1 Geometria Analítica Plana

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria Analítica Plana é uma forma de abordagem da Geometria Plana que utiliza elementos algébricos como pares ordenados, equações ou inequações para representar elementos geométricos como pontos, curvas e regiões. Historicamente, um dos seus criadores foi René Descartes ( ), filósofo e matemático francês que em sua obra La Geométrie introduziu a noção de coordenadas no plano, ao estabelecer dois eios fios que se intersectam em um ponto chamado origem do sistema. 1.1 Conceitos importantes Reta orientada: uma reta é orientada quando se fia nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta. r Segmento orientado: um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, sendo o primeiro chamado origem do segmento e o segundo, etremidade. O segmento de origem A e etremidade B é representado por AB. B A Segmento nulo: é aquele cuja etremidade coincide com a origem. Segmentos opostos: Se AB é um segmento orientado, o segmento BA é oposto a AB Medida de um segmento: A medida de um segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por AB. 1.2 Sistema Cartesiano Ortogonal Um sistema de eios ortogonais no plano é constituído de duas retas orientadas e, perpendiculares entre si e de mesma origem. A reta orientada é denominada eio ou eio das abscissas; A reta orientada é denominada eio ou eio das ordenadas; 1

2 P P O P Os eios e são os eios coordenados e dividem o plano em 4 partes ou quadrantes. Cada ponto P do plano pode ser associado a um par ordenado de números reais Coordenadas cartesianas de P : (, ) Cada par de números reais está associado a um ponto no plano Origem do sistema cartesiano: O = (0, 0) Projeção ortogonal de P sobre o eio : P (, 0) Projeção ortogonal de P sobre o eio : P (0, ) 1.3 Operações e igualdade de pares ordenados Adição ( 1, 1 ) + ( 2, 2 ) = ( 1 + 2, ) Multiplicação por um escalar real k k( 1, 1 ) = (k 1, k 1 ) Igualdade de dois pares ordenados ( 1, 1 ) = ( 2, 2 ) 1 = 2 e 1 = Distância entre dois pontos A distância entre os pontos P 1 ( 1, 1 ) e P 2 ( 2, 2 ) é dada por d = ( 2 1 ) 2 + ( 2 1 ) 2 2

3 2 d P 2 1 P 1. P 3 O Eercícios 1. Sendo A(2, 3) e B(1, 5), calcular as coordenadas cartesianas de P tal que P + A 2 = B. 2. O segmento AB tem comprimento de 4 unidades. Conhecendo-se o ponto A( 2, 1), achar a abscissa de B, cuja ordenada é Determine a distância entre os pontos (6, 2) e ( 1, 3). 4. Dados os pontos A(2, ), B( 8, 4) e C(5, 3), determinar para que ABC seja um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice A. 5. Um triângulo equilátero tem vértices A(, ), B(3, 1) e C( 1, 1). Calcular o vértice A. 6. Determinar o ponto P, pertencente ao eio das abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos A(1, 3) e B(2, 2). 7. Os pontos (1, 2) e ( 5, 6) são dois vértices opostos de um quadrado. Determine a área do quadrado. 8. Dados os pontos A( 1, 1 ) e B( 2, 2 ), mostre que as coordenadas do ponto médio M do segmento AB é M = e M = Sejam A(2, 1), B(1, 2) e C( 1, 3) os pontos médios dos lados de um triângulo. Determine os vértices desse triângulo. 1.6 Divisão de um segmento numa razão dada Dados os pontos P 1 ( 1, 1 ) e P 2 ( 2, 2 ), as coordenadas do ponto P (, ) que divide o segmento P 1 P 2 numa razão dada k são = 1 + k k e = 1 + k k 3

4 2 P 2 P 1 P Mediana e baricentro de um triângulo A mediana de um triângulo é o segmento que tem como etremidades um vértice e o ponto médio do lado oposto. As três medianas de um triângulo se cruzam num ponto chamado baricentro (G). O baricentro divide cada uma das medianas em dois segmentos, sendo o que une G ao vétice igual a dois terços do comprimento da mediana. 1.7 Eercícios 1. Determine as coordenadas do ponto B, sendo dados os pontos A(3, 4) e M(2, 3), em que M é o ponto médio do segmento AB. 2. Determine as coordenadas dos pontos M e N que dividem o segmento AB em três partes iguais, sendo A( 2, 1) e B(7, 5). 3. Calcular as coordenadas dos etremos A e B do segmento que é dividido em três partes iguais pelos pontos P 1 ( 1, 3) e P 2 (1, 5). 4. Dados os pontos A(2, 1), B(6, 3) e C(0, 2), determine o comprimento da mediana do triângulo ABC que parte do vértice C. 5. O baricentro de um triângulo ABC é o ponto G(4, 0) e M(2, 3) é o ponto médio de BC. Determine as coordenadas do vértice A 4

