2 Igualdade e Operações com pares ordenados. 1 Conjunto R 2. 3 Vetores. 2.1 Igualdade. 1.2 Coordenadas Cartesianas no Plano

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "2 Igualdade e Operações com pares ordenados. 1 Conjunto R 2. 3 Vetores. 2.1 Igualdade. 1.2 Coordenadas Cartesianas no Plano"

Transcrição

1 1 Conjunto R 1.1 Definição VETORES NO PLANO Representamos por R o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, ou seja: R = {(x, y) x R y R} 1. Coordenadas Cartesianas no Plano Em um plano α, consideremos dois eixos Ox e Oy, cuja origem é a interseção O, e que tenham a mesma unidade de medida. A localização de um ponto P qualquer do plano α pode ser feita através de uma associação do ponto a dois números reais obtidos pela condução de retas paralelas aos eixos passando por P, conforme a ilustração abaixo. Igualdade e Operações com pares ordenados.1 Igualdade Dizemos que os pares ordenados (x 1, y 1 ) e (x, y ) são iguais se, e somente se, x 1 = x e y 1 = y.. Adição (x 1, y 1 ) = (x, y ) x 1 = x y 1 = y Chamamos soma dos pares (x 1, y 1 ) e (x, y ) ao par (x 1 + x, y 1 + y ). (x 1, y 1 ) + (x, y ) = (x 1 + x, y 1 + y ).3 Multiplicação por um número real Chamamos produto de um número real k pelo par (x, y) ao par (kx, ky) e indicamos:.4 Propriedades k (x, y) = (kx, ky) Sejam A = (x 1, y 1 ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) três elementos quaisquer do conjunto R e sejam k e m dois números reais quaisquer. Podemos constatar as seguintes propriedades das operações com pares ordenados: P1) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) P) Comutativa: A + B = B + A P3) Elemento neutro da adição: é o par O = (0, 0). Temos: A + O = A Os números x P e y P chamam-se coordenadas cartesianas ortogonais de P e diremos que x P é a abscissa de P y P é a ordenada de P As coordenadas do ponto P são representadas na forma de um par ordenado, onde x P é a primeira componente e y P é a segunda componente. Para indicar as coordenadas de um ponto P escrevemos: P (x P, y P ) Desse modo estabelecemos uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. Ou seja, a cada ponto do plano corresponde um único par ordenado de números reais e a cada par ordenado de números reais corresponde um único ponto do plano. A essa correspondência damos o nome de sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. A palavra cartesiano refere-se ao nome do criador da Geometria Analítica, René Descartes, o qual assinava as obras escrevendo seu nome em latim: Cartesius. A palavra ortogonal é utilizada pelo fato de os dois eixos formarem um ângulo reto. P4) Oposto de A: é o par A = ( x 1, y 1 ). Temos: P5) k(a + B) = ka + kb P6) (k + m)a = ka + ma P7) k(ma) = (km)a P8) 1 A = A 3 Vetores A + ( A) = A A = O 3.1 Equipolência de segmentos orientados a) Equipolência Dois segmentos orientados são equipolentes quando têm a mesma medida (módulo), a mesma direção e o mesmo sentido.

2 3. Definição de vetor Representamos uma classe de equivalência formada por segmentos orientados equipolentes entre si por um ente geométrico chamado vetor (vetor livre). Então, quando dizemos o vetor, estamos nos referindo a todos os segmentos orientados que constituem a classe de equivalência da qual o vetor é representante. Qualquer elementos do conjunto de segmentos orientados equipolentes entre si pode ser usado para indicar o vetor. 3.3 Cálculo das componentes de um vetor i) Todos os segmentos nulos são eqüipolentes entre si. ii) Dois segmentos coincidentes são eqüipolentes. iii) Todos os segmentos eqüipolentes de mesma origem são coincidentes. b) Classe de equipolência De acordo com esta propriedade, vemos que, dado um segmento orientado AB, é possível construir infinitos segmentos equipolentes a AB, tendo par origem de cada um deles cada ponto do espaço. Podemos calcular as componentes de um vetor v a partir das coordenadas das extremidades de um segmento orientado que o representa. Se v = AB, A = (x1, y 1 ) e B = (x, y ), então, v = (x x 1, y y 1 ) Ou seja, v = AB = B A Todos estes infinitos segmentos orientados equipolentes ao segmento orientado AB e o próprio segmento AB constituem um conjunto de segmentos equipolentes entre si. 3.4 Módulo de um vetor Dado um vetor v = (x, y) do R, podemos mostrar que o seu módulo (comprimento) é dado por v = x + y A este conjunto damos o nome de classe de equivalência do segmento orientado AB. Todos os segmentos orientados que formam uma classe de equivalência têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, qualquer que seja sua origem.

3 Operações com vetores a) Produto de um número real por um vetor Dado um número real k e um vetor v, ao produto k v corresponde o produto de k pelo par ordenado associado a v. k R e v = (x, y) k v = (kx, ky) i) O vetor k v possui mesmo sentido e mesma direção que v e módulo maior do que v se, e somente se, k > Vetor Unitário Um vetor que possui módulo igual a 1 é chamado de vetor unitário. v é unitário v = Versor de um vetor Dado um vetor não nulo v, o vetor v = v v é um vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v, denominado versor de v. ii) O vetor k v possui mesmo sentido e mesma direção que v e módulo menor do que v se, e somente se, 0 < k < Distância entre dois pontos iii) O vetor k v possui mesma direção e sentido oposto que v e módulo maior do que v se, e somente se, k < 1. A distância d A,B entre dois pontos A = (x 1, y 1 ) e B = (x, y ) é o comprimento (módulo) do vetor AB. Como AB = B A = (x x 1, y y 1 ), temos: d A,B = (x x 1 ) + (y y 1 ) iv) O vetor k v possui mesma direção e sentido oposto que v e módulo menor do que v se, e somente se, 1 < k < 0.

