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1 ÍNDICE: Relações Métricas num Triângulo Retângulo página: Triângulo Retângulo página: 4 Áreas de Polígonos página: 5 Área do Círculo e suas partes página: 11 Razão entre áreas de figuras planas semelhantes página: 14 Introdução à geometria analítica; Sist. Cartesiano; Pnt. Médio página: 15 Distância entre dois pontos página: 17 Respostas dos EXERCÍCIOS EM CASA página: 19 Edição 009 Volume de 4 Marcelo Maki Hosoido Cursinho da Poli Grêmio Politécnico Avenida Professor Almeida Prado, 18 Travessa Prédio Biênio 1º andar. Cidade Universitária São Paulo cursinho@gremio.poli.usp.br Tel:

2 B da 9ª Aula Relações Métricas num Triângulo Retângulo Triângulo Retângulo: Elementos do triângulo retângulo: c m a Partes principais: AB e AC catetos; BC hipotenusa; AD altura relativa à hipotenusa do triângulo ABC. Outras partes: BC a = medida da hipotenusa BC; AC b = medida do cateto AC; AB c = medida do cateto AB; BD m = medida da projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa BC; CD n = medida da projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa BC; AD h = medida da altura relativa à hipotenusa BC. h A D n b C EXERCÍCIOS DE AULA: 1- determine o valor de X e Y no triângulo retângulo a seguir: a) X=0 e Y=1 b) X=1 e Y=0 c) X=18 e Y=10 d) X=10 e Y=18 e) X=0 e Y= No trapézio retângulo ABCD da figura, os ângulos assinalados são retos. AB = cm, BC = 5cm e CD = 6cm. Então, a medida do segmento AD, em cm, é: a),5cm b) 3,0cm c) 3,5cm d) 4,0cm e) 4,5cm A Y 5 B X Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Sempre. Traduzindo... portanto... b² = a² + c² b = hipotenusa c = cateto a = outro cateto C D esta é a fórmula mais importante do curso.

3 da EXERCÍCIOS EM CASA: 4) 1) ) 5) 3) 6) 3

4 7) da EXERCÍCIOS DE AULA: 1- Na figura, a reta t é uma tangente exterior às circunferências de centros A e B e raios 17cm e 7cm, respectivamente. Sendo 6cm a medida de AB, calcular a distância entre os pontos de tangência C e D. A B C D 10ª Aula Triângulo Retângulo Reta tangente à uma circuferência: Na figura, a reta t é tangente à circunferência de centro O e raio r no ponto T. Então: O r T t - Na figura, o triângulo ABC é isósceles de base BC = 8cm e está inscrito na circunferência de centro O. Sabendo que a altura relativa do vértice A mede 8cm, o raio dessa circunferência mede: a) 4cm b) 5cm c) 4 cm d) 5 cm e) 6cm A O O segmento OT é perpendicular à reta t. O T = r e O T t O centro da circunferência r raio t reta tangente T ponto de tangência B C 4

5 EXERCÍCIOS EM CASA: 1) 4) 5) ) 11ª e 1ª Aula Áreas de Polígonos 1- Região ou Superfície Poligonal: É a superfície interior delimitada pelo contorno poligonal: Exemplo (em cm): 3) - Introdução Em Geometria, utilizamos a palavra área quando nos referimos a um número real positivo que mede uma superfície numa determinada unidade. 5

6 Nos casos mais simples, quadricula-se a figura, ou seja, divide-se a figura do quadrado de lado unitário e faz-se a contagem desses quadrados para obter a sua área. Assim, a área da superfície quadrada de lado 3cm acima representado é 9cm². Observe que a área é 9 e que cm² é a unidade de medida da superfície. Daqui para frente será omitida a palavra superfície ou seja, a expressão área de um quadrado será entendida como área da superfície que esse quadrado limita. Um exemplo de aplicação desse assunto diz respeito às duas barras de chocolate representadas nas figuras seguintes. As duas barras são retangulares, têm a mesma espessura, têm o mesmo perímetro e custam o mesmo preço. Medidas em cm Expressões para o cálculo de algumas áreas: a) Quadrado (b=h, base igual a altura) O quadrado é uma figura de quatro lados e ângulos iguais, ou seja, uma figura regular de ângulos internos iguais a 90º. A = b. h b = medida da base. h = medida da altura. A = área do quadrado. b) Retângulo O retângulo é uma figura de quatro lados. E ângulos internos iguais, portanto eles devem valer 90º. Por essa razão temos os lados iguais aos pares. Veja no exemplo abaixo, temos o lado de cima igual ao lado de baixo e o lado da direita igual ao lado da esquerda. Como decidir qual das duas barras tem mais chocolate? Basta verificar qual delas tem maior área. Em outras palavras, mais quadradinhos de chocolate, ou seja, uma boa idéia é dividir cada retângulo em quadrados congruentes e verificar qual delas contém o maior número de quadrados. Podemos observar que a barra de cima contém 4 quadrados menores no seu interior, enquanto o de baixo tem 16. Portanto a barra de cima contém mais chocolate. Claro que devemos considerar que cada quadradinho de ambos os chocolates têm a mesma área (mesmo tamanho). b = medida da base. h = medida da altura. A = área do retângulo. Obs 1: todo quadrado é um retângulo? SIM! A = b. h Obs : todo retângulo pode ser um quadrado? NÃO! 6

