2 Igualdade e Operações com pares ordenados. 1 Conjunto R 2. 3 Vetores. 2.1 Igualdade. 1.2 Coordenadas Cartesianas no Plano

Transcrição

1 1 Conjunto R 1.1 Definição VETORES NO PLANO Representamos por R o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, ou seja: R = {(x, y) x R y R} 1. Coordenadas Cartesianas no Plano Em um plano α, consideremos dois eixos Ox e Oy, cuja origem é a interseção O, e que tenham a mesma unidade de medida. A localização de um ponto P qualquer do plano α pode ser feita através de uma associação do ponto a dois números reais obtidos pela condução de retas paralelas aos eixos passando por P, conforme a ilustração abaixo. Igualdade e Operações com pares ordenados.1 Igualdade Dizemos que os pares ordenados (x 1, y 1 ) e (x, y ) são iguais se, e somente se, x 1 = x e y 1 = y.. Adição (x 1, y 1 ) = (x, y ) x 1 = x y 1 = y Chamamos soma dos pares (x 1, y 1 ) e (x, y ) ao par (x 1 + x, y 1 + y ). (x 1, y 1 ) + (x, y ) = (x 1 + x, y 1 + y ).3 Multiplicação por um número real Chamamos produto de um número real k pelo par (x, y) ao par (kx, ky) e indicamos:.4 Propriedades k (x, y) = (kx, ky) Sejam A = (x 1, y 1 ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) três elementos quaisquer do conjunto R e sejam k e m dois números reais quaisquer. Podemos constatar as seguintes propriedades das operações com pares ordenados: P1) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) P) Comutativa: A + B = B + A P3) Elemento neutro da adição: é o par O = (0, 0). Temos: A + O = A Os números x P e y P chamam-se coordenadas cartesianas ortogonais de P e diremos que x P é a abscissa de P y P é a ordenada de P As coordenadas do ponto P são representadas na forma de um par ordenado, onde x P é a primeira componente e y P é a segunda componente. Para indicar as coordenadas de um ponto P escrevemos: P (x P, y P ) Desse modo estabelecemos uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. Ou seja, a cada ponto do plano corresponde um único par ordenado de números reais e a cada par ordenado de números reais corresponde um único ponto do plano. A essa correspondência damos o nome de sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. A palavra cartesiano refere-se ao nome do criador da Geometria Analítica, René Descartes, o qual assinava as obras escrevendo seu nome em latim: Cartesius. A palavra ortogonal é utilizada pelo fato de os dois eixos formarem um ângulo reto. P4) Oposto de A: é o par A = ( x 1, y 1 ). Temos: P5) k(a + B) = ka + kb P6) (k + m)a = ka + ma P7) k(ma) = (km)a P8) 1 A = A 3 Vetores A + ( A) = A A = O 3.1 Equipolência de segmentos orientados a) Equipolência Dois segmentos orientados são equipolentes quando têm a mesma medida (módulo), a mesma direção e o mesmo sentido.

2 3. Definição de vetor Representamos uma classe de equivalência formada por segmentos orientados equipolentes entre si por um ente geométrico chamado vetor (vetor livre). Então, quando dizemos o vetor, estamos nos referindo a todos os segmentos orientados que constituem a classe de equivalência da qual o vetor é representante. Qualquer elementos do conjunto de segmentos orientados equipolentes entre si pode ser usado para indicar o vetor. 3.3 Cálculo das componentes de um vetor i) Todos os segmentos nulos são eqüipolentes entre si. ii) Dois segmentos coincidentes são eqüipolentes. iii) Todos os segmentos eqüipolentes de mesma origem são coincidentes. b) Classe de equipolência De acordo com esta propriedade, vemos que, dado um segmento orientado AB, é possível construir infinitos segmentos equipolentes a AB, tendo par origem de cada um deles cada ponto do espaço. Podemos calcular as componentes de um vetor v a partir das coordenadas das extremidades de um segmento orientado que o representa. Se v = AB, A = (x1, y 1 ) e B = (x, y ), então, v = (x x 1, y y 1 ) Ou seja, v = AB = B A Todos estes infinitos segmentos orientados equipolentes ao segmento orientado AB e o próprio segmento AB constituem um conjunto de segmentos equipolentes entre si. 3.4 Módulo de um vetor Dado um vetor v = (x, y) do R, podemos mostrar que o seu módulo (comprimento) é dado por v = x + y A este conjunto damos o nome de classe de equivalência do segmento orientado AB. Todos os segmentos orientados que formam uma classe de equivalência têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, qualquer que seja sua origem.