4 M A = B M M = A + B M = A + B 5 Baricentro de um triângulo b) Soma vetorial Dados dois vetores u e v, a soma u + v corresponde a soma dos pares ordenados associados a u e v. u = (x1, y 1 ) e v = (x, y ) u + v = (x 1 + x, y 1 + y ) Vamos agora determinar as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, dados A = (x 1, y 1 ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ). O baricentro G é o ponto de interseção das medianas de um triângulo. G divide cada mediana na razão de para 1, no sentido do vértice para o ponto médio do lado oposto. Sendo M o ponto médio de BC, temos: AG = GM G A = (M G) G = A + ( ) B+C G 3G = A + B + C G = A+B+C 3 4 Ponto Médio de um segmento Vamos determinar agora as coordenadas do ponto médio M do segmento de extremidades A = (x 1, y 1 ) e B = (x, y ). Sendo M o ponto médio de AB, os vetores AM e MB possuem mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. Logo, AM = MB. Temos então: 6 Exercícios 1 a questão: Determine as componentes (coordenadas) ao vetor AB nos casos (a) A = (, 1) e B = (4, 6) (b) A = (7, 5) e B = (1, ) (c) A = (, 0) e B = (3, 1) (d) A = (1, 0) e B = (0, 3) (e) A = (4, 3) e B = (4, 5) (f) A = (, 5) e B = (, ) (g) A = (3, 1) e B = (10, 1) (h) A = (0, 0) e B = (x, y) a questão: Se v = AB, A = (3, ) e v = (5, 8), então qual é o ponto B? 3 a questão: Dados A = (, 3), B = (, 0), C = (0, 5) e D = ( 4, ), verificar que os vetores AD e CB são opostos. Os pontos A, B, C e D são vértices de que quadrilátero? 4 a questão: Calcule o módulo dos seguintes vetores: (a) u = (4, 3) (b) v = (, 1)

5 (c) w = ( 5, 0) (d) p = (7, 1) (e) q = ( 3, 3) 5 a questão: Calcule a distância entre A e B nos casos: (a) A = (0, 4) e B = (1, 9) (b) A = ( 1, 5) e B = (0, 6) (c) A = (4, 1) e B = (, 3) (d) A = (3, 1) e B = (7, 1) 6 a questão: Calcule o perímetro do triângulo de vértices A = (3, 1), B = (6, 3) e C = (7, ). 7 a questão: Para que valor de x o ponto A = (x, ) é equidistante dos pontos B = (1, 0) e C = ( 1, 1)? 8 a questão: Calcule o valor de y de modo que o ponto (1, y) seja equidistante dos pontos (1, 0) e (0, ). 9 a questão: Determine um ponto P que pertença ao eixo das abscissas e seja equidistante dos pontos A = ( 1, 1) e B(5, 7). 10 a questão: Obtenha no eixo das ordenadas um ponto equidistante dos pontos (, 0) e (4, ). 11 a questão: Os pontos A(1, 1) e B(6, 4) são extremidades de um lado do quadrado. Qual é a área deste quadrado? 1 a questão: Entre os vetores seguintes, quais são unitários? ( 1 (a), 1 ) ( ) 3 (b) 5, 4 5 (c) ( 1, 0) ( ) 3 (d), 1 ( 1 (e) 3, 1 ) 13 a questão: Calcule os valores de a para os quais o vetor u = ( 1, a) é unitário. 14 a questão: Dado u = (a, ), calcule os valores de a para que se tenha u = a questão: Determine o versor de v nos casos: (a) v = (10, 0) (b) v = (0, 6) (c) v = (4, 3) (d) v = ( 3, 1) (e) v = (5, 5) 16 a questão: Dados A = (, 1), B = (5, 1) e C = ( 4, 0), calcule o vetor soma dos vetores AB e AC. 17 a questão: Dados A = (0, 1), B = ( 3, 1), C = (4, 4) e D = (5, ), calcule os seguintes vetores (a) AB + CD (b) 3 AC DB (c) AB + AC 3AD (d) AB + BC + CD + DA 18 a questão: Dado A = (3, 7) e B = (11, 19), determine o ponto C tal que AC = 1 4AB. 19 a questão: Os vetores u = (3, 4) e v = (a, 7) e w = (1, 3b) satisfazem à equação u v + 3 w = O, onde O indica o vetor nulo. Calcule a e b. 0 a questão: Dados u = (1, 1), v = ( 3, 4) e w = (, 0), calcule: (a) u (b) v (c) u + v (d) v w (e) 5w 1 a questão: Dados u = (3, 7) e w = (1, 4), calcule (a) u + v (b) 3u v (c) u + v a questão: Determine o ponto médio do segmento AB nos casos: (a) A = (, 1) e B = (6, 9) (b) A = ( 1, 4) e B = (7, 1) (c) A = (3, 0) e B = ( 3, 0) (d) A = ( 1, 1) e B = (5, 1) (e) A = ( ( ) 1, 3) 1 e B = 1, 9 3 a questão: Determine os pontos médios dos lados do triângulo de vértices A = ( 11, 1), B = ( 1, 7) e C = (5, 9). 4 a questão: Obtenha os pontos que dividem o segmento de extremidades A = (, 4) e B(14, 13) em três partes iguais. 5 a questão: Obtenha os pontos que dividem em cinco partes iguais o segmento de extremidades A = (1, 0) e B = ( 9, 8). 6 a questão: Entre os pontos que dividem o segmento AB, A = (7, 1) e B = ( 5, 5), em seis partes iguais, determine aquele que está mais próximo de A. 7 a questão: Prolonga-se o segmento AB, A = (1, ) e B = (5, 4), no sentido de A para B, até o ponto P tal que o comprimento de AP é o triplo de AB. Determine o ponto P. 8 a questão: O segmento AB é prolongado, no sentido de A para B, até um ponto C tal que o comprimento de BC é o quíntuplo de AB. Dados A = (3, 1) e B = (4, 3), determine o ponto C. 9 a questão: O ponto simétrico de A, relativamente ao ponto B, é o ponto C tal que B é o ponto médio de AC. Dados A = (3, 11) e B = (5, 8), obtenha o ponto C. 30 a questão: Calcule a distância entre o ponto A(1, 1) e o ponto simétrico de B(5, ) em relação ao eixo das abscissas. 31 a questão: Dois vértices de um paralelogramo são A = (3, 5) e B = (5, 3). Sendo M = (1, 1) o ponto médio das diagonais, obtenha os outros vértices. 3 a questão: Os pontos A = (3, 0) e C = (0, 7) são extremidades de uma diagonal de um paralelogramo. Dado também o vértice B = (4, 4), obtenha o vértice D do paralelogramo.