5 1.8 Condição de alinhamento de três pontos Considere os pontos A( 1, 1 ), B( 2, 2 ) e C( 3, 3 ). Usando o Teorema de Tales podemos mostrar que se A, B e C estiverem alinhados, então = Eercícios 1. Verifique se os pontos A( 1, 3), B(2, 4) e C( 4, 10) podem ser vértices de um triângulo. 2. Calcule o valor de t sabendo que os pontos A( 1 2, t), B( 2 3, 0) e C( 1, 6) são colineares. 1.9 Inclinação de um segmento Considere os pontos A( 1, 1 ) e B( 2, 2 ). 2 B 1 A θ 1 2 B( 2, 2 ) é A inclinação do segmento de reta não paralelo ao eio, de etremos A( 1, 1 ) e m = A inclinação m pode ser interpretada também como a tangente trigonométrica do ângulo θ que o segmento AB forma com o eio, ou seja, pois θ = A reta m = tgθ. Observação: Para um segmento AB paralelo ao eio não se define inclinação, e tg90 não eiste. A reta é o conjunto de pontos do plano tais que a inclinação do segmento formado por dois quaisquer de seus pontos é sempre a mesma. 5

6 Equações da reta A equação de uma curva é uma igualdade envolvendo as coordenadas e de um ponto genérico da curva, igualdade essa que traduz, algebricamente, a propriedade que caracteriza os pontos da curva, ou seja, que eles e somente eles possuem. Veremos agora como associar a reta a uma equação. Primeiramente vamos considerar o caso mais simples em que a reta é paralela a um dos eios coordenados. Se a reta r é paralela ao eio, cortando o eio no ponto de abscissa k, então todos os seus pontos P (, ) têm a mesma abscissa k. Logo, a equação da reta r é = k. Se a reta r é paralela ao eio, cortando o eio no ponto de ordenada n, então todos os seus pontos P (, ) têm a mesma ordenada n. Logo, a equação da reta r é = n. r : = k P(, ) n P(, ) r : = n k Em particular, o eio tem equação = 0, e o eio tem equação = 0. Considere agora uma reta r que intercepta o eio no ponto P 0 (0, n). P r n P0 Sabemos que a propriedade que caracteriza a reta r é o fato de todos os seus segmentos terem a mesma inclinação m. Assim, qualquer que seja o ponto P (, ) de r distinto de P 0, temos que a inclinação do segmento P P 0 é m. Logo, n 0 = m. Dessa forma, todo ponto de r satisfaz a equação = m + n. 6

7 O coeficiente m é denominado coeficiente angular e n é o coeficiente linear. É importante notar que m representa a variação no valor de quando o valor de é acrescido de uma unidade, a partir de qualquer ponto. De fato, fazendo variar de 0 até e calculando a diferença dentre os correspondentes valores de, obtemos 1 0 = m( 0 + 1) + h (m 0 + h) = m. Dessa forma, m > 0 indica que quando aumentamos o valor de, também aumenta. Quando m < 0, diminui à medida que aumenta. As equações = m + n e = k são denominadas equações reduzidas da reta. Porém, tais equações podem ser reescritas na forma a + b + c = 0, denominada equação geral da reta Eercícios 1. Dada a reta r de equação = 2 + 5, a) verfique se o ponto (3, 4) pertence à r. b) determine o ponto em que r corta o eio. c) faça um esboço de r. 2. Determine o valor de m sabendo que o ponto P ( 1, 3) pertence à reta = m Mostre que a equação da reta que passa pelo ponto P 0 ( 0, 0 ) e tem inclinação m conhecida, pode ser escrita como 0 = m( 0 ). 4. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(2, 6) e tem inclinação m = Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(1, 3) e B(2, 7). 6. Considere o triângulo equilátero de 10 unidades de lado. Escolha um sistema de coordenadas adequado e escreva as equações das retas AB, BC, CA e AM, onde M é o ponto médio do lado BC. 7. Obtenha as equações reduzidas das retas = 0 e 5 3 = Posição relativa de duas retas Duas retas distintas de um plano, digamos r 1 : = m 1 + n 1 e r 2 : = m 2 + n 2, podem ser concorrentes ou paralelas (coincidentes ou não). Se m 1 m 2, então r 1 e r 2 são concorrentes; Se m 1 = m 2 e n 1 = n 2, então r 1 e r 2 são coincidentes. 7