3 Operações com vetores a) Produto de um número real por um vetor Dado um número real k e um vetor v, ao produto k v corresponde o produto de k pelo par ordenado associado a v. k R e v = (x, y) k v = (kx, ky) i) O vetor k v possui mesmo sentido e mesma direção que v e módulo maior do que v se, e somente se, k > Vetor Unitário Um vetor que possui módulo igual a 1 é chamado de vetor unitário. v é unitário v = Versor de um vetor Dado um vetor não nulo v, o vetor v = v v é um vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v, denominado versor de v. ii) O vetor k v possui mesmo sentido e mesma direção que v e módulo menor do que v se, e somente se, 0 < k < Distância entre dois pontos iii) O vetor k v possui mesma direção e sentido oposto que v e módulo maior do que v se, e somente se, k < 1. A distância d A,B entre dois pontos A = (x 1, y 1 ) e B = (x, y ) é o comprimento (módulo) do vetor AB. Como AB = B A = (x x 1, y y 1 ), temos: d A,B = (x x 1 ) + (y y 1 ) iv) O vetor k v possui mesma direção e sentido oposto que v e módulo menor do que v se, e somente se, 1 < k < 0.

4 M A = B M M = A + B M = A + B 5 Baricentro de um triângulo b) Soma vetorial Dados dois vetores u e v, a soma u + v corresponde a soma dos pares ordenados associados a u e v. u = (x1, y 1 ) e v = (x, y ) u + v = (x 1 + x, y 1 + y ) Vamos agora determinar as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, dados A = (x 1, y 1 ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ). O baricentro G é o ponto de interseção das medianas de um triângulo. G divide cada mediana na razão de para 1, no sentido do vértice para o ponto médio do lado oposto. Sendo M o ponto médio de BC, temos: AG = GM G A = (M G) G = A + ( ) B+C G 3G = A + B + C G = A+B+C 3 4 Ponto Médio de um segmento Vamos determinar agora as coordenadas do ponto médio M do segmento de extremidades A = (x 1, y 1 ) e B = (x, y ). Sendo M o ponto médio de AB, os vetores AM e MB possuem mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. Logo, AM = MB. Temos então: 6 Exercícios 1 a questão: Determine as componentes (coordenadas) ao vetor AB nos casos (a) A = (, 1) e B = (4, 6) (b) A = (7, 5) e B = (1, ) (c) A = (, 0) e B = (3, 1) (d) A = (1, 0) e B = (0, 3) (e) A = (4, 3) e B = (4, 5) (f) A = (, 5) e B = (, ) (g) A = (3, 1) e B = (10, 1) (h) A = (0, 0) e B = (x, y) a questão: Se v = AB, A = (3, ) e v = (5, 8), então qual é o ponto B? 3 a questão: Dados A = (, 3), B = (, 0), C = (0, 5) e D = ( 4, ), verificar que os vetores AD e CB são opostos. Os pontos A, B, C e D são vértices de que quadrilátero? 4 a questão: Calcule o módulo dos seguintes vetores: (a) u = (4, 3) (b) v = (, 1)