6 33 a questão: Obtenha o baricentro do triângulo ABC nos casos: (a) A = (0, 0), B = (9, 0) e C = (0, 6) (b) A = (3, ), B = (7, 7) e C = (5, 3) (c) A = ( 1, ), B = (0, 4) e C = (1, 6) (d) A = (a + 1, a 1), B = ( 1, 1) e C = (1 a, 1 + a) 34 a questão: Num triângulo de baricentro G = ( 0, 1 ), dois vértices são A = (1, 1) e B = (, 3). Obtenha o outro vértice. 35 a questão: Num triângulo de baricentro G = (6, ), dois dos lados têm pontos médios M = (7, 4) e N = ( 7, ) 5. Obtenha os vértices do triângulo.

Geometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012

Geometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012 Prof. Luiz Antonio do Nascimento luiz.anascimento@sp.senac.br www.lnascimento.com.br Conjuntos Propriedades das operações de adição e multiplicação: Propriedade comutativa: Adição a + b = b + a Multiplicação

Leia mais

1 Geometria Analítica Plana

1 Geometria Analítica Plana UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria

Leia mais

Lembremos que um paralelogramo é um quadrilátero (figura geométrica com quatro lados) cujos lados opostos são paralelos.

Lembremos que um paralelogramo é um quadrilátero (figura geométrica com quatro lados) cujos lados opostos são paralelos. Capítulo 5 Vetores no plano 1. Paralelogramos Lembremos que um paralelogramo é um quadrilátero (figura geométrica com quatro lados) cujos lados opostos são paralelos. Usando congruência de triângulos,

Leia mais

Figura disponível em: <http://soumaisenem.com.br/fisica/conhecimentos-basicos-e-fundamentais/grandezas-escalares-egrandezas-vetoriais>.

Figura disponível em: <http://soumaisenem.com.br/fisica/conhecimentos-basicos-e-fundamentais/grandezas-escalares-egrandezas-vetoriais>. n. 7 VETORES vetor é um segmento orientado; são representações de forças, as quais incluem direção, sentido, intensidade e ponto de aplicação; o módulo, a direção e o sentido caracterizam um vetor: módulo

Leia mais

3) O ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcular a abscissa a do ponto P.

3) O ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcular a abscissa a do ponto P. Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Lista 2: Plano cartesiano, sistema de coordenadas: pontos e retas. 1) Represente no plano cartesiano

Leia mais

Ponto 1) Representação do Ponto

Ponto 1) Representação do Ponto Ponto 1) Representação do Ponto Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Plano Cartesiano, sistemas de coordenadas: pontos e retas Na geometria

Leia mais

FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães

FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO INTRODUÇÃO Cumpre de início, distinguir grandezas escalares das grandezas vetoriais. Grandezas escalares são aquelas que para sua perfeita caracterização basta informarmos

Leia mais

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica. ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos.

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica. ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos (Período: 2016.1) Notas de Aula Capítulo 1: VETORES Ivan Menezes ivan@puc-rio.br

Leia mais

Bacharelado em Ciência e Tecnologia 2ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica

Bacharelado em Ciência e Tecnologia 2ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS Bacharelado em Ciência e Tecnologia ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica 008. ) São dados os pontos

Leia mais

ROTEIRO: 1. Cap. 2 Plano Cartesiano; 2. Vetores.

ROTEIRO: 1. Cap. 2 Plano Cartesiano; 2. Vetores. ROTEIRO: 1. Cap. 2 Plano Cartesiano; 2. Vetores. Capítulo 2 Plano Cartesiano / Vetores: Plano Cartesiano Foi criado pelo matemático René Descartes, associando a geometria à álgebra. Desse modo, ele pôde

Leia mais

Professor Mascena Cordeiro

Professor Mascena Cordeiro www.mascenacordeiro.com Professor Mascena Cordeiro º Ano Ensino Médio M A T E M Á T I C A. Determine os valores de m pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que os pontos (0, -), (, m) e (-, -)

Leia mais

UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL Exercícios propostos: aulas 01 e 02 GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO GA - LISTA DE EXERCÍCIOS 001 1. Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dado A = (2, 1), B = (-1, 3) e C = (4, -2). 2. Provar que

Leia mais

Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno. Estudo da Reta

Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno. Estudo da Reta Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno Estudo da Reta I - Inclinação de uma reta () direção É a medida do ângulo que a reta forma com o semieixo das abscissas (positivo) no sentido anti-horário.

Leia mais

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto

Leia mais

Equações da reta no plano

Equações da reta no plano 3 Equações da reta no plano Sumário 3.1 Introdução....................... 2 3.2 Equação paramétrica da reta............. 2 3.3 Equação cartesiana da reta.............. 7 3.4 Equação am ou reduzida da reta..........

