,0) e v=(,-,3). Nas mesmas condições, determinar um vetor de módulo. R: Duas soluções para cada caso:,, ou,,,, ou,,

5 38. Dados os vetores u = (,,-) e v =(0,-,3), calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores 3u e v u. R. : Verificar se são coplanares os seguintes vetores: a) u = (,,-), v = (-3,4,) e w = (,0,-7) b) u = (3,-,), v = (,,) e w = (-,3,4) c) u = (,-,0), v = (3,,) e w = (7,-,) 40. Verificar se são coplanares os pontos: a) A(,,), B(-,-,-3), C(0,,-) e D(-,0,-) b) A(,0,), B(-,0,3), C(,4,) e D(-,-,) 4. Sejam os vetores u = (,,0), v = (,0,), w = 3u - v, w = u + 3v e w 3 = i + j k. Determinar o volume do paralelepípedo definido por w, w e w 3. R.: 44 u.v. 4. Os vetores a = (,-,-3) b = (-,,4) e c = (m+, m, -) determinam um paralelepípedo de volume 4. Calcular m. R.: ou 8/3 43. Sabendo que a = 3, b = e 4 o é o ângulo entre a e b, calcular axb. R.: 3 44.

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