7 Obs 3: Entendeu? Não? Assiste a aula ou pergunta para o professor. c) Paralelogramo Paralelogramo é uma figura que tem lados paralelos iguais dois a dois. Veja na figura que o lado de cima é paralelo e mesma medida do lado baixo, e o lado da direita é paralelo e mesma medida ao lado da esquerda. Parecido com o retângulo, porém os ângulos internos apenas possuem a mesma inclinação e podem não ser todos iguais. A = b. h b = medida da base. h = medida da altura. A = área do triângulo. Obs: repare que, basicamente, área de quadriláteros é a base que multiplica a altura. Note que a figura do triângulo pode ser interpretada como metade de um quadrilátero, como na figura anterior, e por essa razão a área de um triângulo é sobre dois. Entre outras razões, a área do triângulo é o mais importante, pois as áreas de outras figuras é o conjunto de triângulos. Outros exemplos de áreas de triângulos: b = medida da base. h = medida da altura. A = área do paralelogramo. Obs 4: todo quadrado é um paralelogramo? SIM! Obs 5: todo retângulo é um paralelogramo? SIM! A = 1 b. h A área do triângulo pode ser calculado como sendo: Obs 6: todo paralelogramo pode ser um quadrado? NÃO! Obs 7: todo paralelogramo pode ser um retângulo? NÃO! Obs 8: Não entendeu? Já sabe o que fazer e quem procurar. A = 1.a.b.sen d) Triângulo Já discutimos muito sobre o triângulo. A figura mais importante do nosso curso. Triângulo é uma figura de três lados. Basicamente qualquer figura pode ser decomposto em triângulos e a área de qualquer figura pode ser composta por triângulos. Em outros termos, a área do triângulo é o mais importante para se saber. Demonstração: Área do triângulo é igual a A= 1 b. h então tracemos uma altura no triângulo acima: sen = h a h = a sen A= 1 b. h A = 1 b. h Portanto A= 1.a.b.sen Sendo: a e b = medidas dos lados; = medida do ângulo compreendido; A= área do triângulo. 7

8 O triângulo eqüilátero ainda pode ser calculado como: A=A1+A= b.a + b.a Portanto... Demonstração em aula!!!! e) Trapézio A = a² 3 O trapézio pode ser decomposto em dois triângulos, observe:... A = a+b h b = medida da base maior. a = medida da base menor h = medida da altura. A = área do trapézio. 4 A=A1+A= a.h + b.h Portanto... A área do trapézio é a soma dos triângulos A1 e A. f) Losango Como no trapézio, o losango pode ser decomposto em dois triângulos.... A = 1 a.b a = medida da diagonal menor. b = medida da diagonal maior. A = área do losango. g) Hexágono Regular Note que o hexágono regular é uma composição de seis triângulos equiláteros: Portanto a área do hexágono regular pode ser calculada como A = 6 vezes área de um triângulo eqüilátero. A = 6 a² 3 4 O = centro do hexágono regular. a = medida dos lados. A = área do hexágono regular. EXERCÍCIOS DE AULA: 1- Na figura, o retângulo ABCD tem área 64cm². Sabendo que os pontos E, F e G dividem o lado AB em quatro partes com medidas iguais, a área do triângulo CEF, em cm², é: a) 3 b) 16 c) 8 d) 4 e) 8

9 - A área do triângulo ABC da figura, em cm², é: a) 15 b) 15 3 c) 30 d) 30 3 e) (FUVEST) O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe-se que A e B são extremidades de um diâmetro e que BC=6cm. Então, a área do triângulo ABC em cm², vale: a) 4 b) c) d) 6 e) 3 EXERCÍCIOS EM CASA (11ª aula): 3- Na figura, calcular a área do quadrilátero APRB 1) ) 3) 4- A área de um hexágono regular de lado l é igual a: a) 3 l ² b) 3 3 l ² c) 6 3 l ² d) 3 e) 3 3 l ² 3 l ² 4) 9