Leia mais

Na figura acima, o vetor tem origem no ponto A e extremidade no ponto B. Notação usual: 1 O ESPAÇO R3

Na figura acima, o vetor tem origem no ponto A e extremidade no ponto B. Notação usual: 1 O ESPAÇO R3 VETORES E R3 Ultra-Fast Prof.: Fábio Rodrigues fabio.miranda@engenharia.ufjf.br Obs.: A maioria das figuras deste texto foram copiadas do livro virtual álgebra vetorial e geometria analítica, 9ª edição,

Leia mais

Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica Vetores e Geometria Analítica Vetores ECT2102 Prof. Ronaldo Carlotto Batista 28 de março de 2016 Sistema de coordenadas e distâncias Nesse curso usaremos o sistema de coordenadas cartesiano destro em três

Leia mais

Åaxwell Mariano de Barros

Åaxwell Mariano de Barros Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Å Ö Ò Ó ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹ ¼½ ÐÙÐÓ Î ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ËÓ ÄÙ ¹ ÅA ¾¼½½ ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço 2 1.1 Reta Orientada....................................

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica

Exercícios de Matemática Geometria Analítica Eercícios de Matemática Geometria Analítica. (UFRGS) Considere um sistema cartesiano ortogonal e o ponto P(. ) de intersecção das duas diagonais de um losango. Se a equação da reta que contém uma das diagonais

Leia mais

2. SEGMENTOS ORIENTADOS

2. SEGMENTOS ORIENTADOS FFCLRP-USP - ALGEBRA LINEAR - Vetores Geométricos 1 NOTAS DE AULAS Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos 1 1. LEMBRETE DA GEOMETRIA DE EUCLIDES RETA Dados dois pontos distintos no espaço P e Q, existe

Leia mais

6. Calcular as equações paramétricas de uma reta s que passa pelo ponto A(1, 1, 1) e é ortogonal x 2

6. Calcular as equações paramétricas de uma reta s que passa pelo ponto A(1, 1, 1) e é ortogonal x 2 Lista 2: Retas, Planos e Distâncias - Engenharia Mecânica Professora: Elisandra Bär de Figueiredo x = 2 + 2t 1. Determine os valores de m para que as retas r : y = mt z = 4 + 5t sejam: (a) ortogonais (b)

Leia mais

Geometria Analítica - Aula

Geometria Analítica - Aula Geometria Analítica - Aula 19 246 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 20 Vamos analisar a equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 nos casos em que exatamente um dos coeficientes A ou C é nulo. 1. Parábola

Leia mais

Sumário. VII Geometria Analítica Jorge Delgado Katia Frensel Lhaylla Crissaff

Sumário. VII Geometria Analítica Jorge Delgado Katia Frensel Lhaylla Crissaff 1 Coordenadas no plano 1 1.1 Introdução........................................ 2 1.2 Coordenada e distância na reta............................ 3 1.3 Coordenadas no plano.................................

Leia mais

Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos. Considere incialmente o conjunto dos números naturais :

Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos. Considere incialmente o conjunto dos números naturais : Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos Considere incialmente o conjunto dos números naturais : Neste conjunto podemos resolver uma infinidade de equações do tipo A solução pertence

Leia mais

Média, Mediana e Distância entre dois pontos

Média, Mediana e Distância entre dois pontos Média, Mediana e Distância entre dois pontos 1. (Pucrj 01) Se os pontos A = ( 1, 0), B = (1, 0) e C = (, ) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é a) 1 b) c) 4 d) e). (Ufrgs

Leia mais

Lista de Exercícios de Geometria

Lista de Exercícios de Geometria Núcleo Básico de Engenharias Geometria - Geometria Analítica Professor Julierme Oliveira Lista de Exercícios de Geometria Primeira Parte: VETORES 1. Sejam os pontos A(0,0), B(1,0), C(0,1), D(-,3), E(4,-5)

Leia mais

Tecnologia em Construções de Edifícios

Tecnologia em Construções de Edifícios 1 Tecnologia em Construções de Edifícios Aula 9 Geometria Analítica Professor Luciano Nóbrega 2º Bimestre 2 GEOMETRIA ANALÍTICA INTRODUÇÃO A geometria avançou muito pouco desde o final da era grega até

Leia mais

Matemática 3ª série Roteiro 01. Geometria Analítica Estudo do ponto

Matemática 3ª série Roteiro 01. Geometria Analítica Estudo do ponto Matemática 3ª série Roteiro 01 Profª Helena Geometria Analítica Estudo do ponto Atividade em Dupla Material necessário: lápis, borracha, régua, uma folha de papel sulfite (use esta!), um aparelho celular

Leia mais

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3 01 Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b a) a = 3, b, b R b) a = 3 e b = 1 c) a = 3 e b 1 d) a 3 1 0 y = 3x + 1 m = 3 A equação que apresenta uma reta com o mesmo coeficiente angular

Leia mais

Geometria Analítica - AFA

Geometria Analítica - AFA Geometria Analítica - AFA x = v + (AFA) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que (r) :, (s) : mx + y + m = 0 e (t) : x = 0, y = v analise as proposições abaixo, classificando-

Leia mais

5. (UFJF-MG) Os pontos A(2, 6) e B(3, 7) são

5. (UFJF-MG) Os pontos A(2, 6) e B(3, 7) são p: João Alvaro w: www.matemaniacos.com.br e: joao.baptista@iff.edu.br ( ) 4t 1. Para que valores 5 + 1, 2t 4 pertence ao eixo das ordenadas? A linguagem das funções Sistema de coordenadas Conceito de função

Leia mais

ALUNO(A): Prof.: André Luiz Acesse: 02/05/2012

ALUNO(A): Prof.: André Luiz Acesse:  02/05/2012 1. FUNÇÃO 1.1. DEFINIÇÃO Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y) no qual duas duplas ordenadas distintas não podem ter o mesmo primeiro número, ou seja, garante que y seja único para

Leia mais

EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA

EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA - 015 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0),

Leia mais

III CAPÍTULO 21 ÁREAS DE POLÍGONOS

III CAPÍTULO 21 ÁREAS DE POLÍGONOS 1 - RECORDANDO Até agora, nós vimos como calcular pontos, retas, ângulos e distâncias, mas não vimos como calcular a área de nenhuma figura. Na aula de hoje nós vamos estudar a área de polígonos: além