5 (c) w = ( 5, 0) (d) p = (7, 1) (e) q = ( 3, 3) 5 a questão: Calcule a distância entre A e B nos casos: (a) A = (0, 4) e B = (1, 9) (b) A = ( 1, 5) e B = (0, 6) (c) A = (4, 1) e B = (, 3) (d) A = (3, 1) e B = (7, 1) 6 a questão: Calcule o perímetro do triângulo de vértices A = (3, 1), B = (6, 3) e C = (7, ). 7 a questão: Para que valor de x o ponto A = (x, ) é equidistante dos pontos B = (1, 0) e C = ( 1, 1)? 8 a questão: Calcule o valor de y de modo que o ponto (1, y) seja equidistante dos pontos (1, 0) e (0, ). 9 a questão: Determine um ponto P que pertença ao eixo das abscissas e seja equidistante dos pontos A = ( 1, 1) e B(5, 7). 10 a questão: Obtenha no eixo das ordenadas um ponto equidistante dos pontos (, 0) e (4, ). 11 a questão: Os pontos A(1, 1) e B(6, 4) são extremidades de um lado do quadrado. Qual é a área deste quadrado? 1 a questão: Entre os vetores seguintes, quais são unitários? ( 1 (a), 1 ) ( ) 3 (b) 5, 4 5 (c) ( 1, 0) ( ) 3 (d), 1 ( 1 (e) 3, 1 ) 13 a questão: Calcule os valores de a para os quais o vetor u = ( 1, a) é unitário. 14 a questão: Dado u = (a, ), calcule os valores de a para que se tenha u = a questão: Determine o versor de v nos casos: (a) v = (10, 0) (b) v = (0, 6) (c) v = (4, 3) (d) v = ( 3, 1) (e) v = (5, 5) 16 a questão: Dados A = (, 1), B = (5, 1) e C = ( 4, 0), calcule o vetor soma dos vetores AB e AC. 17 a questão: Dados A = (0, 1), B = ( 3, 1), C = (4, 4) e D = (5, ), calcule os seguintes vetores (a) AB + CD (b) 3 AC DB (c) AB + AC 3AD (d) AB + BC + CD + DA 18 a questão: Dado A = (3, 7) e B = (11, 19), determine o ponto C tal que AC = 1 4AB. 19 a questão: Os vetores u = (3, 4) e v = (a, 7) e w = (1, 3b) satisfazem à equação u v + 3 w = O, onde O indica o vetor nulo. Calcule a e b. 0 a questão: Dados u = (1, 1), v = ( 3, 4) e w = (, 0), calcule: (a) u (b) v (c) u + v (d) v w (e) 5w 1 a questão: Dados u = (3, 7) e w = (1, 4), calcule (a) u + v (b) 3u v (c) u + v a questão: Determine o ponto médio do segmento AB nos casos: (a) A = (, 1) e B = (6, 9) (b) A = ( 1, 4) e B = (7, 1) (c) A = (3, 0) e B = ( 3, 0) (d) A = ( 1, 1) e B = (5, 1) (e) A = ( ( ) 1, 3) 1 e B = 1, 9 3 a questão: Determine os pontos médios dos lados do triângulo de vértices A = ( 11, 1), B = ( 1, 7) e C = (5, 9). 4 a questão: Obtenha os pontos que dividem o segmento de extremidades A = (, 4) e B(14, 13) em três partes iguais. 5 a questão: Obtenha os pontos que dividem em cinco partes iguais o segmento de extremidades A = (1, 0) e B = ( 9, 8). 6 a questão: Entre os pontos que dividem o segmento AB, A = (7, 1) e B = ( 5, 5), em seis partes iguais, determine aquele que está mais próximo de A. 7 a questão: Prolonga-se o segmento AB, A = (1, ) e B = (5, 4), no sentido de A para B, até o ponto P tal que o comprimento de AP é o triplo de AB. Determine o ponto P. 8 a questão: O segmento AB é prolongado, no sentido de A para B, até um ponto C tal que o comprimento de BC é o quíntuplo de AB. Dados A = (3, 1) e B = (4, 3), determine o ponto C. 9 a questão: O ponto simétrico de A, relativamente ao ponto B, é o ponto C tal que B é o ponto médio de AC. Dados A = (3, 11) e B = (5, 8), obtenha o ponto C. 30 a questão: Calcule a distância entre o ponto A(1, 1) e o ponto simétrico de B(5, ) em relação ao eixo das abscissas. 31 a questão: Dois vértices de um paralelogramo são A = (3, 5) e B = (5, 3). Sendo M = (1, 1) o ponto médio das diagonais, obtenha os outros vértices. 3 a questão: Os pontos A = (3, 0) e C = (0, 7) são extremidades de uma diagonal de um paralelogramo. Dado também o vértice B = (4, 4), obtenha o vértice D do paralelogramo.

6 33 a questão: Obtenha o baricentro do triângulo ABC nos casos: (a) A = (0, 0), B = (9, 0) e C = (0, 6) (b) A = (3, ), B = (7, 7) e C = (5, 3) (c) A = ( 1, ), B = (0, 4) e C = (1, 6) (d) A = (a + 1, a 1), B = ( 1, 1) e C = (1 a, 1 + a) 34 a questão: Num triângulo de baricentro G = ( 0, 1 ), dois vértices são A = (1, 1) e B = (, 3). Obtenha o outro vértice. 35 a questão: Num triângulo de baricentro G = (6, ), dois dos lados têm pontos médios M = (7, 4) e N = ( 7, ) 5. Obtenha os vértices do triângulo.