10 5) ) 6) 3) 7) 8) 4) EXERCÍCIOS EM CASA (1ª aula): 1) 5) 10

11 13ª Aula 4- Área de um segmento circular: Área do Círculo e suas partes 1- Área de um círculo: A = πr² Asegmento circular = Asetor - AtriânguloAOB EXERCÍCIOS DE AULA: A= área do circulo. Demonstração na aula!!! - Área de uma coroa circular: 1- (Carlos Chagas-SP) A área do circulo de centro O cuja circunferência circunscreve o quadrado ABCD de lado 4cm, em cm² é: a) 6π b) 7π c) 8π d) 9π e) 10π A = π.(r² - r²) A = área da coroa circular. A área da coroa é equivalente à área do círculo maior externo menos o círculo menor interno 3- Área de um setor circular: - Nas figuras seguintes calcule a área dos setores circulares assinalados. a) Calculamos a área do setor circular fazendo regra de três: Área medida da abertura πr² - π (em radianos) ou 360º (em graus) A setor - b) Obs: na regra de três, a medida da abertura do círculo inteiro deve ser em radianos quando for em radianos, e em graus quando for em graus. 11

12 3- Calcule a área do segmento circular indicado na figura. EXERCÍCIOS EM CASA: 1) 1

13 5) ) 3) 6) 4) 13

14 14ª Aula Razão entre áreas de figuras planas semelhantes Considere os triângulos semelhantes ABC e SRT da figura. maior. Se a razão linear de semelhança era igual a então a razão superficial será ² ou k². Obs: Observe que todos os polígonos regulares de mesmo número de lados são semelhantes entre si. Logo, esse conceito pode ser aplicado no cálculo de áreas. EXERCÍCIOS DE AULA: 1) A razão entre as áreas de dois decágonos regulares é 1. Sendo 15cm a medida de um lado 9 do decágono maior, então o lado do menor, em cm, é: A1 = Área do triângulo ABC = 9 X 6 = 7 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 A = Área do triângulo SRT = 3 X = 3 Sendo a razão linear de semelhança entre eles igual a k, temos k = 6 = 9 3 = 3. Podemos observar que A1 A = 7 3 = 9 = 3² Portanto A1 A = k² ) No triângulo ABC da figura, os pontos M e N são os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Então pressupõe-se que : Se duas figuras planas são semelhantes entre si, então a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança entre elas. Veja um outro exemplo: Sabendo que a área do triângulo ABC é 96m², a área do quadrilátero BMNC, em m², é: Repare que o triângulo menor de altura B e o triângulo maior de altura B possuem razão linear de semelhança k igual a. Note também que cabem exatamente 4 triângulos, iguais ao triângulo menor, dentro do triângulo a) 4 b) 36 c) 60 d) 7 e) 86 14

15 EXERCÍCIOS EM CASA: 5) 1) ) 6) 3) 15ª Aula 4) Introdução à geometria analítica; Sistema Cartesiano; Ponto Médio 1- Sistema Cartesiano Ortogonal: Podemos dividir o plano com dois eixos. O eixo X e eixo Y, e com isso temos o plano fica dividido em quatro quadrantes. Veja: 15