Leia mais

Geometria analítica. Professor Me: Lucas Corrêa de Almeida

Geometria analítica. Professor Me: Lucas Corrêa de Almeida Geometria analítica Professor Me: Lucas Corrêa de Almeida Definição A palavra geometria vem do grego geometrien onde geo significa terra e metrien medida. Geometria foi, em sua origem, a ciência de medição

Leia mais

Chama-se conjunto dos números naturais símbolo N o conjunto formado pelos números. OBS: De um modo geral, se A é um conjunto numérico qualquer, tem-se

Chama-se conjunto dos números naturais símbolo N o conjunto formado pelos números. OBS: De um modo geral, se A é um conjunto numérico qualquer, tem-se UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos Prof.:

Leia mais

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias 4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência)

EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência) EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência) ************************************************************************************* 1) (U.F.PA) Se a distância

Leia mais

VETORES. DEFINIÇÃO DE GRANDEZA É tudo aquilo que pode ser medido Exemplos: Comprimento Aceleração Força Velocidade

VETORES. DEFINIÇÃO DE GRANDEZA É tudo aquilo que pode ser medido Exemplos: Comprimento Aceleração Força Velocidade 1 DEFINIÇÃO DE GRANDEZA É tudo aquilo que pode ser medido Exemplos: Comprimento Aceleração Força Velocidade GRANDEZAS ESCALARES São grandezas que se caracterizam apenas por um valor acompanhado uma unidade

Leia mais

Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos

Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos º Ano No plano Mediatriz de um segmento de reta [AB] Sendo M o ponto

Leia mais

MAT-230 Diurno 1ª Folha de Exercícios

MAT-230 Diurno 1ª Folha de Exercícios MAT-230 Diurno 1ª Folha de Exercícios Prof. Paulo F. Leite agosto de 2009 1 Problemas de Geometria 1. Num triângulo isósceles a mediana, a bissetriz e a altura relativas à base coincidem. 2. Sejam A e

Leia mais

VETORES. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga

VETORES. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga VETORES Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga INTRODUÇÃO Grandeza é tudo aquilo que pode variar quantitativamente. Algumas vezes necessitamos mais que um número e uma unidade para representar

Leia mais

matemática geometria analítica pontos, baricentro do triângulo, coeficiente angular e equações da reta Exercícios de distância entre dois pontos

matemática geometria analítica pontos, baricentro do triângulo, coeficiente angular e equações da reta Exercícios de distância entre dois pontos Exercícios de distância entre dois pontos 1. (FUVEST 1ª fase) Sejam A = (1, ) e B = (3, ) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60º, no

Leia mais

ÍNDICE: Relações Métricas num Triângulo Retângulo página: 2. Triângulo Retângulo página: 4. Áreas de Polígonos página: 5

ÍNDICE: Relações Métricas num Triângulo Retângulo página: 2. Triângulo Retângulo página: 4. Áreas de Polígonos página: 5 ÍNDICE: Relações Métricas num Triângulo Retângulo página: Triângulo Retângulo página: 4 Áreas de Polígonos página: 5 Área do Círculo e suas partes página: 11 Razão entre áreas de figuras planas semelhantes

Leia mais

0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c

0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c Capítulo 14 Elipse Nosso objetivo, neste e nos próximos capítulos, é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, onde A 0 ou B 0 ou C 0 Para isso, deniremos,

Leia mais

2.1 Equações do Plano

2.1 Equações do Plano 2.1 Equações do Plano EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 2.1 1. Classi que as a rmações em verdadeiras V) ou falsas F), justi cando cada resposta. a) ) Um ponto A x; y; z) pertence ao eixo z se, e somente se, x

Leia mais

3. Obter a equação do plano que contém os pontos A = (3, 0, 1), B = (2, 1, 1) e C = (3, 2, 2).

3. Obter a equação do plano que contém os pontos A = (3, 0, 1), B = (2, 1, 1) e C = (3, 2, 2). Lista II: Retas, Planos e Distâncias Professora: Ivanete Zuchi Siple. Equação geral do plano que contém o ponto A = (,, ) e é paralelo aos vetores u = (,, ) e v = (,, ).. Achar a equação do plano que passa

Leia mais

Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de 3 pontos.

Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de 3 pontos. Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de pontos. 1. (Ufpr 014) A figura abaixo apresenta o gráfico da reta r: y x + = 0 no plano

Leia mais

Planificação anual- 8.º ano 2014/2015

Planificação anual- 8.º ano 2014/2015 Agrupamento de Escolas de Moura Escola Básica nº 1 de Moura (EB23) Planificação anual- 8.º ano 2014/2015 12 blocos Tópico: Números Números e operações/ Álgebra Dízimas finitas e infinitas periódicas Caracterização

Leia mais

2. Pré-requisitos do 3. Ciclo. 7. ano PR 7.1. Resolução

2. Pré-requisitos do 3. Ciclo. 7. ano PR 7.1. Resolução 7. ano PR 7.1. Dados dois conjuntos A e B fica definida uma função 1ou aplicação2 f de A em B, quando a cada elemento de A se associa um elemento único de B representado por f 1x2. Dada uma função numérica

Leia mais

CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico)

CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico) 1 INTRODUÇÃO CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico) ARCOS: Dados dois pontos A e B de uma circunferência, definimos Arco AB a qualquer uma das partes desta circunferência

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA. 01) Dados os vetores e, determine o valor da expressão vetorial. Resp: A=51

LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA. 01) Dados os vetores e, determine o valor da expressão vetorial. Resp: A=51 1 LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA 01) Dados os vetores e, determine o valor da expressão vetorial. A=51 02) Decomponha o vetor em dois vetores tais que e, com. 03) Dados os vetores, determine