8 Se m 1 = m 2, então r 1 e r 2 são paralelas; r 1 r 1 = r 2 r 1 r 2 r 2 r 1 e r 2 são concorrentes r 1 e r 2 são coincidentes r 1 e r 2 são paralelas Podemos tirar conclusões sobre a posição relativa das retas r 1 e r 2 resolvendo e discutindo o sistema de equações lineares formado pelas equações das duas retas, pois caso as retas sejam concorrentes, ou seja, eista um ponto de interseção entre elas, este deverá satisfazer simultaneamente as equações: Assim, { a 1 + b 1 + c 1 = 0 a 2 + b 2 + c 2 = 0. se o sistema tem apenas uma solução, sendo possível e determinado, as retas r 1 e r 2 são concorrentes; se o sistema tem uma infinidade de soluções, sendo possível e indeterminado, as retas r 1 e r 2 são coincidentes; se o sistema não tem solução, sendo impossível, as retas r 1 e r 2 são paralelas Retas perpendiculares Duas retas r 1 e r 2, com inclinações m 1 e m 2, respectivamente, são perpendiculares se, e somente se, m 1 m 2 = 1. r 2 r Eercícios 1. Determine o valor de m para que as retas r : = e s : = m + 5 sejam a) paralelas. 8

9 b) concorrentes. 2. Escreva a equação da reta s que passa pelo ponto P (2, 5) e é paralela à reta r : = Qual a posição relativa das retas r : = 0 e s : = 0? 4. Ache o valor de k para que as retas r : = 0 e s : k = 0 sejam, a) coincidentes. b) concorrentes. c) paralelas distintas 5. Verifique se as retas r e s dadas abaio são perpendiculares. a) r : 7 14 = 0 e s : = b) r : = 0 e s : = Determine o valor de k para que as retas r : = 2 3 e s : = k + 3 sejam perpendiculares. 7. Escreva a equação da reta que passa por P 0 (5, 1) e é perpendicular à reta = Mostre que o triângulo ABC é retângulo em A, sendo A(1, 5), B(2, 8) e C( 2, 6). 9. Dados os pontos A(0, 0), B(8, 0) e C(6, 6), vértices do triângulo ABC, a) escreva a equação das retas suporte das três alturas. b) mostre que as três retas do item (a) passam pelo mesmo ponto H, chamado ortocentro do triângulo ABC. 10. Determine a reta s que é perpendicular a r : = 0 e forma com os eios coordenados um triângulo de 6 unidades de área. 11. Determine o ponto B, simétrico de A(2, 6) em relação à reta r : = Distância entre ponto e reta A distância de um ponto A( 1, 2 ) a uma reta r : a + b + c = 0 é a medida do segmento de etremidades A e B, em que B é a projeção ortogonal de A sobre r. A d(a, r) B r Podemos determinar a distância entre A e r usando a seguinte fórmula d(a, r) = a 1 + b 1 + c a 2 + b 2. 9

10 Ângulo entre duas retas Sejam r 1 e r 2 duas retas concorrentes oblíquas aos eios coordendados e não perpendiculares entre si, de coeficientes angulares m 1 e m 2, respectivamente. As retas r 1 e r 2 formam entre si um ângulo agudo θ. r r 2 1 θ β α Podemos mostrar que tgθ = m 1 m m 1 m 2. Se r 1 e r 2 forem paralelas, m 1 = m 2 e θ = 0. Se r 1 e r 2 forem perpendiculares, m 1 m 2 = 1 e θ = 90. Se uma das retas for vertical, tgθ = 1, em que m é o coeficiente angular da reta não vertical. m Eercícios 1. Calcule a distância entre o ponto P (1, 2) e a reta r : = Calcule a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB, sendo dados os pontos A(8, 5), B(7, 0) e C(1, 3). 3. Calcule a área do triângulo com vértices nos pontos A(1, 2), B( 3, 1) e C(0, 2). 4. Calcule a distância entre as retas r : + 3 = 0 e s : = Determine o ângulo agudo formado pelas retas = 4 6 e = 0 6. Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (2, 1) e forma um ângulo de 45 com a reta de equação = Referências [1] VENTURI, J. J. Álgebra vetorial e geometria analítica. Disponível em [2] MACHADO, N. J. Matemática por assunto. V. 7. São Paulo: Scipione,