16 Os eixos eles são ortogonais entre si, ou seja, formam um ângulo de 90 graus. Dizemos que 0 é a origem do sistema, a é a abscissa e b a ordenada do ponto P. Ox eixo das abscissas. Ou eixo das ordenadas. - Pontos em posições notáveis: Observe alguns pontos a seguir: a) Todo ponto do eixo das abscissas tem ordenada nula e reciprocamente. Exemplos: A (4,0) ; B(-6,0) ; O (0,0) b) Todo ponto do eixo das ordenadas tem abscissa nula e reciprocamente. Exemplos: C (0,3) ; D (0,-5) ; O (0,0) Considere a figura seguinte: a) Todo ponto do 1ºQ tem abscissa positiva e ordenada positiva e reciprocamente. Exemplo: A (3,5) b) Todo ponto do ºQ tem abscissa negativa e ordenada positiva e reciprocamente. Exemplo: B (-,3) c) Todo ponto do 3ºQ tem abscissa negativa e ordenada negativa reciprocamente. Exemplo: C (-3,-4) d) Todo ponto do 4ºQ tem abscissa positiva e ordenada negativa reciprocamente. Exemplo: D (4,-) Considere a situação a seguir: a) A reta suporte das bissetrizes do 1º e 3º quadrantes é chamada bissetriz dos quadrantes ímpares e indica-se. A reta passa pelo primeiro e terceiro quadrantes. b) A reta suporte das bissetrizes do º e 4º quadrantes é chamada bissetriz dos quadrantes pares e indica-se. A reta passa pelo segundo e quarto quadrantes. c) Todo ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares ( ) tem abscissa e ordena iguais e reciprocamente. Exemplos: A (5,5) ; B (-4,-4) ; O (0,0) d) Todo ponto da bissetriz dos quadrantes pares ( ) tem abscissa e ordenada opostas (iguais em módulo) e reciprocamente. Exemplos: C (6,-6) ; D (3,-3) ; O (0,0) 3- Ponto médio: Na figura, considere os pontos A (Xa,Ya) ; B (Xb,Yb) e M (Xm,Ym). Sendo M (Xm,Ym) o ponto médio de segmento AB e observando que Xm - Xa = Xb Xm, temos Xa +Xb Ya +Yb que Xm = e analogamente, Ym =. 16

17 Observe: EXERCÍCIOS EM CASA: 1) ) 3) Logo, o ponto médio M é dado por M Xa + Xb Ya + Yb,. 4) 5) Nestas condições, dizemos que os pontos A e B são simétricos em relação ao ponto M, estão à mesma distância. EXERCÍCIOS DE AULA: 1- O ponto médio do segmento AB, dados A(5,-) e B (7,6) é: a) (,6) b) (5,3) c) (6,) d) (3,5) e) (5,4) 6) 16ª Aula Distância entre dois pontos Na figura, considere os pontos distintos A(Xa,Ya) e B(Xb,Yb), de modo que o segmento AB não seja paralelo ao eixo X nem ao eixo Y. podemos obter o triângulo retângulo ABC, sendo C(Xb,Ya). - Obtenha as coordenadas do ponto R, simétrico do ponto T(-1,) em relação ao ponto S(3,6) D - distância entre os pontos A e B. Δx diferença entre as abscissas dos pontos A e B. Δy diferença entre as ordenadas dos pontos A e B 17

18 Então, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos que d² = (Δx)² + (Δy)² 3) 4) daí, d = (Δx)² + (Δy)² Observações: 1) Sendo (Xb Xa)² = (Xa Xb)², resulta que a ordem escolhida para a diferença Δx não altera o valor de d, e o mesmo vale para a diferença Δy. Em resumo, é indiferente calcular o d por meio de (Xa Xb)² + (Ya Yb)² ou por meio de (Xb Xa)² + (Yb Ya)². ) A medida de um segmento não pode ser negativa pois trata-se de um módulo. 5) EXERCÍCIOS DE AULA: 1- Calcular a distância entre os pontos A(,-1) e B(-1,3). 6) - A distância entre os pontos A(k,0) e B(k,k-1) é igual a 5 se, e somente se: a) k = -1 ou k = b) k = - ou k = 1 c) k = -1 ou k = - d) k = ou k = 1 e) k = 0 ou k = EXERCÍCIOS EM CASA: 1) ) 18

19 Respostas dos EXERCÍCIOS EM CASA: 9ª aula 1) a) 13 b) 6 c) 4 d) 9 e) 1 f) 4,8 ) a) 4 b) 3 c) 3 d) e) 1 f) 3 3) a) 3 b)10 4) D 5) 13cm 6) D 7) C 10ª aula 1) E )E 3)B 4)C 5)1cm 11ª aula 1)A )C 3)B 4)A 5)48 azulejos 6)D 7)A 8)1 1ª aula 1)B )B 3)34m² 4)E 5) 13 13ª aula 1)a) π cm² b) 3 π 3 cm² c) π 3 cm² 3 3 d) 4 π 3 cm² e)π cm² f)(4-π) cm² g)(π-) cm² 3 h) (π-) cm² i) (4-π) cm² ) E 3)D 4)D 5)C 6)E 14ª aula 1)C )C 3)18 4)A 5) )D 15ª aula 1) )a)6 b)-6 c)-8 d)8 3)B 4)a) M(4,7) b)m(,-3) c)m(0,) d)m(-3, 1 ) 5)B 6)F(9,-3) 16ª aula 1)a)5 b) 5 )B 3)(1+ ) 4) a) a=3 ou a=-3 b) a= ou a=1 5)C 6)(0,4) ou (0,10) 19

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