Leia mais

REVISÃO FUVEST Ensino Médio Geometria Prof. Sérgio Tambellini

REVISÃO FUVEST Ensino Médio Geometria Prof. Sérgio Tambellini REVISÃO FUVEST Ensino Médio Geometria Prof. Sérgio Tambellini Aluno :... Questão 1 - (FUVEST SP/014) GEOMETRIA PLANA Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos

Leia mais

Aula 3 Polígonos Convexos

Aula 3 Polígonos Convexos MODULO 1 - AULA 3 Aula 3 Polígonos Convexos Conjunto convexo Definição: Um conjunto de pontos chama-se convexo se, quaisquer que sejam dois pontos distintos desse conjunto, o segmento que tem esses pontos

Leia mais

Grandeza Vetorial. Curso de Engenharia Civil Física Geral e Experimental I. Considerações. Vetores- Unidade 2 Prof.a : Msd Érica Muniz 1 período

Grandeza Vetorial. Curso de Engenharia Civil Física Geral e Experimental I. Considerações. Vetores- Unidade 2 Prof.a : Msd Érica Muniz 1 período Curso de Engenharia Civil Física Geral e Experimental I Vetores- Unidade 2 Prof.a : Msd Érica Muniz 1 período Grandeza Vetorial Algumas vezes necessitamos mais que um número e uma unidade para representar

Leia mais

Programa. 3. Curvas no Plano: equação de lugar geométrico no plano; equações reduzidas da elipse,

Programa. 3. Curvas no Plano: equação de lugar geométrico no plano; equações reduzidas da elipse, Programa 1. Vetores no Plano e no Espaço: conceito; adição de vetores; multiplicação de vetor por n real; combinação linear de vetores; coordenadas; produto interno; produto vetorial; produto misto. 2.

Leia mais

AULA 2 DO PLANO DE TRABALHO

AULA 2 DO PLANO DE TRABALHO AULA 2 DO PLANO DE TRABALHO Nº 9 Rosa Canelas EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA RETA Voltemos a uma das retas da aula anterior x,y 1,4 k 3,1,k IR (equação vetorial) 3,1 são as coordenadas de um vetor diretor desta

Leia mais

VETORES NO ² E NO ³. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga

VETORES NO ² E NO ³. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga VETORES NO ² E NO ³ Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga 2.1 DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO PLANO Dados dois vetores v 1 e v 2, não colineares, qualquer vetor v (coplanar com v 1 e v 2

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO ENSINO MÉDIO 4º. BIMESTRE

EXERCÍCIOS DE REVISÃO ENSINO MÉDIO 4º. BIMESTRE EXERCÍCIOS DE REVISÃO ENSINO MÉDIO 4º. BIMESTRE 1ª. SÉRIE Exercícios de PA e PG 1. Determinar o 61º termo da PA ( 9,13,17,21,...) Resp. 249 2. Determinar a razão da PA ( a 1,a 2, a 3,...) em que o primeiro

Leia mais

Grupo 1 - N1M2 - PIC OBMEP 2011 Módulo 2 - Geometria. Resumo do Encontro 6, 22 de setembro de Questões de geometria das provas da OBMEP

Grupo 1 - N1M2 - PIC OBMEP 2011 Módulo 2 - Geometria. Resumo do Encontro 6, 22 de setembro de Questões de geometria das provas da OBMEP Grupo 1 - N1M2 - PIC OBMEP 2011 Módulo 2 - Geometria Resumo do Encontro 6, 22 de setembro de 2012 Questões de geometria das provas da OBMEP http://www.obmep.org.br/provas.htm 1. Áreas - capítulo 2 da apostila

Leia mais

Instituto de Matemática UFBA Disciplina: Geometria Analítica Mat A01 Última Atualização ª lista - Cônicas

Instituto de Matemática UFBA Disciplina: Geometria Analítica Mat A01 Última Atualização ª lista - Cônicas Instituto de Matemática UFBA Disciplina: Geometria Analítica Mat A01 Última Atualização - 005 1ª lista - Cônicas 1 0 ) Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M21 Geometria Analítica: Cônicas

Matemática. Resolução das atividades complementares. M21 Geometria Analítica: Cônicas Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: Cônicas p. FGV-SP) Determine a equação da elipse de centro na origem que passa pelos pontos A, 0), B, 0) e C0, ). O centro da elipse

Leia mais

Mecânica Técnica. Aula 2 Lei dos Senos e Lei dos Cossenos. Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Mecânica Técnica. Aula 2 Lei dos Senos e Lei dos Cossenos. Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Aula 2 Lei dos Senos e Lei dos Cossenos Tópicos Abordados Nesta Aula Cálculo de Força Resultante. Operações Vetoriais. Lei dos Senos. Lei dos Cossenos. Grandezas Escalares Uma grandeza escalar é caracterizada

Leia mais

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Geometria Analítica NEAD - Núcleo de Educação a Distância Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Katia Frensel - Jorge Delgado Março, 2011 ii Geometria Analítica Conteúdo Prefácio ix 1 Coordenadas na

Leia mais

Quantos números pares, formados por algarismos distintos, existem entre 500 e 2000?

Quantos números pares, formados por algarismos distintos, existem entre 500 e 2000? PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3 O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - AGOSTO DE 011. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 01 Quantos

Leia mais

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0 Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A

Leia mais

Exercícios de matemática - 3º ano - Ensino Médio - 3º bimestre

Exercícios de matemática - 3º ano - Ensino Médio - 3º bimestre Exercícios de matemática - 3º ano - Ensino Médio - 3º bimestre Pergunta 1 de 10 - Assunto: Álgebra [011 - ENEM] Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares,delimitando

Leia mais

Geometria Plana - Aula 05

Geometria Plana - Aula 05 Geometria Plana - Aula 05 Elaine Pimentel Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática Geometria Plana Especialização 2008 - p. 1 Esquema da aula Quadrilátero - definição e. Quadriláteros

Leia mais

a) Triângulo retângulo: É o triângulo que possui um ângulo reto (90 ).

a) Triângulo retângulo: É o triângulo que possui um ângulo reto (90 ). Geometria Analítica Módulo 1 Revisão de funções trigonométricas, Vetores: Definições e aplicações Módulo, direção e sentido. Igualdades entre vetores 1. Revisão de funções trigonométricas a) Triângulo

Leia mais

Vetores no R 2 : = OP e escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v.

Vetores no R 2 : = OP e escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v. Vetores no R 2 : O conjunto R 2 = R x R = {(x, y) / x, y Є R} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xoy. Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante OP

Leia mais

DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices)

DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices) DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste - 2010 1 Polígonos Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices) A 1, A 2,..., A n e pelos segmentos (lados) A 1 A 2, A 2 A

Leia mais

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 17 1. Suponha que uma força de 1 newtons é aplicada em um objeto ao longo do

Leia mais

Jacob Palis. Euclides Roxo. David Hilbert. George F. B. Riemann. George Boole. Niels Henrik Abel. Karl Friedrich Gauss.

Jacob Palis. Euclides Roxo. David Hilbert. George F. B. Riemann. George Boole. Niels Henrik Abel. Karl Friedrich Gauss. Jacob Palis Euclides Roxo David Hilbert George F. B. Riemann George Boole Niels Henrik Abel Karl Friedrich Gauss René Descartes Gottfried Wilhelm von Leibniz Nicolaus Bernoulli II Matemática SUMÁRIO DO

Leia mais

Aula 1: Relembrando Polígonos

Aula 1: Relembrando Polígonos 1 Aula 1: Relembrando Polígonos Definição (Lados): Cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos. A palavra Polígono é oriunda do grego e significa: Poli (muitos) + gono (ângulos). Polígonos

Leia mais

A Reta. Docente Pedro Macário de Moura

A Reta. Docente Pedro Macário de Moura A Reta Docente Pedro Macário de Moura A Matemática é a única linguagem que temos em comum com a natureza. Hawking. A Matemática é a honra do espírito 2 Equação Vetorial da Reta Seja r uma reta que passa

Leia mais

Vetores. Professor: Carlos Alberto Disciplina: Física Geral e Experimental. Profº Carlos Alberto

Vetores. Professor: Carlos Alberto Disciplina: Física Geral e Experimental. Profº Carlos Alberto Vetores Professor: Carlos Alberto Disciplina: Física Geral e Experimental Objetivos de aprendizagem Ao estudar este capítulo você aprenderá: A diferença entre grandezas escalares e vetoriais e como somar

Leia mais

Ficha Formativa de Matemática 7º Ano Tema 5 Figuras Geométricas

Ficha Formativa de Matemática 7º Ano Tema 5 Figuras Geométricas 1. Observa as linhas seguintes. 1.1. Identifica: a) as linhas poligonais; b) as linhas poligonais simples; c) as linhas poligonais fechadas. 1.2. Das linhas poligonais, identifica as que definem: a) polígonos

Leia mais

1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta

1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta 1ª Aula 3- Ângulos Consecutivos: Introdução à Geometria Plana 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A Na figura, os ângulos AÔB e BÔC são consecutivos, portanto AÔC=AÔB+AÔC b) Reta c) Semi-reta d) Segmento

Leia mais

(19) MATEMÁTICA PONTO, RETA E DISTÂNCIAS

(19) MATEMÁTICA PONTO, RETA E DISTÂNCIAS Nível Embasamento 0 Calcular a distância entre os seguintes pontos: a) A(,) e B(,) b) P( 6,8) e a origem do sistema cartesiano c) A(a, b+) e B(a+, b 8) 0 Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dados

Leia mais

Controle do Professor

Controle do Professor Controle do Professor Compensou as faltas CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL E INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR SÉRIE: 2º ANO TRABALHO DE COMPENSAÇÃO DE FALTAS DOS ALUNOS

Leia mais

Geometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo

Geometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo Índice Geometria plana Polígonos Triângulos Congruência de triângulos Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Quadriláteros Teorema de Tales Esquadros de madeira www.ser.com.br

Leia mais

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (7º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (7º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período ANO LETIVO 2015/2016 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (7º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período Metas / Objetivos Conceitos / Conteúdos Aulas Previstas Números e

Leia mais

Geometria Analítica. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Geometria Analítica. Prof Marcelo Maraschin de Souza Geometria Analítica Prof Marcelo Maraschin de Souza Disciplina Aulas: Segunda-feira e terça-feira: 8:00 até 9:50 Avaliações: listas de exercícios e três provas; Sala: 222; Livros. Conteúdos Plano de Ensino

Leia mais

Colégio Santa Maria Lista de exercícios 1º médio 2011 Prof: Flávio Verdugo Ferreira.

Colégio Santa Maria Lista de exercícios 1º médio 2011 Prof: Flávio Verdugo Ferreira. Colégio Santa Maria Lista de exercícios 1º médio 2011 Prof: Flávio Verdugo Ferreira. 1- ( VUNESP) A parábola de equação y = ax² passa pelo vértice da parábola y = 4x - x². Ache o valor de a: a) 1 b) 2

Leia mais

, a equação. x, y x, y k. u, u, k. x, y 2, 3 k. 1, 2, k. Exemplo: Determina uma equação reduzida da reta que tem declive 3 e ordenada na origem 2.

, a equação. x, y x, y k. u, u, k. x, y 2, 3 k. 1, 2, k. Exemplo: Determina uma equação reduzida da reta que tem declive 3 e ordenada na origem 2. Escola Secundária de lberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática Geometria I Inclinação e declive de uma reta no plano; ângulo de duas retas; retas perpendiculares. º no Equação vetorial da reta: Dado

Leia mais

Atitudes: Valoração da importância da representação gráfica na resolução de problemas em situações geométricas.

Atitudes: Valoração da importância da representação gráfica na resolução de problemas em situações geométricas. Unidade 3. Geometria Analítica no Plano: Enquadramento curricular em Espanha: Objetos de aprendizagem 3.1. Conceito de vetor. Conhecer o conceito de Vetor fixo. Analisar os componentes de um vetor: módulo,

Leia mais

Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner

Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner 3 - Parábolas Definição 1.1: Dados um ponto no plano F e uma reta d no plano, é denominada Parábola

Leia mais

Segue, abaixo, o Roteiro de Estudo para a Verificação Global 2 (VG2), que acontecerá no dia 03 de abril de º Olímpico Matemática I

Segue, abaixo, o Roteiro de Estudo para a Verificação Global 2 (VG2), que acontecerá no dia 03 de abril de º Olímpico Matemática I 6º Olímpico Matemática I Sistema de numeração romano. Situações problema com as seis operações com números naturais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). Expressões numéricas

Leia mais

02 Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: a) A = 5 Λ i + 3 Λ j, b) B = 10 Λ i -7 Λ j, c) C = 2 Λ i - 3 Λ j + 4 Λ k.

02 Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: a) A = 5 Λ i + 3 Λ j, b) B = 10 Λ i -7 Λ j, c) C = 2 Λ i - 3 Λ j + 4 Λ k. Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 1 01 Três vetores A, B e C possuem as seguintes componentes nas direções x e y: A x = 6, A y = -3; B x = -3, B y =4; C x =2, C y

Leia mais

CONTEÚDO E HABILIDADES MATEMÁTICA REVISÃO 1 REVISÃO 2 REVISÃO 3. Conteúdo:

CONTEÚDO E HABILIDADES MATEMÁTICA REVISÃO 1 REVISÃO 2 REVISÃO 3. Conteúdo: 2 Conteúdo: Aula Revisão 1: Geometria Polígonos: Classificação, nome, cálculo das diagonais e a soma dos ângulos internos. Congruência e Semelhança de triângulos 3 Conteúdo: Aula Revisão 2: Álgebra Polinômios:

Leia mais

Período Conteúdos Metas Curriculares Nº de Aulas

Período Conteúdos Metas Curriculares Nº de Aulas AGRUPAMENTO VERTICAL DE ESCOLAS DE MOURA Agrupamento de Escolas de Moura Planificação de Matemática -5ºAno Período Conteúdos Metas Curriculares Nº de Aulas 1.º Números naturais Critérios de divisibilidade

Leia mais

Programação anual. 6 º.a n o. Sistemas de numeração Sequência dos números naturais Ideias associadas às operações fundamentais Expressões numéricas

Programação anual. 6 º.a n o. Sistemas de numeração Sequência dos números naturais Ideias associadas às operações fundamentais Expressões numéricas Programação anual 6 º.a n o 1. Números naturais 2. Do espaço para o plano Sistemas de numeração Sequência dos números naturais Ideias associadas às operações fundamentais Expressões numéricas Formas geométricas

Leia mais

MATEMÁTICA - 7.º Ano. Ana Soares ) Catarina Coimbra ) NÚMEROS RACIONAIS

MATEMÁTICA - 7.º Ano. Ana Soares ) Catarina Coimbra ) NÚMEROS RACIONAIS Salesianos de Mogofores - 2016/2017 MATEMÁTICA - 7.º Ano Ana Soares (ana.soares@mogofores.salesianos.pt ) Catarina Coimbra (catarina.coimbra@mogofores.salesianos.pt ) Rota de aprendizage m por Projetos

Leia mais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis. 10º Ano de Matemática A. Geometria no Plano e no Espaço I

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis. 10º Ano de Matemática A. Geometria no Plano e no Espaço I Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I Trabalho de casa nº 7 GRUPO I 1. Num certo prisma, cada uma das bases tem n vértices. Quantas faces e quantas

Leia mais

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,

Leia mais

Domínio Números e Operações Subdomínio Adição e subtração de números racionais não negativos. Metas/Objetivos Conceitos/Conteúdos Aulas previstas

Domínio Números e Operações Subdomínio Adição e subtração de números racionais não negativos. Metas/Objetivos Conceitos/Conteúdos Aulas previstas Números e Operações Adição e subtração de números racionais não negativos DEPARTAMENTO DE MATEMÀTICA DISCIPLINA: Matemática PLANIFICAÇÃO 1ºperíodo - 5º ANO - Efetuar operações com números racionais não

Leia mais

Departamento de Matemática e Ciências Experimentais PROJECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICA - 8º ANO /2015

Departamento de Matemática e Ciências Experimentais PROJECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICA - 8º ANO /2015 ESCOLA EB 23 LUÍS DE CAMÕES Departamento de Matemática e Ciências Experimentais PROJECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICA - 8º ANO - 2014/2015 Domínio: Números e operações Subdomínio 1. Relacionar números racionais

Leia mais

dia 10/08/2010

dia 10/08/2010 Número complexo Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. http://pt.wikipedia.org/wiki/n%c3%bamero_complexo dia 10/08/2010 Em matemática, os números complexos são os elementos do conjunto, uma extensão

Leia mais

3ª série EM - Lista de Questões para a RECUPERAÇÃO FINAL - MATEMÁTICA

3ª série EM - Lista de Questões para a RECUPERAÇÃO FINAL - MATEMÁTICA 3ª série EM - Lista de Questões para a RECUPERAÇÃO FINAL - MATEMÁTICA 01. Um topógrafo pretende calcular o comprimento da ponte OD que passa sobre o rio mostrado na figura abaio. Para isto, toma como referência

Leia mais

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG- CUITÉ)

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG- CUITÉ) P L A N O S PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS Casos Particulares A equação ax + by + cz = d na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano π, sendo v = ( a, b, c) um vetor normal a

Leia mais